第九章 变量之间的关系 期末通关复习 2025--2026学年鲁教版六年级数学下册

**基本信息** 聚焦变量关系核心考点，通过概念辨析-关系式构建-图象分析-综合应用的递进式训练，系统提炼常量变量判断、表格规律探究、动态过程图象解读等方法，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空11-12|常量与变量识别、自变量因变量判断|从实际情境抽象变量关系，建立概念认知| |关系式构建|单选4-5、填空13、解答15-17|表格数据规律推导、实际问题建模|通过数量关系表达变量联系，培养模型意识| |图象分析|单选6-10、填空14、解答19-20|动态过程图象解读、关键点含义分析|以图象直观呈现变量变化，发展几何直观| |综合应用|解答18-20|跨情境问题解决、数据与图象结合|整合概念与方法，提升用数学语言表达现实世界的能力|

第九章变量之间的关系期末通关复习 一、单选题 1．在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 2．一种英语本每本2元，买x本共付y元，则x和y的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图1所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额 D．金额和数量 4．地表以下岩层的温度y（单位：℃）随着所处深度x（单位：km）的变化而变化．在某个地点y与x的部分对应数据如下表： x/km 2 3 5 7 10 13 y/℃ 90 125 195 265 370 475 则该地y与x的关系可以近似地表示为（   ） A． B． C． D． 5．食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 6．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B是处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动列点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入x克物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如下表；由表中数据的规律可知，当克时，y的长度是（    ） /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 A．50毫米 B．52毫米 C．58毫米 D．60毫米 8．将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（   ） A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米 C．摩天轮转一周需要9分钟 D．当时，小明处于上升状态 10．国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 12．声音在空气中传播的速度（米/秒）（简称音速）与气温（）之间的关系如下： 气温（℃） 音速（米/秒） 从表中可知音速随温度的变化而变化．某校在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点_________米． 13．四个圆柱形容器内部的底面积分别为，，，．分别往这四个容器中注入的水．如果分别用x（单位：）和y（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系：____________． 14．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 三、解答题 15．如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 16．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 17．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 18．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 19．游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 20．2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第九章变量之间的关系期末通关复习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A D B C B D C 1．B 【分析】本题考查常量与变量的概念掌握，常量是固定不变的量，变量是变化的量是解题的关键． 速度不变即为常量，路程和时间会相互变化，故为变量. 【详解】解：∵速度保持不变， ∴是常量， ∵，且v为常量， ∴随的变化而变化，或随的变化而变化， ∴和都是变量． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了列关系式． 根据总价单价数量，每本2元，买x本，总价y元，因此． 【详解】解：∵单价为2元，数量为x本， ∴总价． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键，根据常量与变量的意义，即可解答． 【详解】解：小明的爸爸到单位附近的加油站加油，如图所示的是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的自变量是数量，因变量是金额，常量是单价， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中数据的变化规律求出函数关系式是解决问题的关键． 根据表格数据，随的变化呈线性关系，每增加，增加，由此求函数关系. 【详解】解：∵ 每增加，增加， ∴ ∴ ， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了常量与变量，根据表格数据，时间与油温都是变量，且初始温度为；温度随时间的变化呈线性关系，每秒升高，因此加热到秒时预计温度为；但由于食用油有沸点，温度不会无限升高，因此油温不会持续升高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意； 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了通过数据找规律，熟练掌握观察数据变化趋势并总结规律是解题的关键．先观察表格中数据的变化规律，找到与之间的数量关系，再将代入求出的值．本题主要考查了通过数据找规律，熟练掌握观察数据变化趋势并总结规律是解题的关键． 【详解】解：观察表格中数据： 当时，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 可得出． 当时，． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键． 根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意； B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意； C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意； D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 11． 【分析】根据出租车收费标准，总车费为以内的收费与以外超出部分收费的和，据此列代数式即可得到函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出的里程为， 因此应付车费， 故小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为． 12． 【分析】本题考查变量之间的关系，函数的表示方法；能够通过表格观察出变量的变化关系，利用表格的数据计算距离是解题的关键．从表格可知，时，音速为343米/秒，根据音速乘以时间，即可求解． 【详解】解：从表格可以看到y随x的升高而加快； 时，音速为343米/秒，米， 这个人距离发令点米； 故答案为：； 13． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据容器内水的体积等于容器的底面积乘以水的高度列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵容器内水的体积等于容器的底面积乘以水的高度， ∴， 故答案为：． 14．①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 15．(1) (2)当每增加时，增加 (3)，表示的是的面积 (4) 【分析】本题考查用关系式表示两个变量间的关系，正确得到关系式是解答的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求关系式，求出当时，当时的因变量的值即可得到答案； （3）根据（1）所求关系式，求出当时的y值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积； （4）由列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 16．(1)阴影部分的面积 (2) (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 【详解】（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量， 故答案为：阴影部分的面积； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）知：， 当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，． ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到． 17．(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 18．(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 19．（1），h；（2）8，2；（3）． 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 20．(1)小明的游览时间，小明步行的路程 (2)4 (3)0.35 (4)小明游览时间为时，步行的路程为 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键． （1）由题意直接得到； （2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解； （3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解； （4）根据其横纵坐标说明即可． 【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程． 故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程； （2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：， 时间为： ∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 故答案为：4； （3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：， ∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：， ∴在景点好汉坡处逗留的时间是， 故答案为：0.35； （4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为． 故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $