精品解析：浙江省湖州市2024-2025学年高一下学期6月期末调研测试数学试题

湖州市2024学年第二学期期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，由， 得， 所以. 故选：B 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用复数的四则运算，化简复数，最后再求模长即可. 【详解】 . 故选：D. 3. 直线平面，直线，则与的位置关系一定不成立的是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质及线线位置关系逐项判断. 【详解】由直线平面，直线，得，A错误，D正确； 令，当时，与相交；当时，与是异面直线，BC正确. 故选：A 4. 已知，是两个单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由单位向量、向量的数量积与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是两个单位向量，所以 充分性：若，则，，所以， 必要性：若，则， 即，所以， 所以，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5. 已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则（ ） A. 3 B. －3 C. 1或3 D. －1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差计算公式计算即可. 【详解】因为样本数据，，，，的平均数为，方差为， 则样本数据，，，的平均数为，方差为， 所以，解得或. 故选：C. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式探索、的三角函数的关系. 【详解】因为， 所以， 所以 故选：B 7. 在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先利用线线平行确定异面直线与所成角的角，再利用勾股定理结合中点求得，从而利用余弦定理即可得解. 【详解】记的中点为，连接，如图，    因为为棱的中点，为的中点，所以， 所以为异面直线与的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱中，， 所以，，，， 所以在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理边化角，再利用和差角的正弦及二倍角的余弦公式求解. 【详解】在中，由，得， 即， 整理得，而，则， 于是，而，解得， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，可判断A的真假；根据概率的加法公式，可判断B的真假；根据互斥事件的概率公式，可判断C的真假，根据摩根定律和对立事件概率公式，可判断D的真假. 【详解】对A：根据对立事件的概率公式，可得：，故A正确； 对B：根据概率的加法公式，可得：，故B错误； 对C：因为，且与互斥，根据互斥事件概率加法公式， 可得，所以，故C正确； 对D：根据摩根定律，，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 在正方体中，点、、分别是棱、、的中点，点是线段上一个动点（不含端点），则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 与平面所成角正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证共面，再根据异面直线的判定可判断A；先由线线平行，得到线面平行，进而得到面面平行，再利用面面平行的性质即可判断B，先得到与平面所成角即为与平面所成角，设正方体的棱长为1，则，令平面,则为与平面所成角，由等体积法求得,当为中点时，，此时最小，从而求得的最大值，即可判断D. 【详解】对于A，如图①，正方体中，、分别是、的中点，所以， 所以共面，由平面，平面， ，平面，得与异面，故A正确； 对于B，如图②，正方体中，令的中点为，又因为、、分别是、、的中点， 所以，，平面，平面，平面， 故平面，平面，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图②，由选项A，知，所以为与的所成角，在正中，，故C不正确； 对于D，由选项B，知平面平面，故与平面所成角即为与平面所成角，如图③， 设正方体的棱长为1，则，令平面，因平面， 则为与平面所成角， 由得，， 得，∴, 在正中，当为中点时，，此时最小，的最小值为， 此时的值最大，最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式可得，即可根据勾股定理求解母线，由圆锥的侧面积公式代入计算即可. 【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为，则，解得， 故圆锥的母线，故侧面积为． 故答案为：. 13. 函数的图象向右平移个单位后可以得到函数的图象，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象平移变换求出函数式，进而求出值. 【详解】函数的图象向右平移个单位得的图象， 依题意，，而，所以. 故答案为： 14. 在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合三角形中位线的性质，根据向量数量积的运算律可得，进而可得. 【详解】如图所示，连接，取中点为，连接，，则，， 则， 因为，，， ， 整理可得， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值，利用品频率分布直方图估计百分位数. （2）利用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为0.1，0.3， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为， 在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，）， 试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 16. 如图，在三棱台中，平面，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解. （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （3）利用线面角的定义求解. 【小问1详解】 在三棱台中，平面，平面，则， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以. 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 连接， 由（2）知，平面，则与平面所成角即为， 在中，，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：; （2）若，， （i）求的值； （ii）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求线段长的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可得，再结合三角形内角和定理和三角恒等变换公式，即可得到. （2）（i）结合二倍角公式与同角三角函数关系式，即可求解. （ii）利用三角形的面积公式，结合基本不等式，可求线段长的最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：， 则， 故，即， 而，则（不成立），即． 【小问2详解】 （i）因为，则，即， 所以，则， 所以． （ii）由， 设，，由（2）知， 又，即，得， 所以， 当且仅当时等号成立，线段长的最小值为． 18. 设函数． （1）判断函数的单调性（无需证明）； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，解关于实数不等式． 【答案】（1）函数在（0，6）上单调递增 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据基本函数的单调性判断函数的单调性. （2）根据或为常数，判断函数图象的对称性. （3）根据函数的单调性和对称性，把函数不等式转化为代数不等式，求的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，、、都是增函数， 所以函数在（0，6）上单调递增． 【小问2详解】 的定义域为， 由于， （或） 所以关于点（3，3a－b）中心对称． 【小问3详解】 当时，由（2）知，关于点中心对称， 关于的不等式等价于， 又， 由，解得， 所以不等式解或． 19. 四边形中，，连接，，将沿翻折至，其中点为动点． （1）若，且平面平面， （i）求三棱锥外接球的半径； （ii）求二面角的正切值; （2）在翻折过程中，若四边形为平面四边形，求线段长的最大值． 【答案】（1）（i）求三棱锥外接球的半径； （ii） （2）8 【解析】 【分析】（1）（i）利用勾股定理逆定理得，利用面面垂直的性质定理证得，从而得到三棱锥外接球的球心即为中点，半径，求解即可； （ii）由（i）证得二面角的平面角为，求解即可； （2）由题意知，两点在异侧，设，则，．利用正、余弦定理得到，再利用三角恒等变形求三角函数的最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，知． 因为面面，面面，面 所以面，故． 又由，，知， 而，所以面， 故． 取中点，连结，． 所以，分别为和斜边上中线， 于是三棱锥外接球的半径． （ii）由（i）知，面， 所以，， 所以二面角的平面角为， 在中，，， 所以． 【小问2详解】 若四边形为平面四边形，要使得线段取最大值， 显然，两点在异侧． 设，则，． 在中，， 则，所以，． 在中，，， ， 因为，所以当时，取最大值64，线段长的最大值8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖州市2024学年第二学期期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线平面，直线，则与的位置关系一定不成立的是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 4. 已知，是两个单位向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则（ ） A. 3 B. －3 C. 1或3 D. －1或3 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 在中，已知，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C D. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，点、、分别是棱、、的中点，点是线段上一个动点（不含端点），则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 与平面所成角正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 13. 函数的图象向右平移个单位后可以得到函数的图象，则_____． 14. 在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着暑假临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 16. 如图，在三棱台中，平面，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：; （2）若，， （i）求的值； （ii）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求线段长的最小值． 18. 设函数． （1）判断函数的单调性（无需证明）； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，解关于实数的不等式． 19. 四边形中，，连接，，将沿翻折至，其中点为动点． （1）若，且平面平面， （i）求三棱锥外接球的半径； （ii）求二面角的正切值; （2）在翻折过程中，若四边形为平面四边形，求线段长最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$