2026年山东省济南市初中学业水平数学考试适应性测试卷（一）

**基本信息** 以文化传承（牟合方盖）、跨学科应用（化学实验装置）和社会热点（垃圾处理）为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计合理，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、分式、因式分解、三视图等|结合“牟合方盖”考空间观念，二次函数图像结论培养推理意识| |填空题|5/20|概率、代数式、角度计算、利润问题、几何最值|销售利润问题体现模型意识，几何最值考查创新思维| |解答题|10/90|解直角三角形、统计、圆、函数综合、几何变换等|化学实验装置解直角三角形（跨学科），垃圾处理问题考方程与函数（社会热点），几何变换综合（旋转翻折）发展空间观念|

2026年山东省济南市初中学业水平数学考试适应性测试卷（一） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共7页，25小题考试时间120分钟，满分150分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．把数9160000用科学记数法表示成，则正整数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．要使分式有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是：（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的左视图是（    ）    A． B． C． D． 5．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 6．有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是（   ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 9．已知在正方形中，长为6，分别以A，B为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于两点，作直线，交于点E，再分别以A，E为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与，交于点F、G，那么四边形的面积为（   ） A．18 B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③ ；④；⑤．其中正确结论的个数为（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________． 12．代数式与代数式的值相等，则________． 13．如图，，过点作．则的度数是_______． 14．某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第_________天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 15．如图，在中，，，，点M与点N分别在边与上，，将沿翻折得到，连接并将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．（本小题满分7分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 19．（本小题满分8分）如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 20．（本小题满分8分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； (2)请补全条形统计图； (3)抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； (4)该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 21．（本小题满分9分）如图，内接于⊙，为⊙的直径，平分交⊙于点，交于点，连接，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 22．（本小题满分10分）某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨． (1)求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？ (2)为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？ 23．（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 24．（本小题满分12分）已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)写出抛物线的解析式； (2)如图，是第四象限抛物线上一点，交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，使其顶点为，为轴上一点，直线和与抛物线都只有一个公共点，且分别与轴交于点，，为轴上点，上方一点，若，求点的坐标． 25．（本小题满分12分）综合与实践：数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣，获得数学知识． 如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化． 当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： (1)图②中，，此时，点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)图③中，若，，则 ；当，时， ； (3)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得 （如图④）．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B D C C B A 二、填空题 11． 12． 13． 14．4或32 15． 三、解答题 16．【详解】解：原式． 17．【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有正整数解为． 18．【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 19．【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 20．【详解】（1）解：（名）， ， 故答案为：40；18； （2）解：D组的人数为， 补全条形统计图如图， ； （3）解：抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是第20和21个数， ∴中位数是， 故答案为：； （4）解：（名）， 答：估计九年级所需指导教师6名． 21．【详解】（1）解：如图所示，连接， 因为为⊙的直径． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 因为与相切于点， 所以． 所以． 所以． 所以． （2）解：如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以四边形为矩形． 因为 所以，． 所以． 所以． 22．【详解】（1）解：设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个， 根据题意得：， 解得：，则（个） 答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个； （2）解：设改建后日处理垃圾为y吨， 根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个， 则， 即， ， 随a的增大而减小， ， 当时，y有最大值，最大值为：（吨） 答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨． 23．【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 24．【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，设， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， 解得舍，， 当时，． ∴； 直线的解析式为； （3）解：∵平移抛物线得到抛物线，使其顶点为， ∴抛物线， 设， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ∴， 当时，整理得， ， ， 设直线的解析式为，同理有，， ，为一元二次方程的两根， ，， 设， ∵，， ，，， ∵ ， ， ， ， ， ， 25．【详解】（1）解：，理由如下： ∵，四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵E、F为，中点，即：， ∴， ∴， ∴， ∵H为中点，G为中点， ∴， ∴． （2）连接，如图所示， 由题意知，，， ∴， 由矩形性质及旋转知，， ∴， ∴， ∵G为中点，H为中点， ∴， ∴， ∴若，，则；当，时，；． 故答案为：；； （3）过作于，如图所示， 由折叠知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， 由知，， 即，，   ∵， ∴， ∴， 即，， ∴， 解得：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $