专题11.4 方程（组）与不等式（组）的实际应用 6大题型专项突破 2025--2026学年人教版七年级数学下册 （期末复习）

**基本信息** 聚焦方程（组）与不等式（组）实际应用，通过6大生活情境题型实现问题建模与求解能力的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |经济问题|1例+3变式|销售利润、采购方案|从价格/销量关系抽象等量关系，用方程组求基础量，不等式组解决优化问题| |方案选择问题|1例+3变式|设备采购、器材配置|通过方程组确定单价，结合资金/数量约束用不等式组枚举可行方案| |阶梯收费问题|1例+3变式|出租车/水/电收费|依据分段计费规则，构建分段函数模型，用不等式确定费用对应的量范围| |行程问题|1例+3变式|环形跑道、限速行驶|根据路程=速度×时间，建立方程或不等式解决相遇、速度范围问题| |分配问题|1例+3变式|图书/粽子分配|从“盈不足”情境提取不等关系，用不等式组确定分配对象数量| |其他应用问题|1例+3变式|货物运输、设备监控|综合运用方程组与不等式组解决资源分配、利润最大化等复杂实际问题|

专题11.4 方程（组）与不等式（组）的实际应用 【8大题型专项突破】 【题型1 经济问题】..................................................................................................................................1 【题型2 方案选择问题】..........................................................................................................................5 【题型3 阶梯收费问题】........................................................................................................................10 【题型4 行程问题】................................................................................................................................14 【题型5 分配问题】................................................................................................................................18 【题型6 其他应用问题】........................................................................................................................21 题型1 经济问题 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【答案】(1)哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； (2)一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元，根据“售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元”建立方程组求解即可； （2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个，根据总费用不超过105元可得，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元， 由题意得，， 解得． 答：哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； （2）解：设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个， 由题意得，， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是个． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·期中）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 题型2 方案选择问题 【例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 【变式2-2】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 【答案】(1)x的值为11，y的值为9 (2)该公司有两种方案，购买A型设备1台，B型设备9台最省钱 【分析】（1）由“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列出方程组，即可求解； （2）设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，由资金不超过95万元，月处理污水量不低于2024吨，列出不等式组，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 答：x的值为11，y的值为9； （2）解：设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，由题意，得 ， 解得 ， ∵a为整数， ∴或2， ∴该公司有以下两种方案： 方案一：当时，，即A型设备1台，B型设备为9台； 买设备所需资金为：万元； 方案二：当时，，即A型设备2台，B型设备为8台； 买设备所需资金为：万元； ∵， ∴购买A型设备1台，B型设备9台最省钱． 【变式2-3】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元 (2)共有种进货方案 (3) 【分析】（1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出一元一次不等式组，即可求解； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙单件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）解：设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 题型3 阶梯收费问题问题 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式3-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式3-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型4 行程问题 【例4】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型5 分配问题 【例5】（25-26七年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【变式5-3】（2026七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 题型6 其他应用问题 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有3种方案 (2)安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少 【分析】（1）设安排A种货箱x节，则安排B种货箱节，根据题意列出不等式组，解不等式组即可； （2）分别求出三种方案的运费，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设安排A型货箱x节，则安排B型货箱节，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，29，30， ∴共3种方案：安排A型货箱28节，B型货箱22节；安排A型货箱29节，B型货箱21节；安排A型货箱30节，B型货箱20节； （2）解：当安排A型货箱28节，B型货箱22节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱29节，B型货箱21节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱30节，B型货箱20节时，需要的运费为： （万元）； ∵， ∴安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少． 【变式6-1】（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 【变式6-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 (2)共有2种采购方案 (3)采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【变式6-3】（25-26七年级下·山西长治·期中）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级·班作为班级劳动实践基地．班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)若班级计划投入种植成本80元且恰好用完，两种蔬菜都种植，请求出所有符合条件的种植方案； (3)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)方案1：种植黄瓜1平方米，番茄12平方米；方案2：种植黄瓜4平方米，番茄8平方米；方案3：种植黄瓜7平方米，番茄4平方米 (3)黄瓜种植面积的可能整数值为3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元，列出方程组，解方程组即可； （2）设种植黄瓜m平方米，种植番茄n平方米，根据两种蔬菜的种植成本共80元，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可； （3）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设种植黄瓜m平方米，种植番茄n平方米，根据题意得： ， ∵、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种符合条件的方案：方案1：种植黄瓜1平方米，番茄12平方米；方案2：种植黄瓜4平方米，番茄8平方米；方案3：种植黄瓜7平方米，番茄4平方米； （3）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意得： ， 解得：， ∵t为正整数， ∴或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 方程（组）与不等式（组）的实际应用 【8大题型专项突破】 【题型1 经济问题】..................................................................................................................................1 【题型2 方案选择问题】..........................................................................................................................2 【题型3 阶梯收费问题】..........................................................................................................................4 【题型4 行程问题】..................................................................................................................................6 【题型5 分配问题】..................................................................................................................................7 【题型6 其他应用问题】..........................................................................................................................8 题型1 经济问题 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海·期中）为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品．已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元． (1)每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·期中）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 题型2 方案选择问题 【例2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【变式2-2】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 【变式2-3】（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共80件，若甲种茶叶进价为每件120元，乙种茶叶进价为每件100元．已知3件甲种茶叶和2件乙种茶叶的售价共900元；1件甲种茶叶和4件乙种茶叶的售价共800元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过9250元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的3倍，则有哪几种进货方案？ (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这80件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 题型3 阶梯收费问题问题 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式3-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型4 行程问题 【例4】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型5 分配问题 【例5】（25-26七年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【变式5-3】（2026七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 题型6 其他应用问题 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【变式6-1】（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【变式6-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式6-3】（25-26七年级下·山西长治·期中）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级·班作为班级劳动实践基地．班级计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获7千克，每平方米番茄每月可收获5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)若班级计划投入种植成本80元且恰好用完，两种蔬菜都种植，请求出所有符合条件的种植方案； (3)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于65千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $