精品解析：江苏南通市海门市中南中学2025-2026学年第二学期四月份期中考试 八年级数学

海门区中南中学2025-2026学年第二学期四月份期中考试 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 因此自变量x的取值范围是． 3. 下列式子中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于x的每一个确定的值，若y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可 【详解】A、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； B、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； C、对任意x的确定值，唯一，因此y都有唯一确定的值和x对应，符合函数的定义； D、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数分 方差 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛． 【详解】解：∵， ∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定， ∵， ∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班成绩的中位数低于二班 【答案】B 【解析】 【分析】考查知识点为箱线图的特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的含义）；解题关键是明确箱体长度、中位数、最值对应的箱线图元素． 先回忆箱线图的含义：箱体长度反映数据集中程度（越短越集中），箱体下端是下四分位数、中间线是中位数，须线端点是最值．再逐一分析选项． 【详解】选项A：箱线图中，箱体越短代表数据越集中．一班的箱体长度长于二班，因此一班成绩更分散，该选项错误． 选项B：一班成绩的下四分位数对应的是箱体下端，图中一班箱体下端为80分，故该选项正确． 选项C：箱线图的最大值为140分，说明一班成绩的最大值是140分，无同学超过140分，该选项错误． 选项D：一班成绩的中位数是箱体中间线（100分），二班中位数低于100分，因此一班中位数高于二班，该选项错误． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 8. 如图，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为（ ） A. 3＜x＜6 B. x＞3 C. x＜6 D. x＞3或x＜6 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y=kx+b得， ， 解得， 则函数解析式为y=-x+2． 可得不等式组， 解得3＜x＜6． 故选A． 9. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可． 【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离， ∴①正确； ∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时， ∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ∴②正确； 设， ∴300=5m， 解得m=60， ∴； 设， ∴ 解得， ∴； ∴ 解得t=2.5， ∴2.5-1=1.5， ∴乙车出发后1.5小时追上甲车； ∴③错误； 当乙未出发时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲后面时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲前面时，， 解得t=； 当乙到大目的地，甲自己行走时，， 解得t=； ∴④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键． 10. 如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 的面积为16 C. 边所在直线的表达式为 D. D点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线与轴交于点，由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度，故点的坐标为，即可判断A选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，从而可得点的坐标为，进而得出，求出，，的面积为，即可判断B选项错误；待定系数法求出直线的解析式为，即可判断C选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即可判断D选项正确． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 二、填空题（本大题共6小题．第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 12. 某玉米种子的价格为40元，若一次购买不超过的种子，其价格不变；若一次购买超过的种子，超过部分的种子价格打6折．购买玉米种子，需付款元，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据当购买玉米种子时，不超过的部分按原价计算，超过的部分按6折计算，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：． 13. 某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 【答案】5.36 【解析】 【分析】先求出每组数据的组中值，再根据加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】分组数据计算平均数时，取每组区间的中点作为该组数据的代表值，即组中值， 各组组中值计算如下： 的组中值为， 的组中值为， 的组中值为. 的组中值为， 的组中值为， 根据加权平均数公式，平均时间为： ， 即该学校教职工一周徒步的平均时间为． 14. 若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1， ∴， 解得：， ∴． 15. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作交的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出为的中位线，进而求出，利用勾股定理求出AF，再证明，得出． 【详解】解：如图，连接，作交AB的延长线于点H． ∴ ∵四边形是边长为2的菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴，即点B为线段EH的中点， 又∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴, ∴，即是直角三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点．点为直线上一动点，连接，过点O作，，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，P点横坐标为t，用含t的代数式表示Q点坐标为_________，线段的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出、两点的坐标，再根据旋转的性质得到点的坐标，点P在直线上移动，绕点O顺时针旋转得线段，所以点Q运动轨迹也是一条直线，然后根据A，B两点确定点Q运动轨迹的两点可得出该解析式和点H坐标，最后再根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：对于直线，令，可得，所以； 令，可得，解得，所以． 设，因为线段绕点顺时针旋转得到线段，所以，且， 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 因为，， 所以， 在和中， ， 所以 ． 则，，所以， ∵始终为， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为， 设点M坐标为，点N坐标为， 连接，设该直线的解析式为， 代入点M、点N，得：， 解得， ∴， 设， ∴由平行四边形的性质可得：， ∴ ， ∴当时，的值最小， ∴， 所以，线段的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； 【小问3详解】 解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 19. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】 已知：如图，中，． 求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴平分． ， 垂直平分． ． 是菱形． 【解析】 【分析】按题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再利用平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质及菱形的判定即可证明． 【详解】略 20. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息： a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，）， ：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79． 根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分； （3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）见解析 （2）75，79 （3）估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人． 【解析】 【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数； （3）利用样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：第2组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75； 抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79， 则样本中位数为（分），因此中位数是79， 故答案为：75，79； 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键． 21. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连接，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）若直线与（2）中的图象有2个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的图象见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线（答案不唯一） （3）当时，直线与（2）中的图象有2个交点． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据三角形面积公式写出函数解析式，即可得到答案； （2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，求得直线与（2）中的图象中两个特殊点的函数值，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，的面积为， 当时，的面积为， 即y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； ； 【小问3详解】 解：如图，当直线经过点时，直线与（2）中的图象有2个交点， 此时， 解得， 当直线经过点时，直线与（2）中的图象只有1个交点， 此时， 解得， ∴当时，直线与（2）中的图象有2个交点． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF； （1）证明：AF=CE； （2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点， ∴DE∥AC，AC=2DE， ∵EF=2DE， ∴EF∥AC，EF=AC， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∴AF=CE； （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下： ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， AC=AB=AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴AC=CE， 又∵四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形．. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE； （2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键． 23. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售． 成本价(万元/辆) 售价(万元/辆) A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？ （2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值． 【答案】（1）购进型电动汽车12辆，型电动汽车8辆； （2）购进14辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是19.6万元； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用；解题的关键是：找出等量关系，列出二元一次方程组及一元一次不等式． （1）设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆，由题意：该店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，由题意：购进的型电动汽车不少于型电动汽车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值，然后再求出利润的解析式即可； （3）设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，新利润为元，得出，再根据不论为何值，均不变，得出结论． 【小问1详解】 解：设购进型电动汽车辆，购进型电动汽车辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：购进型电动汽车12辆，型电动汽车8辆； 【小问2详解】 解：设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆， 购进的型电动汽车不少于型电动汽车的2倍， ， 即， 根据题意，得：， ． ， 时，利润最大，最大值为：万元， 购进14辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是19.6万元； 【小问3详解】 解：设购进型电动汽车辆，则购进型电动汽车辆，新利润为元，由题意得： ，即， 不论为何值，均不变， ， ． 24. 如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点和点的坐标； （2）若点P在y轴上，并且，求P点坐标； （3）如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）P点坐标为或； （3）能，． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求两直线交点坐标即可； （2）设P点坐标为，求得，根据题意得到，据此求解即可； （3）过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点，证明，设，则，Q点在直线上，可得，求出m即可求M点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设P点坐标为， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得或， ∴P点坐标为或； 【小问3详解】 解：能等于，理由如下： 过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则点， ∵， ∴， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴． 25. 【问题情境】如图，矩形ABCD中，，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． （1）【初步探究】四边形的形状是______； （2）【深入探究】用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展延伸】设交于点，，求的长． 【答案】（1）正方形 （2），理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四边形为矩形，再证明，从而可得结论； （2）连接，证明，．，可得，而可得结论； （3）由≌得，，设，则，由勾股定理得，，即，可得． 【小问1详解】 解：四边形为正方形，理由如下： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得：， ∴四边形为矩形， 由折叠可得：， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：， 证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由折叠知，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由≌得，， ∴， ∵正方形中， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海门区中南中学2025-2026学年第二学期四月份期中考试 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，一元二次方程的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数分 方差 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班成绩的中位数低于二班 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为（ ） A. 3＜x＜6 B. x＞3 C. x＜6 D. x＞3或x＜6 9. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 点A的坐标为 B. 的面积为16 C. 边所在直线的表达式为 D. D点坐标 二、填空题（本大题共6小题．第11～12题每题3分，第13～16题每题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 当_____时，一次函数的图象经过原点． 12. 某玉米种子的价格为40元，若一次购买不超过的种子，其价格不变；若一次购买超过的种子，超过部分的种子价格打6折．购买玉米种子，需付款元，则与的函数关系式为_______． 13. 某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 14. 若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 15. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点．点为直线上一动点，连接，过点O作，，以，为一组邻边构造平行四边形．连接，P点横坐标为t，用含t的代数式表示Q点坐标为_________，线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 19. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 20. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息： a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，）， ：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79． 根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分； （3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数． 21. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连接，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）若直线与（2）中的图象有2个交点，直接写出的取值范围． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF； （1）证明：AF=CE； （2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由． 23. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售． 成本价(万元/辆) 售价(万元/辆) A型 16 168 B型 28 29.4 （1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？ （2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电动汽车的成本价下调万元，若该4S店保持这两种型号电动汽车的售价不变，并且无论该4S店如何进货这20辆电动汽车的销售利润不变，求a的值． 24. 如图1，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． （1）求点和点坐标； （2）若点P在y轴上，并且，求P点坐标； （3）如图2，为轴上点右侧一动点，以，为邻边作▱，连接，，在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 25. 【问题情境】如图，矩形ABCD中，，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． （1）【初步探究】四边形形状是______； （2）【深入探究】用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展延伸】设交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $