精品解析：黑龙江省哈尔滨松雷中学2024—2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年度（下）学期八年级（三月） 数学练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A 3x（x﹣4）=0 B. x2+y﹣3=0 C. +x=2 D. x3﹣3x+8=0 【答案】A 【解析】 【详解】A选项是一元二次方程，去括号后为3x2－12x=0； B选项不是一元二次方程，因为方程中含有两个未知数； C选项不是一元二次方程，因为不是整式方程； D选项不是一元二次方程，因为未知数的最高次数为3. 故选A. 点睛：一元二次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）. 注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式. 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 3. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A. (x-1)2=16 B. 3(x-2)2=27 C. 5x2-3x=0 D. x2+2x=8 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项. 【详解】解：A、不符合一般形式，故A错误； B、不符合一般形式，故B错误； C、是一般形式，故C符合题意； D、不符合一般形式，故D错误； 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 4. 在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. ±5 【答案】C 【解析】 【详解】作PA⊥x轴于A，则PA=4，OA=3．则根据勾股定理，得OP=5，，即点P(3，4)到原点的距离是5，故选C. 点睛：本题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到坐标轴的距离即为点的横（纵）坐标的绝对值． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方的方法是解题的关键．根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 6. 如图所示把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）. A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OA的长，根据实数与数轴的知识解答． 详解】， ∴OA=， 则点A对应的数是， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 7. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 8. 圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ） A. 20 B. 10 C. 14 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开，如图，则即为所求， 由题意，得：， ∴， ∴要爬行的最短路程为10； 故选B． 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 10. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：如图， ①∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49， 故本选项正确； ②由图可知，x-y=CE==2， 故本选项正确； ③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为 4××xy+4=49，即2xy+4=49； 故本选项正确； ④由2xy+4=49可得2xy=45（1）， 又∵x2+y2=49（2）， ∴（1）+（2）得，x2+2xy+y2=49+45， 整理得，（x+y）2=94，x+y=≠9， 故本选项错误． ∴正确结论有①②③． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝___． 【答案】12 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】由勾股定理得：. 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键. 12. 当______时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，把长方形按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长度是______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定等知识，证得是解题的关键．先证明，从而得到，然后利用翻折的性质得到，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴． 由翻折的性质可知；，． ∴． ∴． ∴． 设，则． 中，由勾股定理得；， 即， 解得：． ∴， 故答案为：5． 14. 已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =__________． 【答案】±2 【解析】 【详解】由题意知：⊿=k2-4=0 ∴k=±2 故答案为±2． 15. 哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 根据题意得： 解得（舍去） 即这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 16. 如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 利用勾股定理先求出，再求出，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 17. 在中，，，，则的面积为______. 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分类讨论思想以及勾股定理的运用，熟练进行分类讨论和运用勾股定理求线段是解题的关键. 图形不确定，需要分钝角三角形及锐角三角形进行讨论，利用勾股定理进行计算出的长度，代入三角形面积公式即可. 【详解】解：当是钝角时，过A作于D， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ 当是锐角时，过A作于D， ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴的面积为或 故答案为：或 18. 如图，在中，P为平面内一点，连结，分别以和为一边向右作等边三角形和，若，，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、最短距离等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 连接，过点作于点，证明，得到，确定的最小值是的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（19题12分；20、21、22每题8分；23、24、25每题10分，共计66分） 19. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤． （1）利用开平方根法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； （3）利用十字相乘法即可求解； （4）利用求根公式即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，； 【小问3详解】 解： ∴，； 【小问4详解】 解： ∵， ， ∴，． 20. 如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． （1）画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； （2）的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，熟练掌握网格结构以及勾股定理，直角三角形，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）根据勾股定理，直角边长取值为，画图即可； （2）利用勾股定理求出边长即可得出周长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：当时，的面积为， 由勾股定理得，， ∴的周长为． 故答案为：． 21. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上． （1）求A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短． 【答案】（1）20海里；（2）当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短． 【解析】 【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，在直角△ABH中利用勾股定理求出HA即可解决问题； （2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．求出BK即可解决问题； 【详解】（1）作BH⊥AC于H． ∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=∠BAC=30° ∴BA=BC=30×=20海里． ∵BH⊥AC， ∴BH=AB=10海里， ∴AH==10海里， ∴AC=2AH=20海里． （2）作CK⊥AB交AB的延长线于K． 在Rt△BCK中，∠BCK=90°－∠CBK=30°， BK= BC=10海里， ∴时间t=小时=20分钟． ∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短． 【点睛】此题考查勾股定理的应用—方向角问题，解题关键在于结合航海中的实际问题，利用勾股定理和含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键． 22. 已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9 （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）AC＝15；（2）四边形ABCD的面积为114 ． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求AC的长； （2）根据勾股定理的逆定理可判断∠D＝90°，四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ADC的面积． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90° ∴AC2＝AB2－BC2＝172－82＝225 ∴AC＝15 （2） ∵AD2＋CD2＝92＋122＝225＝AC2 ∴∠D＝90° ∴S四边形ABCD＝ S△ABC＋ S△ACD＝ 8×15÷2＋12×9÷2＝114 23. 某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？ （2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8折进行批发销售．商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于，则商场用于批发的水果最多为多少千克？ 【答案】（1）55元 （2）3000千克 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际最值问题，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系． （1）设每千克定价为元，根据利润列出方程求解即可； （2）设商场用于批发水果为a千克，根据利润列出不等式，并求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克定价为元，根据题意得， ， 解得，，， ∵要顾客得到实惠， ∴， 答：每千克的定价为55元； 【小问2详解】 解：设商场用于批发的水果为a千克，根据题意得， ， 解得， 答：商场用于批发的水果最多为3000千克． 24. 【认识新知】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； 【性质探究】（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，． 若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，则________；________； 求证：； 【解决问题】（3）如图3，中，，且，且，连结CE、BG、则________． 【答案】（1）见解析；（2）79；79．见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理即可解答；根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）∵ OA=1，OB=5，OC=7，OD=2 ∴ 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，， ， ∴； （3） ∵， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得， ∵ ∴BC=3，CG=，BE= ∴ ∴GE=． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 25. 如图，在中，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点D为线段上一点，连接，作，连接，延长至点N，连接，使且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）60° （3）2 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据直角三角形30度角性质得到，再利用勾股定理即可求出结论； （2）取的中点M，连接，得到为等边三角形，同理为等边三角形，证明，得到，再证明，推出，，根据，得到． （3）由（2）知，，证明得到，求出，导角得，利用勾股定理求得． 【小问1详解】 在中，∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 取的中点M，连接，过D作交延长线于点G， ∵，， ∴为等边三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 与中，，， ∴， ∴， 在和中，∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【小问3详解】 由（2）知，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）学期八年级（三月） 数学练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A. 3x（x﹣4）=0 B. x2+y﹣3=0 C. +x=2 D. x3﹣3x+8=0 2. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A. (x-1)2=16 B. 3(x-2)2=27 C. 5x2-3x=0 D. x2+2x=8 4. 在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. ±5 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）. A B. 1 C. D. 2 7. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 8. 圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ） A. 20 B. 10 C. 14 D. 无法确定 9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝___． 12. 当______时，关于x的方程是一元二次方程． 13. 如图，把长方形按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则长度是______cm． 14. 已知关于x一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =__________． 15. 哈市某中学组织篮球比赛庆祝建党100周年，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为___________． 16. 如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么______m． 17. 在中，，，，则的面积为______. 18. 如图，在中，P为平面内一点，连结，分别以和为一边向右作等边三角形和，若，，，则的最小值是______. 三、解答题（19题12分；20、21、22每题8分；23、24、25每题10分，共计66分） 19. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 20. 如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． （1）画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； （2）的周长为______． 21. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上． （1）求A处与小岛C之间的距离； （2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C距离最短． 22. 已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9 （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 23. 某水果批发商场以每千克40元的价格购进一种高档水果，如果按每千克50元销售，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克的定价应为多少元？ （2）在（1）的条件下，若商场购进该种水果5000千克，为了扩大销售，拿出一部分水果按定价的8折进行批发销售．商场在这批水果全部售出后，为了确保这批商品总的利润率不低于，则商场用于批发的水果最多为多少千克？ 24. 【认识新知】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； 【性质探究】（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，． 若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，则________；________； 求证：； 【解决问题】（3）如图3，中，，且，且，连结CE、BG、则________． 25. 如图，在中，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点D为线段上一点，连接，作，连接，延长至点N，连接，使且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$