精品解析：江苏省南通市海门区部分学校2024～2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中测试 八年级 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ） A. 181 B. 175 C. 176 D. 175.5 4. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 函数值y随自变量x的增大而减小 B. 函数图象与y轴的交点坐标是 C. 函数图象与x轴的正方向成角 D. 函数图象不经过第四象限 6. 已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值为（ ） A. 14 B. C. 或21 D. 或14 7. 如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为中心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线，交对角线于点G．③连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，甲、丙两地相距500km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线ABCD表示两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间为x(h)之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是(　　) A. 甲、乙两地之间的距离为200 km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5 h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有50 km 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 写出一个经过点的函数表达式__________． 12. 如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 13. 甲、乙两人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14. 菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是，则菱形较小的内角是________． 15. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 16. 直线与直线的交点在x轴上，则m的值为________． 17. 如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 已知：如图一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且．请判断与的关系，并说明理由． 21. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图： 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）如果规定男生引体向上6次及6次以上，读项目成绩良好，若该校八年级有男生400人，估计该校男生该项目成绩良好的约有______人； （3）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 22. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 23. 如图，在矩形中，E是的中点，延长、交于点F，连接、、． （1）求证：； （2）当平分，且时，求的长． 24. 我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） （1）设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； （2）如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与相交于点E．边、的长满足式子． （1）直接写出、的长； （2）求证：； （3）求点E的坐标； （4）若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 26. 如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； （2）点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中测试 八年级 数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； B．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图像中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意． 2. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 3. 学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ） A. 181 B. 175 C. 176 D. 175.5 【答案】D 【解析】 【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数． 【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176， ∴这6个数据的中位数为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数． 4. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A. 函数值y随自变量x的增大而减小 B. 函数图象与y轴的交点坐标是 C. 函数图象与x轴的正方向成角 D. 函数图象不经过第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质并正确运用是解答的关键．根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵在一次函数的解析式中， ∴y随x的增大而减小，故选项A正确，符合题意； B、当时，，则该函数图象与y轴交于点，故选项B错误，不符合题意； C、该函数图象与x轴的正方向所成的角不是，故选项C错误，不符合题意； D、∵，， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限，故选项D错误． 故选：A． 6. 已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值为（ ） A. 14 B. C. 或21 D. 或14 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：由一次函数性质知，当k>0时，y随x的增大而增大，所以得， 解得， 即kb=14； 当k<0时，y随x的增大而减小，所以得， 解得， 即kb=-6． ∴的值为或14． 故选D． 【点睛】此题考查一次函数的性质,要注意根据一次函数图象的性质解答． 7. 如图，在矩形中，，．是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边相等，再结合勾股定理逐步计算线段长度．首先根据折叠的性质得出，；然后在中，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；最后设，表示出的长度，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，； ∵将沿折叠，点落在边上的点处， ∴，； 在中，由勾股定理得： ， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即； 故选：B． 8. 在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为中心，大于的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线，交对角线于点G．③连接．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，先证明，再证明，，可得，再利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得：是的垂直平分线， ， ∵菱形． ∴， ∴， ， ，， ， ， 故选：D． 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案． 【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称， ∴AP＝CP， 即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小， 所以此时△PAE周长的值最小， ∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1， ∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3， 由勾股定理得：CE＝5， ∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 10. 如图，甲、丙两地相距500km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地；一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线ABCD表示两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间为x(h)之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是(　　) A. 甲、乙两地之间的距离为200 km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5 h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有50 km 【答案】C 【解析】 【分析】根据两车同时出发，同向而行，所以点A即为甲、乙两地的距离；图中点B为y=0，即快慢两车的距离为0，所以B表示快慢两车相遇的时间；由图像可知慢车走300km，用了3小时，可求出慢车的速度，进而求出快车的速度；点C的横坐标表示快车走到丙地用的时间，根据快车与慢车的速度，可求出点C的坐标. 【详解】A、由图像分析得，点A即为甲、乙两地的距离，即甲、乙两地之间的距离为选项A是正确. BC、由图像可知慢车走300km，用了3小时，则慢车的速度为100km/h，因为1h快车比慢车多走100km，故快车速度为200km/h，所以快车从甲地到丙地的时间=500200=2.5h，故选项B是正确的，快车速度是慢车速度的两倍，故选项C是错误的. D、快车从甲地驶到丙地共用了2.5h，即点C的横坐标2.5，则慢车还剩0.5h才能到丙地，距离=0.5100=50km，故快车到达丙地时，慢车距丙地还有50km，选项D是正确的. 故正确答案为C. 【点睛】此题主要根据实际问题考查了一次函数的应用，解决此题的关键是根据函数图像，读懂题意，联系实际的变化，明确横轴和纵轴表示的意义. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 写出一个经过点的函数表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二次函数的表达式．答案不唯一． 【详解】解：所求函数表达式只要图象经过点即可， 如，，…答案不唯一． 故答案为：(答案不唯一). 【点睛】本题考查函数，解题的关键是清楚几种函数的一般式. 12. 如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 13. 甲、乙两人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【详解】方差越小越稳定， ∴选乙． 14. 菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是，则菱形较小的内角是________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的两个角的度数为2x、2y，然后根据菱形对角线的性质以及角度之间的关系求出x和y的值，从而得出答案． 【详解】根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°， 菱形对角线垂直平分且为角平分线，设菱形内角度数为2x、2y， 则x-y=32°，x+y=90°， ∴x=61°，y=29°， 所以菱形的相邻内角为122°和58°， 故答案为 58°． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，属于基础题型．理解菱形的对角线互相垂直是解决这个问题的关键． 15. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 16. 直线与直线的交点在x轴上，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入两函数解析式，求出的两个x的值相等，进而 【详解】当时，有, 解得：, 当时，有, 解得：, 由已知得：, 得． 故答案为： 17. 如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论． 【详解】解：将代入中得， ， ∴直线的函数解析式为， 过作轴于，过作轴于，如图所示 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理可证， ， ， ， ∴平移后， 将代入中， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 已知：如图一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A、B的坐标即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． 【小问2详解】 解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． 【小问3详解】 解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】 且 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形，即可得出答案． 【详解】略 21. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如统计图： 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 5.8 a b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，并补全条形统计图； （2）如果规定男生引体向上6次及6次以上，读项目成绩良好，若该校八年级有男生400人，估计该校男生该项目成绩良好的约有______人； （3）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5，补图如图所示． （2）220； （3） 解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8； 从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次； 从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多． 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义即可求解，先利用引体向上为8次的所占百分比乘以总的调查人数得到引体向上为8次的人数，即可补全条形图； （2）引体向上6次及6次以上的人数所占比例乘以400即可得出结果； （3）根据平均数、中位数、众数的概念说明即可． 【小问1详解】 解：将调查的数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6，调查的数据中，引体向上个数为5个的人数最多， ∴，； 引体向上为8次的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：（人） 故答案为：220（人） 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的概念；掌握样本估计总体的计算方法是解决问题的前提． 22. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 【答案】（1）79；80；26.4； （2） 乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下： ∵甲班的方差为51.8，乙班的方差为26.4，， ∴乙班的竞赛成绩更加整齐； （3）43人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可； （2）根据方差越小成绩越整齐进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 将甲班成绩从低到高排列为：69，72，72，78，79，79，85，86，89，91， 处在第5名和第6名的成绩分别为79，79， ∴甲班的中位数， 乙班的平均数， 乙班的方差， 故答案为：79；80；26.4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， ∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为43人． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，E是的中点，延长、交于点F，连接、、． （1）求证：； （2）当平分，且时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∴ ∴ （2）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，再证明，由全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，等量代换可得出． （2）由矩形的性质得出，由角平分线的定义得出，由等腰直角三角形的判定和性质得出，结合已知条件可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是矩形， ∴， ∵平分， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24. 我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 每吨脐橙获利（元） （1）设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式； （2）如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】（1） （2）种 （3）当转运A种脐橙的车辆，转运B种脐橙的车辆，转运C种脐橙的车辆时，利润最大为元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式：，整理后即可得到； （2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆，，，解不等式组即可； （3）设利润为W元，则，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y， ∴装运C种水果的车辆数为， ∴， 整理得． 【小问2详解】 由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x，，x， 由题意得， 解得， ∵， ∴． ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． 【小问3详解】 设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与相交于点E．边、的长满足式子． （1）直接写出、的长； （2）求证：； （3）求点E的坐标； （4）若点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） 证明：由折叠，得， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴； （3）点E的坐标为 （4）存在，满足条件的点Q坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长即可解决问题； （2）由折叠，得，根据矩形的性质，进而证明即可； （3）设，则，在中，，即可求出点E的坐标； （4）分三种情形，根据菱形的性质分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，的长满足式子， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在矩形中，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为； 【小问4详解】 解：如图， ∵，， ∴， ①当为菱形的边时， ， 故， ， 故； ②当为菱形的对角线时，， 设， 则， 在中， ， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，可得， 综上所述，存在，满足条件的点Q坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. 如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； （2）点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 【答案】（1），； （2）点P的坐标为或； （3）存在，或4或3 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）把代入求得点A的坐标，把代入求得点的坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，由的面积为6，求的长度，从而得到点的坐标； （3）由条件分，，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，解得， 点的坐标为， 把代入，解得， 点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，垂足为E， 的面积为6， ，即， 解得， 点，, 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下， ①当时，如图，过点C作轴，垂足为M，交直线l于点N， 轴，直线轴， 直线， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ②当时，如图，过点C作轴，垂足为M，过点Q作轴，垂足为N， 同理可证， ，， ， ， 当时，如图，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为， 同理可证， ，， 设， ，， ， ， ，解得， ， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，或4或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $