专题四 指数函数与对数函数训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以指数函数与对数函数为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖概念理解、性质应用及综合拓展，体现从基础到复杂问题的逻辑递进。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空10-11|集合运算、定义域、指数对数运算|从定义出发，构建函数概念与基本运算的关联| |性质应用|选择6-8、填空12-14|单调性、奇偶性、定点问题|以函数性质为纽带，连接图像特征与简单应用| |综合拓展|选择9、填空15、解答16-20|零点问题、恒成立、实际建模|整合函数性质与方程、不等式，形成问题解决逻辑链|

2027高考数学一轮复习专题四 指数函数与对数函数 综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先解出不等式，再运用集合的运算进行求解即可. 【详解】由解得，所以集合； 由可得，即，所以集合， 即. 故选： 2．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 即，所以函数的零点所在区间是. 故选：B 3．已知命题，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】因为函数和都是增函数， 若命题成立，则，则， 所以命题是命题的充分条件， 反之，若命题成立，则，但当是非正数时，不等式没有意义， 所以命题不是命题的必要条件， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用换底公式化简计算 【详解】由可得， 则， 所以. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的性质以及不等式的性质即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以， 故选：D. 6．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】利用奇偶性和特殊值可得答案. 【详解】定义域为， 所以是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不正确； 当时，显然，当时，，排除C， 故选：D. 8．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 9．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、由导数求函数的最值（不含参）、对数函数图象的应用 【分析】根据函数解析式画出函数图象得，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得. 【详解】由，可得函数图象如下所示： 因为且， 所以，且， 所以， 令，， 则， 当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数，则__________. 【答案】3 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据解析式直接代入，结合指数和对数的运算求解. 【详解】. 故答案为：3. 11．函数的定义域为______． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数函数的真数大于0和分式的分母不为0联立求解即得函数的定义域. 【详解】由有意义，可得，解得且， 故该函数的定义域为. 故答案为：. 12．函数的单调递减区间为______． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先根据对数式的真数大于零求解出函数定义域，然后分析内层二次函数的单调性以及外层对数函数的单调性，结合“同增异减”的判断方法确定出的单调递减区间. 【详解】因为，所以， 又因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在其定义域内单调递增， 所以的单调递减区间是， 故答案为：. 13．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 14．已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】条件等式求最值、指数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】求出函数，且的图象恒过的定点，可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】对于函数，且，令，则， 则函数且的图象恒过定点， 则，且， 故， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 故答案为; 15．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用 【分析】令，得，问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象，分析即可得答案. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 画出与的图象如下图所示，    由图象可得，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知函数（且）． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即得； （2）在时，先利用复合函数的单调性判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质和特殊值，将不等式转化成，根据函数的单调性即得参数m的范围. 【详解】（1）由可得，即函数的定义域为，关于原点对称， 因，故函数为奇函数. （2）当时，， 因函数在上单调递增，又函数在定义域内单调递增，故函数在上单调递增； 又，且，故不等式等价于， 即，即可得，故实数m的取值范围为. 17．已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 18．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求指数函数解析式、含参指数函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 19．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由上的奇函数的性质可得，进而求得，再结合定义法判断函数单调性；（2）结合奇函数性质将问题转化为，结合函数单调性可得，进而构造函数，利用函数单调性求解的范围；（3）对不等式左侧因式分解可得，进而求得，再结合题意和函数的值域对参数分类讨论即可. 【详解】（1）由是奇函数，且定义域为，得. 所以，解得， 故解析式为：， 检验， 所以. 任取，且设， . 因为，且在上是增函数， 所以，即. 又因为且, 所以，即. 综上所述函数在上是增函数. （2）由，可得. 由（1）可知在上是增函数，故，则， 令，由，可得，即. 若存在使得成立，则. 令，设，则，， 当，即时，取得最小值， 所以. （3）根据题意可得， 因为，当时，， 所以，则. 若，则，不等式的解为， 要使不等式对任意恒成立，只需， 即，解得； 若，则，不等式的解为， 即 ，解得； 若，可得，不符合题意， 综上所述实数的取值范围是. 20．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ⅱ）. 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可. （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的递增区间是，无递减区间； 当时，的递增区间是，递减区间是. （2）（ⅰ）由，得，令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，恒成立，且， 由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点， 因此，即， 所以实数的取值范围是. （ⅱ）由，得，且， 不妨设，将代入， 得，即， 令，求导得，令， 求导得，则函数在上单调递减， 有，即，函数在上单调递减， 由，得，则， 因此函数在上单调递减，即， 于是，有，则， 又，令，， 由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增， 则，即，解得， 所以a的最大值是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高考数学一轮复习专题四 指数函数与对数函数 综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知函数，则__________. 11．函数的定义域为______． 12．函数的单调递减区间为______． 13．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 14．已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________. 15．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．已知函数（且）． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，求实数m的取值范围． 17．已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 18．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数为奇函数． (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围． 20．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个不同的零点， （i）求实数的取值范围： （ⅱ）若满足，求实数的最大值. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $