精品解析：广东深圳市龙岗区宏扬学校2025—2026学年八年级数学（下册）学科素养形成练习 期中（第一章～第三章）

2025—2026学年八年级数学（下册）学科素养形成练习 期中（第一章~第三章） （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列是四款AI工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】解：A．，符合勾股逆定理，故是直角三角形，不符合题意； B．，，最大角，故是直角三角形，不符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不符合题意； D．，则，不符合勾股逆定理，故不是直角三角形，符合题意； 故选D． 3. 下列不等式变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、若，则，正确； B、若，则 ，原变形错误； C、若，则，原变形错误； D、若，则，原变形错误． 4. 点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规律：左减右加，上加下减，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度， ∴ 即点Q坐标为， 故选：C 5. 如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=1200，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ） A. 1.5cm B. 2cm C. 2.5cm D. 3cm 【答案】B 【解析】 【详解】连接AM、AN， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm， ∴∠B=∠C=30°， ∵EM垂直平分AB，NF垂直平分AC， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°， ∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=MN=NC， ∴BM=MN=CN， ∵BM+MN+CN=BC=6cm， ∴MN=2cm ， 故选B. 7. 如图，每个小方格的边长为1，的各顶点都在格点上，则边上的高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设边上的高为h，根据勾股定理得出的长，进而利用等面积法即可求解． 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即边上的高为． 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于M，N两点，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，再根据旋转的性质可得，，然后根据直角三角形的性质得，接下来设，则，根据勾股定理得，进而得出，再根据直角三角形的性质得，即可求出，接下来根据勾股定理得，可得，最后根据勾股定理求出,则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点H， 根据旋转的性质可得，． 在中，， ∴． 设，则，根据勾股定理，得， ∴， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 根据勾股定理，得, ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 10. 如图，②号“鱼”可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，平移的性质，先理解题意，再根据勾股定理列式计算，即可得出平移的距离． 【详解】解：如图所示： 依题意，平移的距离为 故答案为：． 11. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 12. 一次函数与的图象如图所示，则 的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可知， 的解集，即 的解集为. 13. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【答案】2027 【解析】 【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积和为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积和，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，则， 根据勾股定理可得：， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积和为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积和为； 第三代勾股树中所有正方形的面积和为； 第n代勾股树中所有正方形的面积和为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2027． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原不等式去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得． 【小问2详解】 解：原不等式去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】首先利用不等式的基本性质分别求出两个不等式的解集，接着，取它们的公共部分，最终得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 解集在数轴上表示，如图所示： 16. 如图，已知的各顶点均在网格图的格点上，并且每小格均为边长是1的正方形． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求的周长和面积； （3）在直线上画出点P，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据勾股定理求出三边长，根据周长公式求周长，分割法求面积； （3）作点关于的对称点，连接，交于点，此时点即为所求． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：由勾股定理，得，，， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于点，此时点即为所求． 17. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）首先利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ∴． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拍照打卡板 素材一 如图1是某商场设计的拍照打卡板，图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，E，C四点共线．其中，点A到BC的距离为3米，米，米． 素材二 用甲、乙两种材料分别制作长方形和等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为80元/平方米，乙材料的单价为90元/平方米． 问题解决 （1）任务一：推理最高点B到地面的距离．如果长等于，那么最高点B到地面的距离等于线段长吗？ （2）任务二：探究等腰三角形的面积表达式．假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式． （3）任务三：确定拍照打卡板的大小．如果制作拍照打卡板的总费用不超过1313元，请确定长度的最大值． 【答案】（1）最高点B到地面的距离等于线段长 （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）过点B作，垂足为H，证明，即可解答； （2）过点A作，垂足为M，的延长线交于点N，根据轴对称的性质可得，从而得到米，，再由，即可解答； （3）分别求出长方形的费用为：元，等腰三角形的费用为：元，根据制作拍照打卡板的总费用不超过1313元，列出不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：过点B作，垂足为H，如图： ∴． ∵四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ∴， ， 即最高点B到地面的距离就是线段长． 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为M，的延长线交于点N，如图． ∵四边形是长方形， ∴， ， ∵是等腰三角形，打卡板是轴对称图形， ∴直线是该打卡板的对称轴， ∴， ∴， ∴米， ∴． ∵点A到BC的距离为3米，米， ∴， ∴ ． ∵等腰三角形的面积为S， ∴S关于x的函数表达式为：． 【小问3详解】 解：∵米，米， ∴长方形的面积为：平方米． ∵甲材料的单价为80元/平方米，乙材料的单价为90元/平方米， ∴长方形的费用为：元， 等腰三角形的费用为：元． 又∵制作拍照打卡板的总费用不超过1313元， ∴， 解得， 即长度的最大值为米． 19. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴ ，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1） （2）25 （3）x的值为7.2 【解析】 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴ ， ∴当三点共线时， 最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 【小问3详解】 如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 20. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【特例感知】如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则 ； （2）【类比迁移】如图2，将绕点A逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想之间具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【问题解决】如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足，点D为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道，要使得栈道尽可能长，求四边形的面积． 【答案】（1）6 （2），见解析 （3）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）先说明是等边三角形，可得，再根据得出答案； （2）设与相交于点F，由旋转的性质得，再说明是等腰直角三角形，可得，然后根据得出答案； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，由三角形的三边关系可知当三点共线时，取得最大值，即的最大值，再根据等腰三角形的性质求出（米），即可得米，接下来设与相交于点F，作于点G，可得，然后说明是等腰直角三角形，即可求出米，再求出和，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图1，设与相交于点F． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值． 此时，∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． 设与相交于点F，作于点G． ∵ ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴米， ∴， ． ∴． 因此，当最大时，四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级数学（下册）学科素养形成练习 期中（第一章~第三章） （满分：100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列是四款AI工具的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 3. 下列不等式变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=1200，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ） A. 1.5cm B. 2cm C. 2.5cm D. 3cm 7. 如图，每个小方格的边长为1，的各顶点都在格点上，则边上的高等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与交于M，N两点，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 10. 如图，②号“鱼”可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为______． 11. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 12. 一次函数与的图象如图所示，则 的解集是______． 13. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式： （1） ； （2）． 15. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 16. 如图，已知的各顶点均在网格图的格点上，并且每小格均为边长是1的正方形． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求的周长和面积； （3）在直线上画出点P，使最小．（保留作图痕迹） 17. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E，F，，垂足为G． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拍照打卡板 素材一 如图1是某商场设计的拍照打卡板，图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，E，C四点共线．其中，点A到BC的距离为3米，米，米． 素材二 用甲、乙两种材料分别制作长方形和等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为80元/平方米，乙材料的单价为90元/平方米． 问题解决 （1）任务一：推理最高点B到地面的距离．如果长等于，那么最高点B到地面的距离等于线段长吗？ （2）任务二：探究等腰三角形的面积表达式．假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式． （3）任务三：确定拍照打卡板的大小．如果制作拍照打卡板的总费用不超过1313元，请确定长度的最大值． 19. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴ ，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 20. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【特例感知】如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则 ； （2）【类比迁移】如图2，将绕点A逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想之间具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【问题解决】如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足，点D为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道，要使得栈道尽可能长，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $