命题大赛 浙江省湖州市2025-2026学年下学期高一数学期末模拟试卷（人教A版必修第一册、必修第二册）

**基本信息** 整合近5年高考真题与原创探究题，覆盖函数、几何、概率等模块，通过旅游调查、健身步道等情境考查数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|圆锥体积（2023全国乙卷）、集合运算（2023新课标Ⅱ卷）|融合高考真题，注重基础巩固| |多选题|3/18|复数性质（原创）、立体几何判定（原创）|设置易错选项，考查逻辑推理| |填空题|3/15|直观图面积、三棱锥外接球|强调空间想象与转化思想| |解答题|5/77|分层抽样与独立性检验（2026上海高考题）、向量新运算（探究题）|结合现实情境，突出创新应用与数学表达|

浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末考试模拟卷 整体难度：适中 考试范围：空间向量与立体几何,集合与常用逻辑用语,平面向量,三角函数与解三角形,计数原理与概率统计,复数,函数与导数,等式与不等式 试卷题型 题型 数量 单选题 8 多选题 3 填空题 3 解答题 5 试卷难度 难度 题数 较易 5 适中 11 较难 2 困难 1 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、选择题 1 0.65 锥体体积的有关计算 2 0.85 根据集合的包含关系求参数 3 0.85 数量积的运算律；已知数量积求模；垂直关系的向量表示 4 0.65 正弦定理解三角形；余弦定理解三角形 5 0.65 三角函数的化简、求值——诱导公式；求含sinx(型)函数的值域和最值 6 0.65 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；根据条形统计图解决实际问题；根据扇形统计图解决实际问题 7 0.65 独立事件的判断；独立事件的乘法公式；互斥事件的概率加法公式 8 0.4 线面垂直证明线线垂直；组合体表面两点间的最短路径；证线面垂直 二、多选题 9 0.65 已知复数的类型求参数；在各象限内点对应复数的特征；共轭复数的概念及计算；与复数模相关的轨迹（图形）问题 10 0.65 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断 11 0.4 扇形面积的有关计算；几何中的三角函数模型 三、填空题 12 0.85 复数的除法运算；求复数的模 13 0.85 由直观图还原几何图形；斜二测画法中有关量的计算 14 0.15 球的表面积有关计算；多面体与球体内切外接球问题；线面垂直证明线线垂直 四、解答题 15 0.85 计算几个数的平均数；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；独立事件的判断 16 0.65 求点面距离；证明线面平行 17 0.65 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 18 0.65 由奇偶性求函数解析式；解不含参数的一元二次不等式；由指数函数的单调性解不等式；判断指数型复合函数的单调性 19 0.65 向量夹角的坐标表示；向量夹角的计算；数量积的坐标表示；向量新定义；用定义求向量的数量积 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 空间向量与立体几何 1,8,10,13,14,15 2 集合与常用逻辑用语 2 3 平面向量 3,19 4 三角函数与解三角形 4,5,11,17 5 计数原理与概率统计 6,7,16 6 复数 9,12 7 函数与导数 18 8 等式与不等式 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷（参考答案及详解详细） 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 评分标准：(不选，多选，错选均不得分） 题号 1 2 3 4 答案 B B B C 题号 5 6 7 8 答案 A D B A 1．B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积.故选：B 2．B 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：.故选：B. 3．B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，从而.故选：B. 4．C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留. 【详解】在中，由余弦定理得. 已知，，，代入得： . 化简得： . 由求根公式. 因为，由正弦定理. 得，存在两解，即三角形存在两个解. 所以所对的边或. 5．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】由诱导公式可得， 则,函数的最大值为.所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 6．D 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据条形统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 7．B 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况，因此，则，所以C错误；依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 8．A 【难度】0.4 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】将四棱锥补全为长方体，作，根据线面垂直的判定和性质可证得平面，进而得到平面，可知当取得最小值时，；将平面沿翻折到与平面共面，当，取得最小值，最小值为，根据余弦定理和两角和差公式可求得，由此可得的值. 【详解】将四棱锥补全为如图所示的长方体， 作，垂足为，取中点，连接， 平面，平面，， 四边形为矩形，，又，平面， 平面，又平面，， 又，，平面，平面， 分别为中点，，平面， 为在平面内的射影，当取得最小值时，； 将平面沿翻折到与平面共面，如下图所示， 则当，且时，取得最小值，最小值为； ，， ， 又，， ，，，；又，， ， ，即的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求解线段长度之和的最小值的关键是能够通过对图形进行翻折，将问题转化为平面内的点到定直线的距离最小值的求解问题，从而根据解三角形的知识来求解出该最小值. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 评分标准：(不选，错选均不得分）（选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，选对三个选项得6分） 题号 9 10 11 答案 BCD ACD BCD 9．BCD 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的概念计算判断A；由复数的几何意义计算判断B；由复数在复平面内点坐标的特点列不等式计算判断C；设，由共轭复数及复数的乘法计算判断D. 【详解】对于A，若， 则，解得，故A错误； 对于B，由复数模的几何意义可知，若复数满足， 则复数对应复平面上以原点为圆心，内半径为 2，外半径为 3 的圆环， 所以面积为，故B正确； 对于C，若复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 所以当时，复数在复平面内对应的点在第二象限，故C正确； 对于D，设， 则，所以所以，故D正确. 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，由，可知或．又， 所以与的位置关系不确定．A错误． 对于B，因为，设，在上取点， 过在内作，则，又，所以． 过在内作，则， 又，所以．是二面角的平面角， 由知，所以．B正确； 对于C，与位置关系不确定，D错误. 对于D，由面面垂直的性质定理可知，因为缺少，所以无法推出，D错误； 11．BCD 【难度】0.4 【知识点】几何中的三角函数模型、扇形面积的有关计算 【分析】在三角形中把相应边长用的三角函数表示，利用三角函数解决问题. 【详解】设， 对于选项A，由题意可得，解得，A选项错误； 对于选项B，，则，， 所以， 令，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以新增步道CD的长度可以为，B选项正确； 对于选项C，则，， 所以， 即得， 由,得，即有， 从而. 故新增步道FG、FH长度之和不可能为. C选项正确； 对于选项D，点F为的中点时，则，则 则，从而， ，草坪的面积为. D选项正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】可知. 13． 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法规则将直观图图形还原成一个直角三角形，再根据长度变化规则可得直角边长，进而可得面积. 【详解】根据斜二测画法规则：平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度还原后变为直观图的2倍；且原图形中，. 由题得：原三角形中 ，，， 因此原的面积为： . 14． 【难度】0.15 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以，在直角中，，， ，，∴， ，令，则， ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分）（其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1)9； (2)； (3)不相互独立，理由见解析. 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、独立事件的判断 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； （3）验证，是否等于可得答案. 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，.....................................................2分 则抽取人数为：；......................................................................................................4分 （2）由题可得人的平均年龄为：；............................................8分 （3）由题可得，，，......................11分 注意到，则事件A与事件B不相互独立............................................13分 16．(1)证明见详解； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）先证明平面，结合等体积法即可求解. 【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以，..............................................................2分 又平面平面，所以平面；..............................................5分 （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以，...................................................7分 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故................................................................10分 又平面，所以平面，....................11分 易知.在中，， 所以..........................................................13分 设点到平面的距离为，由， 得，得，故点到平面的距离为...............15分 17．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，..............................................................................2分 所以，解得：．...........................................................6分 （2）由正弦定理可得 ，................................................................10分 变形可得：，即， 而，所以，又，所以，.....................................13分 故的面积为．..............................................................15分 18．(1)，； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据给定条件，利用奇偶函数的定义列式求解. （2）求出函数定义域，结合二次函数、指数函数单调性求出递增区间. （3）由（1）的结论化简不等式，再结合一元二次不等式的解法及指数函数单调性求解. 【详解】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，.....................4分 （2）由（1）得，由，得，.......................................6分 令，函数在上单调递增，在上单调递减，.....8分 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是...............10分 （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或，........................14分 即或，所以原不等式的解集为...............................................17分 19．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、向量垂直的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）利用向量垂直求得，进而利用定义计算即可； （2）利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的性质及定义向量的新运算可证明. 【详解】（1）因为，且，所以，.......................4分 解得，则，........................................................................................................6分 所以．........................................................................................................8分 （2）证明：若，则．..............................................................................9分 又，所以，即，所以．.........................11分 故是的充分条件．............................................................................................12分 若，则，...................................................................................................13分 整理得，所以．........................................................................................15分 故是的必要条件．............................................................................................16分 综上所述，是的充要条件．............................................................................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟试卷 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则 A．2 B．1 C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则 A． B． C． D．1 4．(原创）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．4 5．（2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 6．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 7．（25-26高三下·河北·开学考试）在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022高二下·浙江温州·学业考试）如图，在四棱锥中，，四边形为矩形，平面，为中点，为平面上的动点，为上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（原创）下列结论正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 C．复数在复平面内对应的点不可能在第三象限 D．设均为复数，则 10．（原创）已知直线，与平面，，下列说法错误的是（   ） A．，且，则 B．，且，则 C．，且，则 D．，且，则 11．（探究题、新情境题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外空地铺上草坪，则（   ） A．的范围是 B．新增步道CD的长度可以为 C．新增步道FG、FH长度之和不可能为 D．当点F为的中点时，草坪的面积为 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（原创）已知复数，则复数的模长为______. 13．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，是水平放置的的直观图，，，则原的面积为__________． 14．（23-24高三上·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 16．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 17．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 18．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 19．（探究题、新情境题）（24-25高一下·河南·期末）已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $