精品解析：上海交通大学附属中学闵行分校2025-2026学年第二学期高一数学期中考试试卷

2025-2026学年度第二学期高一数学期中考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） （说明：本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上的解答不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 用列举法表示集合________． 2. 复数的虚部是__________. 3. 一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是______． 4. 已知等差数列满足，，则第10项的值为_____． 5. 若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 6. 已知，，用a，b表示___． 7. 函数的单调增区间是_____． 8. 已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为_____． 9. 已知，，若，则的值为_____ 10. 已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 11. 已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 12. 已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 设集合、是全集的两个子集，则是的（ ） A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 15. 如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值． A. B. C. D. 16. 已知．对满足等式的实数a、b、c得出结论： ①； ②． 对这两个结论的判断，正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 已知不等式的解集为． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 19. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 20. 已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． （1）已知，求； （2）若任取，都有，求证：函数，为周期函数； （3）若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 21. 已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． （1）求的取值范围； （2）若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； （3）在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一数学期中考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） （说明：本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上的解答不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 用列举法表示集合________． 【答案】 【解析】 【分析】结合列举法与描述法的转化即可分别求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 用列举法表示集合为， 故答案为：． 2. 复数的虚部是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据虚部的概念即可直接写出结果. 【详解】复数的虚部是, 故答案为：. 3. 一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可得解. 【详解】由题扇形半径为，圆心角为， 所以扇形的面积是. 故答案为：. 4. 已知等差数列满足，，则第10项的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差数列的两项求出公差和首项，再代入通项公式计算第10项即可. 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为. 由已知条件列方程： ， 两式作差得 ，解得， 代入得. 因此 . 5. 若关于的方程在上恰有两个不同的解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题设及辅助角公式化简，作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】若关于的方程在上恰有两个不同的解， 则函数与函数在上有两个交点， 因为， 当时，， 由正弦函数性质可知当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递增， 作出函数的图象如下： 由图象可知，实数的取值范围是. 6. 已知，，用a，b表示___． 【答案】##b+2a 【解析】 【分析】由题可得，再利用对数的运算法则即得. 【详解】∵， ∴，又， ∴. 故答案为：. 7. 函数的单调增区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又 在定义域内单调递增，且函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 8. 已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为_____． 【答案】   【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为定圆上的动点到定点的距离最大值问题，结合圆的性质求解. 【详解】设 ， 由 ，得 ，即 ， 其几何意义为复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆 . ，几何意义为点到定点 的距离. 计算圆心到定点的距离：. 根据圆的性质，圆上动点到定点的最大距离为圆心到定点的距离与半径之和，因此 . 9. 已知，，若，则的值为_____ 【答案】 2或10 【解析】 【详解】因为，所以，解得或2， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 综上，的值为或. 10. 已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时， . 此时时 ， 所以. 11. 已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】设出一般形式后代入方程，并通过复数为零时的特殊性分类讨论求出具体值. 【详解】设，那么 ，得到 . 由此可知 . 若，.因为，所以 ，解得. 又因为，所以. 若，.因为，所以或.那么或. 综上所述或. 12. 已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】就、、结合正弦型函数的值域的包含关系分类讨论后可得取值范围. 【详解】当时，，且，故的值域为， 而，且，故的值域为， 故此时对任意的，都存在，使得成立， 当时，此时且，故 ， 此时的值域为， 同理的值域为，其中， 由题设有或， 故或，故或. 故（舍）或（舍）或. 当时，且，故， 此时的值域为， 同理的值域为，其中 ， 故，故当时，不存在，使得成立， 故不合题意； 综上，或. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 设集合、是全集的两个子集，则是的（ ） A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 14. 已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断. 【详解】假设，其中为常数 对于A： 则 为常数，所以是等差数列； 对于B： 则 为常数，所以是等差数列； 对于C： 则 ，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D： 当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 15. 如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形特征，结合数量积的几何意义即可判断. 【详解】 如图，过作的垂线， 由正六边形的性质可得：过作直线的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为， 其它垂足，如图所示， 当时， 当时，在上的投影向量可以是， 由数量积的几何意义可得， ，， ，， 所以共有5个不同的正值. 故选：B 16. 已知．对满足等式的实数a、b、c得出结论： ①； ②． 对这两个结论的判断，正确的是（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】令，由 单调性可得.对于①，由结合题设可得，结合可判断命题正误；对于②，由题设可得，然后结合①分析可判断命题正误. 【详解】令， 则.令 ，则， 从而在上单调递增，结合，则. 对于①，由基本不等式， 即，又注意到，则 ，即①为真命题； 对于②，因，则， 两式相加可得：. 由①分析可得， ，则，即②为真命题. 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 已知不等式的解集为． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元将指数不等式转化为一元二次不等式求解； （2）利用基本不等式求出不等式左侧表达式的最小值，再根据不等式恒成立条件得到的取值范围. 【小问1详解】 令，当时原不等式可转化为， ， ，解得或. ，所以或，解得或. 即. 【小问2详解】 由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围. 18. 已知，其中，. （1）若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； （2）设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【小问1详解】 由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 19. 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 【答案】（1）是定值； （2）8742元． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 是定值； 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以为定值． 【小问2详解】 由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 20. 已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． （1）已知，求； （2）若任取，都有，求证：函数，为周期函数； （3）若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）增函数；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式求解即可； （2）取，得， 取，得，结合偶函数性质和不等式性质推出，从而证明函数为周期函数； （3）采用反证法结合定义证明即可. 【小问1详解】 已知，，则，， 解得或， 故. 【小问2详解】 已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证. 【小问3详解】 假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数. 21. 已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． （1）求的取值范围； （2）若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； （3）在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到，将其代入，结合，求得或，利用韦达定理，即可求解； （3）由向量在方向上的投影数量的公式，根据题意，得到的轨迹，得到投影取值范围为，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由的取值范围为，， 因为 ，可得该函数为单调递增的一次函数， 当时，可得；当时，可得； 所以的取值范围为. 【小问2详解】 解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对， 可得，将其代入，可得， 因为，可得， 整理得，解得或， 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以； 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以， 综上可得，的值为或. 【小问3详解】 解：因为向量在方向上的数量投影的公式为：投影， 由，可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以对于固定的，向量在向量方向上的投影取值范围为， 将代入，可得 令，可得， 则 ， 所以在上单调递增，且 ，即 ， 所以向量在方向上的数量投影的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $