精品解析：浙江金华市卓越联盟2025-2026学年第二学期5月阶段联考高二数学试题

2025学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 某校计划从2名男教师和6名女教师中，选出3名教师分别担任运动会开幕式的主持人、解说员和礼仪引导员．要求选出的3人中至少包含1名男教师，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. “”是“函数的图象关于对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线必然过样本中心点 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D. 正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 10. 如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（ ） A. 该三棱锥的外接球直径为 B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，存在极值点 B. 若有三个不同零点，，，则 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D. 若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 非选择题部分 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则________． 13. 将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 16. 某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 （1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 17. 记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． （1）求； （2）若，点是线段的中点，求线段的最大值． 18. 如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． （1）证明：平面． （2）空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 集合，是自然数集， 所以，又因为， 因此. 2. 设i为虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算及虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得，， 所以的虚部为. 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， ． 4. 已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，则 ， 解得， 设向量与的夹角为，则． 5. 某校计划从2名男教师和6名女教师中，选出3名教师分别担任运动会开幕式的主持人、解说员和礼仪引导员．要求选出的3人中至少包含1名男教师，则不同的安排方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可知，不同的安排方法有两种情况： 1男2女：， 2男1女：， 不同的安排方法总计：． 6. “”是“函数的图象关于对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，即， 因为是的真子集， 所以是函数的图象关于对称的必要不充分条件. 7. 已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 8. 设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数，求证是偶函数，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】已知函数，， 令，定义域为， 由于曲线与恰有一个交点，即函数只有一个零点， 又因为，所以函数是偶函数， 因此的零点只能是，即，代入函数，得，解得，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 线性回归直线必然过样本中心点 B. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 D. 正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确； 对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确； 对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误； 对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确. 10. 如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（ ） A. 该三棱锥的外接球直径为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B，根据三棱锥体积进行运算；选项CD，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算； 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球直径，故A正确； 选项B，由三棱锥的体积，得， 化简，得，故B正确； 对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，，则， 故C错误； 对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故D正确. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，存在极值点 B. 若有三个不同零点，，，则 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D. 若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算. 【详解】对于A，可得，当时，有， 此时恒成立，不存在极值点，故A错误； 对于B，若有三个不同零点，，， 则， 取，得，即，B正确； 对于C，设切点为，则切线方程为， 因为切线过点，可得， 即，整理得， 解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确； 对于D，若有三个不同零点，，，则， 求导得， 所以， ， 从而 ，D正确. 非选择题部分 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题得，再根据对数运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 13. 将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望公式计算. 【详解】的可能取值为，总分配情况数为， 当 时，即 4 名学生全部分配到同一家医院； 当 时，即只有 2 个医院有学生实习：先选 2 个医院：，4 人分配至这 2 个医院，排除全在其中 1 个医院的情况： ； 当 时，即 3 个医院均有学生实习，人数分配为 ：选 1 个医院安排 2 名学生：，从 4 人中选 2 人分配至该医院：，剩余 2 人分配至剩下 2 个医院： 所以，， ， 所以. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把原不等式变形为，然后分别分析的单调性和最值，得到恒在上方，所以有. 【详解】因为，原不等式等价于， 设，则，当时，单调递减， 当时，单调递增， 在上的最小值即为极小值； 设，则，当时，单调递增， 当时，单调递减， 在上的最大值即为极大值， 因为，所以在上恒成立， 所以等价于， 结合最值信息即有. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解； 【小问1详解】 当时，令，符合题意． 当时，令，，解得不符合，舍去． 综上． 【小问2详解】 当时，， 所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含 则当时，令， 当时，可得， 因为在上的上取值范围包含， 所以，结合可得； 当时，在上是增函数， 所以，不满足在上的上取值范围包含， 综上 16. 某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 （1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 【答案】（1）分布列见解析，2.7 （2）0.976． 【解析】 【分析】（1）由条件求该仪器的合格率，根据二项分布的定义判断随机变量，结合二项分布概率公式求分布列，再由二项分布期望公式求期望； （2）结合题干信息判断随机变量Y近似服从正态分布，求，再根据正态分布性质并结合参考数据求结论. 【小问1详解】 由题，该仪器的合格率， 所以随机变量，故其分布列为， 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望． 【小问2详解】 由（1）知，随机变量， 此时，， 所以可以认为随机变量Y近似服从正态分布， 其中，， 所以， 所以 ． 所以合格的件数的概率约为0.976． 17. 记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． （1）求； （2）若，点是线段的中点，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角； （2）由余弦定理可得，由平方结合向量数量积运算，得，利用正弦定理结合三角恒等变换求得的范围，进而求得答案. 【小问1详解】 由，则， 化简得，又，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 又， 所以 ， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，则，所以， 所以，所以，所以线段最大值为. 18. 如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． （1）证明：平面． （2）空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为与的交点 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，分别为，的中点， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ，， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，取中点，连接， ，，，， ∵平面平面，平面，平面平面， 平面． ∵四边形是边长为2的正方形，为中点， ，， 分别以，，所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则，，，， 假设存在点到点，，，距离都相等， 解得，，即， ∴点存在，且点为与的交点； 【小问3详解】 设平面、平面的法向量分别为，， 由（2）知，，，， 令，． 令，． 设平面、平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 【答案】（1）0 （2）时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $