上海市市北中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点是角终边上一点，则的值是______. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 3. 设，点的坐标为，则点的坐标为________. 4. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________. 5. 函数的零点为________． 6. 已知，化简的结果是________． 7. 在上的值域为________． 8. 中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 9. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 10. 设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 11. 如图．在中，，，，则_________． 12. 已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知函数()在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. . D. 16. 向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 18. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示） 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程； （3）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 20. 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中． （1）若，求和的长； （2）求d关于的函数表达式； （3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】等腰三角形 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）单调递减区间为.对称轴方程为 （3） 【20题答案】 【答案】（1），； （2），； （3）59. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $