精品解析：2026年甘肃靖远县平堡中学等校中考一模数学试卷

数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（ ） A. 百帕 B. 百帕 C. 百帕 D. 百帕 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给定的记法，推导出高气压的记法即可得到答案． 【详解】解：∵题目规定，比标准海平面气压低记作负数，比标准低60百帕记作百帕， ∴比标准海平面气压高应记作正数， 因此比标准海平面气压高50百帕记作百帕． 2. 敦煌十二生肖祥纹是敦煌艺术与十二生肖的完美结合，展现出别具一格的文化韵味，下列生肖纹样中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后能够和自身完全重合的图形作出判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知C选项图案不是轴对称图形． 3. 根据国家统计局关于年粮食产量数据公告显示，年全国粮食总产量约万亿斤．数据“万亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题，当原数绝对值大于等于10时，为正整数，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万亿，表示为科学记数法时，满足，要使，则小数点向左移动了位， ∴， 即用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变，，选项中的式子计算错误； B、根据单项式乘法运算法则，系数相乘，同底数幂指数相加，，选项中的式子计算错误； C、根据单项式除法运算法则，，选项中的式子计算错误； D、根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则，，选项中的式子计算正确． 5. 如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、在中，必有，添加此条件没有意义，不能使成为菱形； B、在中，添加，由邻边相等的平行四边形是菱形即可得到为菱形，符合题意； C、在中，添加，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形，不能使成为菱形； D、在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能使成为菱形． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同乘，去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：将代入得， 是原分式方程的解． 7. 中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意表示出前三天行走的路程，再根据剩余路程等于总路程减去已走路程得出函数关系式即可． 【详解】解：∵第一天行走里，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半， ∴第二天行走路程为里，第三天行走路程为里， ∵总路程为里， ∴，整理得． 8. 国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标．如图所示的统计图反映了年国内生产总值增长速率情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 年国内生产总值增长速率最大 B. 年国内生产总值增长速率最小 C. 年，国内生产总值增长速率持续增加 D. 年，国内生产总值增长速率稳定在左右 【答案】C 【解析】 【分析】由折线统计图中的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、年国内生产总值增长速率为，比其他年度都大，选项结论正确； B、年国内生产总值增长速率为，比其他年度都小，选项结论正确； C、年，国内生产总值增长速率增加；年，国内生产总值增长速率减少；年，国内生产总值增长速率保持不变；选项结论错误； D、这两年国内生产总值增长速率均为，选项结论正确． 9. 中国团扇工艺精巧，寓意团圆美满．如图1，某非遗传承人设计了一把六瓣团扇，其扇面可看作是由六个全等的花瓣形区域组成，局部分解如图2所示．已知中心圆的圆心为点是其中一个花瓣形的两端点，连接，，，，其中一花瓣形轮廓的圆心为点，连接，，现要在团扇的轮廓（图中实线部分）包一圈布条，若，则需要的布条（接头处忽略不计）长为（ ） A. B. cm C. D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定与性质求出弦的长，再利用等腰直角三角形的性质求出花瓣轮廓所在圆的半径，最后利用弧长公式计算总周长． 【详解】解：连接如图， ， 为等边三角形， ， 设花瓣轮廓所在圆的半径为， ， 为等腰直角三角形， ， ，即， 一段花瓣轮廓的弧长为， 团扇由6个全等花瓣组成， 需要的布条长为． 10. 如图1，在等腰中，，动点分别同时从点出发，沿边方向以相同速度匀速运动，动点运动到点时停止，点也随之停止．设点的运动路程为，的面积为与之间的函数图象如图所示，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中点的运动情况及图中的函数关系得到当时，，进而求出等腰的边长；当时，作出图形，数形结合求出的值即可得到点的坐标． 【详解】解：根据题中点的运动情况及图中的函数关系可知，当时，；当时，， 当时，点还未动，就是点，如图所示： 在等腰中，，则， 解得，则由勾股定理可得， 当时，点运动到点，如图所示： 由题意可知， 过点作，如图所示： 则由三线合一性质可得， ， 点的坐标是． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式因式分解。 【详解】解：． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质：当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 13. 为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 14. 若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式求出对应的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数 的图象上， ∴，，， ∵， ∴． 15. 如图，在矩形中，对角线交于点是上一点，连接是的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形性质得到相关边的关系及长度，设，则，在中由勾股定理列方程求解得到，最后在中由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 则， ，即， 点是中点、点是的中点， 是的中位线， ． 16. 如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由前面几个特殊情况，分析得到规律即可． 【详解】解：第1个图形由1条主干组成，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第4个图形是在第3个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； … 以此类推，第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先由二次根式乘法运算、二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的各个一元一次不等式，再由不等式组解集求法求解即可． 【详解】解：， 解不等式①： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得； 解不等式②： 两边同时除以得， 移项得， 合并同类项得； 原不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先对各个部分分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分后由同分母分式减法运算计算即可． 【详解】解： ． 20. 【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 21. 在甘肃特色农产品展销会上，主办方举办了“抽取农产品卡片赢奖品”的活动，在一个不透明的箱子中装有四张除图案外完全相同的卡片，卡片上分别印有四种特色农产品（如图）及其主色调：A：兰州百合（主色为白）、B：静宁红苹果（主色为红）、C：陇南绿橄榄（主色为绿）和D：甘州红枸杞（主色为红）．参与者随机从箱中抽取一张卡片，记录信息后不放回，再随机抽取第二张．若两次抽到的卡片所代表的农产品主色调均为红色，即可获得一张10元代金券． （1）随机抽取一次卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求通过两次抽卡片能够获得代金券的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次都抽主色调为红色的农产品卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种， ∴从中任意抽取一张卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次都抽到主色调为红色的农产品卡片的结果有2种， ∴两次抽到能够获得代金券的概率为． 22. 如图1是甘肃省会宁县的会师纪念塔（简称会师塔），是为纪念中国工农红军第一、二、四方面军胜利会师、长征胜利结束这一伟大历史事件而修建的，是爱国主义教育的重要基地．某校数学活动小组开展了“测量会师塔的高度”的实践活动．如图2，会师塔垂直于地面，在塔前的水平地面上选取点C，放置测角仪，测得塔顶A的仰角为，将测角仪沿所在的直线移动至点E处，测得，塔顶A的仰角为，已知测角仪的高度，，均垂直于地面，点B，C，E在同一条直线上，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．求会师塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于点G，证明四边形，是矩形，求出，，然后解直角三角形求出，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G ∵，均垂直于地面 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵垂直于地面 ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴同理可得，四边形是矩形 ∴， 由题意得，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 综合与实践 【项目背景】 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．某校为了解九年级学生的书面作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX 中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX 中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX 中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为 分钟 本周平均每天完成书面作业 所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x(分钟)分为5 组：①；②；③；④；⑤ 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的主要原因是（ ）（单选） A．各科作业量之和大 B．作业难度大 C．不会规划时间，效率低 D．其他 完成书面作业所用时间过长的主要原因扇形统计图 调查结论 … 【数据分析与应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查中，本周平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第 （填序号）组，因“作业难度大”导致所用时长超过90分钟的学生有 人； （2）若该校九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； （3）请根据以上调查报告，对该校学生完成课后书面作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）3；24 （2）360人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义解答；所用时长超过90分钟的学生有2组，相加再乘以占比即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据调查数据进行分析并提出适当的建议即可． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了200名学生，将数据从小到大排列，中位数应为第100个和第101个数据的平均数； 第1组有8人；第2组有36人，累计人；第3组有96人，累计人，因为，所以第100个和第101个数据均落在第3组，故中位数落在第3组； 完成书面作业所用时长超过90分钟的学生人数为第4组和第5组人数之和： (人)； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的有360人 【小问3详解】 解：根据调查数据，样本中有 (即60人)的学生每天完成书面作业时间超过90分钟，未达到国家“双减”政策中“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”的要求，说明该校部分九年级学生作业负担依然较重； 建议： 针对“作业量太大”(占比)：建议学校或老师适当控制作业总量，提高作业质量，避免机械重复性作业； 针对“遇到疑难时未及时向他人请教”(占比)：建议学生提高学习效率，遇到难题及时记录并请教老师或同学，避免长时间卡壳；针对“用电子设备查阅资料导致分心”(占比)：建议学生合理使用电子设备，家长加强监管，避免作业过程中分心． 24. 如图，一次函数 的图象交反比例函数 的图象于点A，交x轴于点B，过点A作x轴的垂线交x轴于点 C，点C的坐标为，． （1）求一次函数 和反比例函数 的表达式； （2）将沿x轴正方向平移m个单位长度，得到，使得的中点 D 的对应点落在反比例函数图象上，此时反比例函数的图象与边交于点 E，求点 E的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （2）． 【解析】 【分析】（1）先得出，，，由得，求出，可得一次函数解析式，再求，可得反比例函数解析式； （2）先求D点坐标为，再表示出平移后的坐标为，代入反比例函数解析式，求出，可求，进而可求点的坐标． 【小问1详解】 解：令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，（ ，B在O，C间） ∴， 解得：， 所以，一次函数解析式为； ∵轴，， ∴点的横坐标为4， 代入一次函数得：， ∴， 将代入得：， 所以，反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴D点坐标为，即， 平移后的坐标为， ∵在上， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 平移后，，, ∴轴， 当时，， ∴点的坐标为． 25. 如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点O作的垂线，在垂线上取一点D，连接，使得，过点 C作的垂线分别交于点 E，F． （1）求证：是的切线； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，再证明；，，证明得，从而可得是的切线（作垂直，证相等）； （2）过点作交的延长线于点，设，则，设，求出,,得出，由得，求出，，由勾股定理求出． 【小问1详解】 证明：过点作于点， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， 设，则，设， ∵， ∴， ∴, ∴, 在中，， ∴， 解得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，． 26. 【模型建立】 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，连接，点M，N分别为直线上的动点，连接． （1）如图1，当点M，N在线段上时，猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，当点M在的延长线上，M，N，C三点共线时，连接，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当M，N，A三点共线时，若 ，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，得，再证明，得，，进而可证明； （2）方法思路同（1）； （3）设正方形的边长为3，则 ，，，再分别求出，，可得结论． 【小问1详解】 解：猜想：，， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴, 又 ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵ ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：结论，仍然成立：理由： 设和的交点为点， 同理：四边形是正方形， ∴，，， 同理得：， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为3，则 ，，， ∵， 由面积关系得， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴， ∴ 27. 如图1，抛物线 分别与x轴交于点A，，与y轴交于点，D是抛物线对称轴上的一动点，以点 D 为直角顶点作等腰 （1）求抛物线的表达式； （2）当点E在点 D 的下方时， ①若轴，求 的面积； ②若点 D 的纵坐标为，请在图2中画出后，求出点E的坐标，并判断点 E 是否在抛物线上，请说明理由； （3）如图3，若点E在点 D的下方，F为第一象限的一动点，连接，且满足 连接，当点D，F运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2）①9；②，点 E 在抛物线上，理由见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①求出，抛物线的对称轴为直线，设，由是等腰直角三角形得，求出，计算，即可求出； ②设对称轴与轴交于点,过点作于点，交轴于，证明，求出，得，再判断点在抛物线上； （3）先判断点的运动轨迹是以为直径，且在第一象限内的一段弧，设点为圆心，则；再判断点在直线上运动，过点作直线于点，当三点在同一条直线上，且与直线垂直时最短，即最短； 连接，由面积关系得,故可求的最小值为． 【小问1详解】 解：∵抛物线 分别与x轴交于，与y轴交于点， 将，代入解析式得：， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①对于，令 ，得， 解得：，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴点的横坐标为， 设，且点在点的下方， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴点在轴下方， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设对称轴与轴交于点,过点作于点，交轴于，如图， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， , 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径，且在第一象限内的一段弧， 设点为圆心，则； 设对称轴与轴将于点,过点作于点，如图，设，则 同理可证, ∴ ∴，, ∴, 令，，消去得，， ∴点在直线上运动， 设直线与轴交于点，令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴； 过点作直线于点，当三点在同一条直线上，且与直线垂直时最短，即最短； 连接，由面积关系得：， ∴, 解得：, ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 某高山气象站记录显示，凌晨5点的山体气压比标准海平面气压低60百帕，记作“百帕”．那么比标准海平面气压高50百帕记作（ ） A. 百帕 B. 百帕 C. 百帕 D. 百帕 2. 敦煌十二生肖祥纹是敦煌艺术与十二生肖的完美结合，展现出别具一格的文化韵味，下列生肖纹样中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据国家统计局关于年粮食产量数据公告显示，年全国粮食总产量约万亿斤．数据“万亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线相交于点，添加下列条件能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标．如图所示的统计图反映了年国内生产总值增长速率情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 年国内生产总值增长速率最大 B. 年国内生产总值增长速率最小 C. 年，国内生产总值增长速率持续增加 D. 年，国内生产总值增长速率稳定在左右 9. 中国团扇工艺精巧，寓意团圆美满．如图1，某非遗传承人设计了一把六瓣团扇，其扇面可看作是由六个全等的花瓣形区域组成，局部分解如图2所示．已知中心圆的圆心为点是其中一个花瓣形的两端点，连接，，，，其中一花瓣形轮廓的圆心为点，连接，，现要在团扇的轮廓（图中实线部分）包一圈布条，若，则需要的布条（接头处忽略不计）长为（ ） A. B. cm C. D. cm 10. 如图1，在等腰中，，动点分别同时从点出发，沿边方向以相同速度匀速运动，动点运动到点时停止，点也随之停止．设点的运动路程为，的面积为与之间的函数图象如图所示，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： _______． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则________． 13. 为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 14. 若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 15. 如图，在矩形中，对角线交于点是上一点，连接是的中点，连接，若，则的长为________． 16. 如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 在甘肃特色农产品展销会上，主办方举办了“抽取农产品卡片赢奖品”的活动，在一个不透明的箱子中装有四张除图案外完全相同的卡片，卡片上分别印有四种特色农产品（如图）及其主色调：A：兰州百合（主色为白）、B：静宁红苹果（主色为红）、C：陇南绿橄榄（主色为绿）和D：甘州红枸杞（主色为红）．参与者随机从箱中抽取一张卡片，记录信息后不放回，再随机抽取第二张．若两次抽到的卡片所代表的农产品主色调均为红色，即可获得一张10元代金券． （1）随机抽取一次卡片，抽到主色调为红色的农产品卡片的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求通过两次抽卡片能够获得代金券的概率． 22. 如图1是甘肃省会宁县的会师纪念塔（简称会师塔），是为纪念中国工农红军第一、二、四方面军胜利会师、长征胜利结束这一伟大历史事件而修建的，是爱国主义教育的重要基地．某校数学活动小组开展了“测量会师塔的高度”的实践活动．如图2，会师塔垂直于地面，在塔前的水平地面上选取点C，放置测角仪，测得塔顶A的仰角为，将测角仪沿所在的直线移动至点E处，测得，塔顶A的仰角为，已知测角仪的高度，，均垂直于地面，点B，C，E在同一条直线上，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．求会师塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 综合与实践 【项目背景】 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．某校为了解九年级学生的书面作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX 中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX 中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX 中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为 分钟 本周平均每天完成书面作业 所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x(分钟)分为5 组：①；②；③；④；⑤ 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的主要原因是（ ）（单选） A．各科作业量之和大 B．作业难度大 C．不会规划时间，效率低 D．其他 完成书面作业所用时间过长的主要原因扇形统计图 调查结论 … 【数据分析与应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查中，本周平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第 （填序号）组，因“作业难度大”导致所用时长超过90分钟的学生有 人； （2）若该校九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； （3）请根据以上调查报告，对该校学生完成课后书面作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 24. 如图，一次函数 的图象交反比例函数 的图象于点A，交x轴于点B，过点A作x轴的垂线交x轴于点 C，点C的坐标为，． （1）求一次函数 和反比例函数 的表达式； （2）将沿x轴正方向平移m个单位长度，得到，使得的中点 D 的对应点落在反比例函数图象上，此时反比例函数的图象与边交于点 E，求点 E的坐标． 25. 如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点O作的垂线，在垂线上取一点D，连接，使得，过点 C作的垂线分别交于点 E，F． （1）求证：是的切线； （2）若 ，，求的长． 26. 【模型建立】 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，连接，点M，N分别为直线上的动点，连接． （1）如图1，当点M，N在线段上时，猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，当点M在的延长线上，M，N，C三点共线时，连接，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当M，N，A三点共线时，若 ，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线 分别与x轴交于点A，，与y轴交于点，D是抛物线对称轴上的一动点，以点 D 为直角顶点作等腰 （1）求抛物线的表达式； （2）当点E在点 D 的下方时， ①若轴，求 的面积； ②若点 D 的纵坐标为，请在图2中画出后，求出点E的坐标，并判断点 E 是否在抛物线上，请说明理由； （3）如图3，若点E在点 D的下方，F为第一象限的一动点，连接，且满足 连接，当点D，F运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $