安徽省太和第一中学2025-2026学年度高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 太和一中高二下学期期中数学试卷，以函数、数列、概率等核心知识为载体，融入杨辉二阶等差数列（文化传承）和“弱减函数”新定义（创新应用），通过基础巩固与分层探究题，考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数单调性、等差等比数列、概率独立事件|第4题以杨辉二阶等差数列为情境，考查数列递推关系| |多选|3/18|函数性质、数列证明、新定义应用|第11题结合“弱减函数”定义，考查逻辑推理与创新理解| |填空|3/15|等比数列公比、古典概型、不等式恒成立|第14题通过不等式恒成立，考查导数应用与参数范围| |解答|5/77|概率应用、数列探究、导数综合证明|第19题结合切线问题，综合考查导数几何意义与不等式证明，体现分层探究|

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B C D D C C ACD ABD BD 1、 【答案】B 函数的定义域为，， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 2、【答案】A 由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为.故选：A． 3、【答案】B 设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得或（舍去），则， 因此.故选：B. 4、【答案】C 由题意，数列的前几项为：，且数列为等差数列，所以：，故.故选：C 5、【答案】D 对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确；故选：D. 6、【答案】D 的展开式的通项为，令，得， 的系数为．故选：D． 7、【答案】C 依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 8、【答案】C A．丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲站在最左端端，所以不同的排列方法有种.故A正确. B．两张卡片和小于8的情况有：1与2；1与3；1与4；1与5；1与6；2与3；2与4；2与5；3与4共9种情况.故B正确. C．有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球， ①4个球分给一人，有3种分法； ②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法， 按照分类加法计数原理可得一共有种；故C错误. D．记第一次抽到数学题的事件为A，第二次抽到数学题的事件为B， 于是得，，由条件概率公式得， 所以在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是.故D正确. 故选：C. 9、【答案】ACD 10、【答案】ABD 11、【答案】BD 【解析】对于A选项，因为函数在上不是增函数，故A不满足条件； 对于B选项，，当时，，故函数在上是减函数.令，则， 故函数在上为增函数，故B满足条件； 对于C选项，若在上单调递减，由，得， 故的单调递减区间为. 若在上单调递增，则. 故若在上是“弱减函数”，则，故C错误； 对于D选项，若在上单调递减， 则在上恒成立，即. 令，则，令， 则，则在上单调递减，故.故，在上单调递减，.所以，解得. 若在上单调递增，则在上恒成立，所以.令， 则，所以在上单调递增，. 所以，解得.综上，，故D正确.故选:BD. 12.【答案】2 【解析】数列是由实数构成的等比数列，且成等差数列， ， ，则，,化简可得为实数，则故答案为2 13【答案】 【解析】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 14、【答案】【解析】由恒成立得，即恒成立， 当时，对正数恒成立； 当时，，令，则在上单调递增，所以， 即，可以求得 15、【解析】（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 16、【解析】（1）设等差数列的公差为， 若选①，因为，，所以解得，所以； 若选②，因为等差数列的公差为1，且成等比数列， 所以，即，解得，所以； 若选③， 因为等差数列中，，，所以，即， 解得，所以； （2）由（1）知， 因为，，，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以． 17、【解析】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为； （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； （3）由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 18、【解析】（1）解：函数的定义域为， ， ∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增； 当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减； （2）证明：因为时，证明，只需证明， 由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； 所以.令，则， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 所以.所以时， ，所以当时， 19.【解析】（1）． 设与的切点为， 则，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以． （2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，且； ，且， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为． （ii）不妨设， 由（i）知，， 显然，且，所以， 同理，． 要证，只需证， 只需证． 又，只需证． 令函数，则， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由得，所以显然成立， 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和一中2025-2026学年度高二下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知为等差数列，为等比数列，，则（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 6．的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C．6 D． 7．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 8．下列说法错误的为（ ） A．甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种. B．从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种. C.有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种． D.在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 10.已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前n项和为 11．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ） A．在上是“弱减函数” B．在上是“弱减函数” C．若在上是“弱减函数”，则 D．若在上是“弱减函数”，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列是由实数构成的等比数列，，且成等差数列，则的公比为___． 13．将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 14.若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16∼17 题每题15分，第 18∼19 题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 16．在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知等差数列的前项和为，且满足______． (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17．在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 18．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，证明 19．已知，直线与曲线和都相切． (1)求的值； (2)若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $