2026年中考数学终极冲刺06：二次函数的应用专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数的应用”专题，覆盖中考高频必考的图形问题、销售问题、拱桥问题等八大题型，占卷面6%-12%分值。通过考情分析、核心知识点梳理、典例精析与变式训练、链接中考真题四个环节，帮助学生构建从实际情境抽象函数模型的思维框架，突破建模与最值求解难点。 亮点在于“情境化建模”教学策略，如销售问题引导学生用“单件利润×销量”公式构建函数，培养数学思维与模型意识。每个题型配套“解题步骤+易错点提示”，分层设计基础变式与中考真题，结合5分钟限时演练，确保学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考实战能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺06 二次函数的应用 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 二次函数应用是中考高频必考题型，卷面分值占 6%-12%，大多以解答大题形式呈现，属于中档核心拉分考点。考题紧密贴合现实生活与几何场景，出题形式灵活多变，综合性较强。命题主要分为经济利润、实物拱桥、运动轨迹、几何面积四大类题型，核心考查数学建模能力。解题需要根据题干条件列出二次函数关系式，结合自变量实际取值范围分析计算。 题目常围绕最值求解、取值判定、方案选择设问，还会结合方程、不等式知识综合考查。该专题侧重检验学生数理运用与实际问题转化能力，解题需兼顾函数性质与现实约束条件，是稳固分数、拉开成绩差距的重要板块。 2、核心考查内容： 图形问题、图形运动问题、拱桥问题、销售问题、投球问题、喷水问题、增长率问题、其他问题。 （1）图形问题：依托几何图形边长列函数式，计算面积最值与边长取值。结合图形性质限定自变量，求解图形相关极值问题。 （2）图形运动问题：分析动点移动轨迹，根据位置变化构建二次函数模型。探究运动过程中线段、面积的变化规律与最值。 （3）拱桥问题：建立平面直角坐标系，求出拱桥对应的函数解析式。代入坐标计算跨度、高度，解决通行相关实际问题。 （4）销售问题：根据单价、销量关系列出利润函数关系式。求取利润最大值，确定最优定价与销售方案。 （5）投球问题：将运动轨迹看作抛物线，求解函数表达式。判断投掷距离、高度，分析运动落点相关数据。 （6）喷水问题：以水流轨迹建模，计算喷水高度与最远喷射距离。结合参数调整，求解喷头相关实际设计数值。 （7）增长率问题：套用变化规律列函数，核算连续增减后的总量。分析增长幅度，预判数值变化趋势与最终结果。 （8）其他问题：灵活转化实际场景，搭建二次函数计算模型。依据函数性质，解答各类非常规应用型题目。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】图形问题 1、构建函数关系式：以线段长度设为自变量，结合矩形、三角形、多边形边长关系列式。套用周长、面积公式，转化得出二次函数表达式。 2、划定自变量取值范围：边长数值必须大于 0，结合图形边界限制划定区间。动点移动范围、图形存续状态，均作为取值判定依据。 3、最值计算方法：自变量可取全体区间内顶点横坐标时，顶点处取得面积最值。顶点超出取值区间，依据函数增减性，在区间端点求取最值。 4、动点类图形变化：动点移动改变边长，对应图形面积、周长随之动态变化。根据动点位置分段列式，分别计算不同阶段函数数值。 5、几何定理联用计算：运用勾股定理、相似三角形性质推导边长等量关系。结合图形判定条件，检验计算结果是否符合几何实际形态。 【典例1】（2026·四川广元·二模）如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米． (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 【答案】(1)菜园面积能为119平方米，此时 (2)，当时，菜园面积最大 【分析】（1）设为x米，则米，根据矩形的面积公式列出方程求解； （）根据矩形的面积公式列出与的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：设为x米，则米， 由题意得，， 即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴， 答：菜园面积能为119平方米，此时； （2）解：， ∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米， ∴， 解得， ∴， ∵二次项系数， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，菜园面积S的值最大． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 【题型二】图形运动问题 1、设定运动变量：设运动时间或移动距离为自变量，结合运动速度，表示出变化线段长度。 2、推导边长表达式：依据图形原有边长、运动路程，用变量写出动态边的长短数值。 3、建立函数关系式：套用三角形、四边形面积公式，整理得到二次函数解析式。 4、划定取值范围：根据动点起止位置、图形不消失原则，确定自变量有效区间。 常见图形运动考点： 1、动点在多边形边上运动：单点沿边移动，不断改变三角形、梯形底和高，面积随之改变，求解面积最值。 2、线段平移运动：线段平行移动，切割原图形成新图形，根据位置变化列式计算面积变化规律。 3、图形整体旋转平移：三角形、矩形整体位移，结合重合部分形状，列出重合面积函数，求取极值。 最值与取值判定： 1、对称轴落在运动区间内，顶点处取得面积最值。 2、对称轴超出区间，在运动起点、终点位置取最值。 3、结合运动过程，判断特殊时刻图形形状、线段等量关系。 【典例2】（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在中，、动点、均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动、点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示．其中点是该函数图象的最高点、则的值为（   ） A．10 B．11 C． D． 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，点P与点B重合，得到，当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而求得的关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：观察图象可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以的速度从点C同时出发， ∴， 当时，， 此时，， 当时，如图，过P点作于D点，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴ 设在上时，到的距离为， ∵， ∴ ∴ ∵点是该函数图象的最高点，则 ∴的值为． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，得到，然后，根据，，，分三种情况分别求出对应的S关于t的函数表达式，再分别判断在对应取值范围内对应的函数图象即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意知，， ①当时，， ∴当时，S随t的增大而增大； ②当时，， 如图1，过P作于D， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∵， ∴此时，抛物线开口向下； ③如图2，当时，， ∵， ∴S随t的增大而减小， 综上，选项A符合题意，故选A ． 【题型三】拱桥问题 一、解题核心思路 以拱桥顶点或水面中点为原点建立平面直角坐标系，把桥拱轮廓视作抛物线，列函数式求解高度、跨度、通行限制等实际问题。 二、建系常用方式 1、顶点在原点：顶点坐标(0,0)，抛物线开口向下，解析式设为，计算简洁常用。 2、水面中点为原点左右跨度对称，对称轴为 y 轴，方便代入两岸端点坐标计算。 三、设式与求解步骤 1、根据建系位置，选取顶点式设抛物线解析式 2、代入已知跨度、拱高等点位坐标，求出系数a 3、把所求位置横坐标代入式子，算出对应竖直高度 4、结合车辆、船只通行高度，判断能否顺利通过 四、常见计算题型 1、已知跨度与拱高，求抛物函数表达式 2、固定水平位置，测算此处桥身垂直高度 3、给定通行高度，求解对应水平通行宽度 4、判断物体尺寸是否满足拱桥通行条件 【典例3】（2026·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【答案】(1) (2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【变式3】（2026·内蒙古·一模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【答案】(1) (2)米 (3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼 【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标是，则有支撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为； （3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼，据此写成方案，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是， 为的中点，，， ∴点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，， 则支撑杆的长度和是， 整理得， ∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米； （3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令， 整理得， 解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个． 悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼． 【题型四】销售问题 1、利润相关基础公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2、销量与售价的联动关系 题干常给出：每涨价/降价1元，销量减少/增加件，据此可列销量的一次函数表达式。 例：设商品原价为元，进价为元，原销量为件；若涨价元，则单件售价为元，单件利润为元，销量为件；若降价元，则单件售价为元，销量为件。 3、二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 解题步骤 1、审题设元 （1）明确已知量：进价、原售价、原销量、销量随售价的变化规律（如每涨1元销量减5件）。 （2）设自变量：若涨价，设涨价元（）；若降价，设降价元（）；也可直接设新售价为元。 （3）设因变量：设总利润为元。 2、列销量与单件利润的表达式 （1）单件利润 = 新售价 进价（需用含的式子表示） （2）销量 = 原销量 变化量（涨价取“”，降价取“”，变化量=） 3、构建总利润的二次函数解析式 （1）代入公式： 单件利润 销量 （2）化简整理：将解析式化为一般式 （） 4、确定自变量的取值范围 根实际意义列不等式组，核心约束条件： （1）单件售价 进价 新售价 进价 （2）销量 5、求最值并检验作答 （1）计算顶点横坐标： （2）判断是否在取值范围内： ① 若在范围内：将代入解析式，，此时对应的售价为； ② 若不在范围内：根据二次函数的增减性（时，开口向下，自变量离越近，值越大），取取值范围的端点值计算最大利润； （3）检验结果的实际合理性，规范书写答案（带单位）。 【典例4】（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 【答案】(1)当时， (2)到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元 【分析】（1）根据函数图象和x的取值范围，用待定系数法，即可求解； （2）设日销售额为W元，分别求出当和时，W关于x的解析式，根据函数的性质求出最大值，比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，； 当时，设函数解析式为， 过点和， ，解得， ， 综上所述：当时，； （2）解：设日销售额为W元， 当时，，，， ，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）； 当时，，， ， ，开口向下，对称轴为直线，即时，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）， ， 到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元． 【变式4】（2026·江苏徐州·二模）2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品．已知购进A款个，B款个，需花费元；购进A款个，B款个，需花费元． (1)求A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个，设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1)A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元 (2)； 【分析】（1）通过建立二元一次方程组求解即可； （2）利用“利润单个利润销售量”列函数表达式，再通过二次函数性质结合自变量取值求最大值即可． 【详解】（1）解：设A款纪念品每个进价为元，B款纪念品每个进价为元， ， 解得； 答：A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元； （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，在范围内， ∴当时，． 【题型五】投球问题 一、核心原理 将篮球、实心球等飞行轨迹看作开口向下的抛物线，利用二次函数求解飞行高度、水平距离、落点、最高点。 二、建立坐标系 通常以出手点正下方地面为原点，水平方向为 x 轴，竖直高度为 y 轴。 三、函数表达式 多用顶点式，(h,k)为球飞行最高点坐标，a<0 四、常考计算内容 1、求投掷轨迹对应的二次函数解析式 2、计算飞行过程中的最大高度 3、求解球落地时的水平投掷距离 4、判断指定位置高度、是否越过挡板 五、解题步骤 1、根据题意确定出手点、最高点、落地点坐标 2、代入坐标求出函数关系式 3、利用顶点求最大高度 4、令y=0算出落地水平距离 【典例5】（2026·河南开封·二模）篮球投篮的运动路线是一条抛物线．如图，一名运动员跳起投篮，篮球准确落入篮圈．以球员站立地面位置为原点，地平线为轴，垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系．已知该球员出手点距地面高度为，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度，篮筐中心B离地面高度为． (1)求篮球飞行路线对应的抛物线解析式； (2)求篮筐距离投篮球员的水平距离；（结果保留根号） (3)一名防守队员站在球员前方水平距离处，他伸手最高能达到，通过计算判断他能否拦到篮球． 【答案】(1)篮球运行路线所在抛物线解析式为； (2)篮筐距离投篮球员的水平距离为米； (3)他不能拦到篮球． 【分析】（）根据题意得抛物线顶点坐标为，经过点，然后利用待定系数法即可求解； （）把代入，求出的值即可； （）把代入，求出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线顶点坐标为，经过点， 设篮球运行路线所在抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴篮球运行路线所在抛物线解析式为； （2）解：把代入得，， 解得：，（舍去）， 答：篮筐距离投篮球员的水平距离为米； （3）解：把代入得，， ∵， ∴他不能拦到篮球． 【变式5】（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题背景： 中国单板滑雪名将苏翊鸣在2025年表现惊艳，不仅斩获2025—2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军，还在世界锦标赛中摘银创造历史． 【数学建模】 某研究小组计划研究滑雪运动员的运动轨迹．经研究发现某运动员通过助滑道后在点起跳，在空中沿抛物线飞行后落在着陆坡上的点处．坡高为60 m，着陆坡的坡度，即，建立如图所示的平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． (1)某运动员起跳后，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 10 12 14 40 竖直高度 70 78.75 79 78.75 30 求这段抛物线的解析式； (2)某运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离和竖直距离的最大值． 【答案】(1) (2)水平距离为，竖直距离的最大值是 【分析】（1）根据列表数据，选取两个特殊点：顶点、，运用待定系数法，即可求出函数解析式； （2）设点M到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点M、N．求出直线的解析式为，设，则，，根据二次函数的性质进行解答即可； 【详解】（1）解：由表格得，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为或． （2）解：设点到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、 在中，， ， 米，即， 设直线的解析式是， 把，代入得 ，解得 直线的解析式为 设， 则， ， ， 当时，的值最大， 答：当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为，竖直距离的最大值是． 【题型六】喷水问题 一、核心原理 水流运动轨迹为开口向下抛物线，借助二次函数求解喷水高度、喷射距离、喷头参数相关问题。 二、坐标系搭建 以喷头位置为坐标原点，水平向右为 x 轴，竖直向上为 y 轴建立平面直角坐标系。 三、函数常用形式 优先使用顶点式，，顶点对应水流最高位置，系数a<0。 四、高频考查题型 1、代入已知点位坐标，求解水流轨迹函数解析式 2、计算水流喷出的最大竖直高度 3、算出水流落地处与喷头的水平最远距离 4、判定特定水平位置的水流高度，校核设施安装尺寸 五、标准解题步骤 1、确定喷头、最高点、落水点对应坐标 2、代入坐标计算参数，得出函数表达式 3、依据顶点坐标得到喷水最大高度 4、令函数值为 0，求解落地水平射程 【典例6】（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． (2)当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 【答案】(1) (2)喷灌器的灌溉距离的长为 (3) 【分析】（1）右边的抛物线的解析式为，将，代入求解即可； （2）求出右边的抛物线的解析式为，再求抛物线与轴的交点坐标，可得喷灌器的灌溉距离的长； （3）设喷头高度，则抛物线解析式为，根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为， 设右边的抛物线的解析式为， 根据题意得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴右边的抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当喷头P升至最高点时，右边的抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴， ∵左右两侧的抛物线对称， ∴， ∴该喷灌器的灌溉距离的长为； （3）解：设喷头高度，则抛物线解析式为， 故灌溉总距离要求； 令，则， 解得：， 左右对称灌溉总距离为， ∴， 解得：， 又喷头最高限高高度为， ∴，即 【变式6】（2026·河北保定·模拟预测）某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径的长； (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)①（且）；②倍 【分析】（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点，运用待定系数法求解即可； （2）令，代入解析式求一元二次方程即可； （3）①设新抛物线的表达式为，运用待定系数法即可求解； ②由题意得，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令，则， 解得，（舍）， 故音乐喷泉的水池半径的长为． （3）解：①设新抛物线的表达式为， 将，代入得 解得（且）． ②由题意得， ∴， ∵喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比， ∴功率比为， 故新方案功率是原方案的倍． 【题型七】增长率问题 一、核心原理 依据基数、变化率推导数量变化规律，连续增减变化可用二次函数建模计算。 二、基础公式 设初始量为a，平均变化率为x两次变化后总量：\(y=a(1\pm x)^2\)增长取加号，降低取减号 三、考查题型 1、已知基数与变化率，求两次变化后的最终数量 2、根据变化前后数值，反推平均增长或下降幅度 3、结合取值范围，分析数量最值与变化趋势 四、解题步骤 1、确定初始基数，设定变化率为自变量 2、套用公式列出二次函数关系式 3、代入数值计算，求解对应数量或变化率 4、舍去负数、不合实际的结果 【典例7】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 【变式7】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【题型八】其他问题 一、题型范围 涵盖桥梁隧道、车辆通行、物资堆放、运动行程、用料规划等非常规实际题型，无固定模型，灵活建模求解。 二、通用解题思路 根据实际场景梳理变量关系，选取合适形式列出二次函数，结合实际约束确定自变量范围。 三、常见考查方向 1、用料规划：给定材料总量，设计造型尺寸，求用料最优、占地面积最值。 2、通行限界：结合轮廓曲线，判断车辆、物体能否顺利通行。 3、物料堆放：依据堆放形态数据，计算堆放高度、容纳总量极值。 4、行程能耗：结合行驶速度与损耗关系，求解能耗最低、路程最优方案。 四、解题步骤 1、梳理题干条件，设定合理自变量 2、结合数量、几何关系构建二次函数解析式 3、依据现实条件划定自变量取值区间 4、利用函数性质计算最值、对应参数数值 5、检验结果，剔除不符合实际的答案 【典例8】（2026·江苏泰州·二模）某碗竖直放置在水平桌面上，其截面图如图所示．已知瓷碗深度为，碗口宽为，碗底高为，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）．以碗底的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求碗体的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距（即距离），求面汤表面宽度； (3)若存在一个圆经过、、三点，求该圆的半径． 【答案】(1) (2)面汤表面宽度为． (3) 【分析】（1）先根据题意写出点和顶点的坐标，再使用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根据题意，点的纵坐标为，代入抛物线的解析式求出点、的坐标，从而求出的值； （3）设圆心为，容易判断点在轴上，连接，设圆的半径为，则，，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的坐标为，顶点的坐标为， 设碗体的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴碗体的抛物线解析式为； （2）解：∵点的坐标为，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴． 答：面汤表面宽度为． （3）解：由对称性可知，的外心在轴上， 如图，设的外心为点，连接，设圆的半径为， ∴，， 由题意可知，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 【变式8】（2026·河北承德·一模）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 (1)任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． (2)任务2：利用时，时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差．小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3： (3)计算任务2得到的函数表达式的w值； (4)请确定经过点的一次函数表达式，使得w的值最小． 【答案】(1)；；； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据表格每隔水面高度数据计算即可； （2）根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度与流水时间是一次函数关系，由待定系数法求解； （3）先求出对应时间的水面高度，再按要求计算值； （4）设，然后根据表格中数据求出此时的值是关于的二次函数解析式；由此求出的值最小时值即可； 【详解】（1）解：变化量分别为； ； ； ， 所以每隔水面高度观察值的变化量为；；；； （2）解：设水面高度h与流水时间t的函数表达式为， 因为时，；时，； 所以，解得， 所以水面高度h与流水时间t的函数表达式为； （3）解：当时，． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， （4）解：设， 所以 ， 所以当时，w的最小值为． 所以函数表达式为． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 2．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，由题意得，， 作于点， ∵， ∴， ∴，是二次函数； 当点P在上运动时，由题意得， ∴，是一次函数； 故选：D． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 7．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 8．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 10．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 11．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 12．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 13．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．    【答案】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 14．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 15．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________． 【答案】 【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中， ∵，， ∴， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴点在上运动时，为等腰直角三角形， ∴， ∴当点在上运动时，， 由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去）， ∴， 当时，过点作于点，如图： 此时， 在中，，， ∴，，， ∴， 即， 所以当时，， 故答案为：． 16．（2021·湖北武汉·中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 【答案】 【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值． 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 故填． 17．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 18．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 19．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 20．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺06 二次函数的应用 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 二次函数应用是中考高频必考题型，卷面分值占 6%-12%，大多以解答大题形式呈现，属于中档核心拉分考点。考题紧密贴合现实生活与几何场景，出题形式灵活多变，综合性较强。命题主要分为经济利润、实物拱桥、运动轨迹、几何面积四大类题型，核心考查数学建模能力。解题需要根据题干条件列出二次函数关系式，结合自变量实际取值范围分析计算。 题目常围绕最值求解、取值判定、方案选择设问，还会结合方程、不等式知识综合考查。该专题侧重检验学生数理运用与实际问题转化能力，解题需兼顾函数性质与现实约束条件，是稳固分数、拉开成绩差距的重要板块。 2、核心考查内容： 图形问题、图形运动问题、拱桥问题、销售问题、投球问题、喷水问题、增长率问题、其他问题。 （1）图形问题：依托几何图形边长列函数式，计算面积最值与边长取值。结合图形性质限定自变量，求解图形相关极值问题。 （2）图形运动问题：分析动点移动轨迹，根据位置变化构建二次函数模型。探究运动过程中线段、面积的变化规律与最值。 （3）拱桥问题：建立平面直角坐标系，求出拱桥对应的函数解析式。代入坐标计算跨度、高度，解决通行相关实际问题。 （4）销售问题：根据单价、销量关系列出利润函数关系式。求取利润最大值，确定最优定价与销售方案。 （5）投球问题：将运动轨迹看作抛物线，求解函数表达式。判断投掷距离、高度，分析运动落点相关数据。 （6）喷水问题：以水流轨迹建模，计算喷水高度与最远喷射距离。结合参数调整，求解喷头相关实际设计数值。 （7）增长率问题：套用变化规律列函数，核算连续增减后的总量。分析增长幅度，预判数值变化趋势与最终结果。 （8）其他问题：灵活转化实际场景，搭建二次函数计算模型。依据函数性质，解答各类非常规应用型题目。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】图形问题 1、构建函数关系式：以线段长度设为自变量，结合矩形、三角形、多边形边长关系列式。套用周长、面积公式，转化得出二次函数表达式。 2、划定自变量取值范围：边长数值必须大于 0，结合图形边界限制划定区间。动点移动范围、图形存续状态，均作为取值判定依据。 3、最值计算方法：自变量可取全体区间内顶点横坐标时，顶点处取得面积最值。顶点超出取值区间，依据函数增减性，在区间端点求取最值。 4、动点类图形变化：动点移动改变边长，对应图形面积、周长随之动态变化。根据动点位置分段列式，分别计算不同阶段函数数值。 5、几何定理联用计算：运用勾股定理、相似三角形性质推导边长等量关系。结合图形判定条件，检验计算结果是否符合几何实际形态。 【典例1】（2026·四川广元·二模）如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米． (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【题型二】图形运动问题 1、设定运动变量：设运动时间或移动距离为自变量，结合运动速度，表示出变化线段长度。 2、推导边长表达式：依据图形原有边长、运动路程，用变量写出动态边的长短数值。 3、建立函数关系式：套用三角形、四边形面积公式，整理得到二次函数解析式。 4、划定取值范围：根据动点起止位置、图形不消失原则，确定自变量有效区间。 常见图形运动考点： 1、动点在多边形边上运动：单点沿边移动，不断改变三角形、梯形底和高，面积随之改变，求解面积最值。 2、线段平移运动：线段平行移动，切割原图形成新图形，根据位置变化列式计算面积变化规律。 3、图形整体旋转平移：三角形、矩形整体位移，结合重合部分形状，列出重合面积函数，求取极值。 最值与取值判定： 1、对称轴落在运动区间内，顶点处取得面积最值。 2、对称轴超出区间，在运动起点、终点位置取最值。 3、结合运动过程，判断特殊时刻图形形状、线段等量关系。 【典例2】（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在中，、动点、均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动、点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示．其中点是该函数图象的最高点、则的值为（   ） A．10 B．11 C． D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【题型三】拱桥问题 一、解题核心思路 以拱桥顶点或水面中点为原点建立平面直角坐标系，把桥拱轮廓视作抛物线，列函数式求解高度、跨度、通行限制等实际问题。 二、建系常用方式 1、顶点在原点：顶点坐标(0,0)，抛物线开口向下，解析式设为，计算简洁常用。 2、水面中点为原点左右跨度对称，对称轴为 y 轴，方便代入两岸端点坐标计算。 三、设式与求解步骤 1、根据建系位置，选取顶点式设抛物线解析式 2、代入已知跨度、拱高等点位坐标，求出系数a 3、把所求位置横坐标代入式子，算出对应竖直高度 4、结合车辆、船只通行高度，判断能否顺利通过 四、常见计算题型 1、已知跨度与拱高，求抛物函数表达式 2、固定水平位置，测算此处桥身垂直高度 3、给定通行高度，求解对应水平通行宽度 4、判断物体尺寸是否满足拱桥通行条件 【典例3】（2026·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【变式3】（2026·内蒙古·一模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【题型四】销售问题 1、利润相关基础公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2、销量与售价的联动关系 题干常给出：每涨价/降价1元，销量减少/增加件，据此可列销量的一次函数表达式。 例：设商品原价为元，进价为元，原销量为件；若涨价元，则单件售价为元，单件利润为元，销量为件；若降价元，则单件售价为元，销量为件。 3、二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 解题步骤 1、审题设元 （1）明确已知量：进价、原售价、原销量、销量随售价的变化规律（如每涨1元销量减5件）。 （2）设自变量：若涨价，设涨价元（）；若降价，设降价元（）；也可直接设新售价为元。 （3）设因变量：设总利润为元。 2、列销量与单件利润的表达式 （1）单件利润 = 新售价 进价（需用含的式子表示） （2）销量 = 原销量 变化量（涨价取“”，降价取“”，变化量=） 3、构建总利润的二次函数解析式 （1）代入公式： 单件利润 销量 （2）化简整理：将解析式化为一般式 （） 4、确定自变量的取值范围 根实际意义列不等式组，核心约束条件： （1）单件售价 进价 新售价 进价 （2）销量 5、求最值并检验作答 （1）计算顶点横坐标： （2）判断是否在取值范围内： ① 若在范围内：将代入解析式，，此时对应的售价为； ② 若不在范围内：根据二次函数的增减性（时，开口向下，自变量离越近，值越大），取取值范围的端点值计算最大利润； （3）检验结果的实际合理性，规范书写答案（带单位）。 【典例4】（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 【变式4】（2026·江苏徐州·二模）2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品．已知购进A款个，B款个，需花费元；购进A款个，B款个，需花费元． (1)求A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个，设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【题型五】投球问题 一、核心原理 将篮球、实心球等飞行轨迹看作开口向下的抛物线，利用二次函数求解飞行高度、水平距离、落点、最高点。 二、建立坐标系 通常以出手点正下方地面为原点，水平方向为 x 轴，竖直高度为 y 轴。 三、函数表达式 多用顶点式，(h,k)为球飞行最高点坐标，a<0 四、常考计算内容 1、求投掷轨迹对应的二次函数解析式 2、计算飞行过程中的最大高度 3、求解球落地时的水平投掷距离 4、判断指定位置高度、是否越过挡板 五、解题步骤 1、根据题意确定出手点、最高点、落地点坐标 2、代入坐标求出函数关系式 3、利用顶点求最大高度 4、令y=0算出落地水平距离 【典例5】（2026·河南开封·二模）篮球投篮的运动路线是一条抛物线．如图，一名运动员跳起投篮，篮球准确落入篮圈．以球员站立地面位置为原点，地平线为轴，垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系．已知该球员出手点距地面高度为，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度，篮筐中心B离地面高度为． (1)求篮球飞行路线对应的抛物线解析式； (2)求篮筐距离投篮球员的水平距离；（结果保留根号） (3)一名防守队员站在球员前方水平距离处，他伸手最高能达到，通过计算判断他能否拦到篮球． 【变式5】（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题背景： 中国单板滑雪名将苏翊鸣在2025年表现惊艳，不仅斩获2025—2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军，还在世界锦标赛中摘银创造历史． 【数学建模】 某研究小组计划研究滑雪运动员的运动轨迹．经研究发现某运动员通过助滑道后在点起跳，在空中沿抛物线飞行后落在着陆坡上的点处．坡高为60 m，着陆坡的坡度，即，建立如图所示的平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． (1)某运动员起跳后，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 10 12 14 40 竖直高度 70 78.75 79 78.75 30 求这段抛物线的解析式； (2)某运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离和竖直距离的最大值． 【题型六】喷水问题 一、核心原理 水流运动轨迹为开口向下抛物线，借助二次函数求解喷水高度、喷射距离、喷头参数相关问题。 二、坐标系搭建 以喷头位置为坐标原点，水平向右为 x 轴，竖直向上为 y 轴建立平面直角坐标系。 三、函数常用形式 优先使用顶点式，，顶点对应水流最高位置，系数a<0。 四、高频考查题型 1、代入已知点位坐标，求解水流轨迹函数解析式 2、计算水流喷出的最大竖直高度 3、算出水流落地处与喷头的水平最远距离 4、判定特定水平位置的水流高度，校核设施安装尺寸 五、标准解题步骤 1、确定喷头、最高点、落水点对应坐标 2、代入坐标计算参数，得出函数表达式 3、依据顶点坐标得到喷水最大高度 4、令函数值为 0，求解落地水平射程 【典例6】（2026·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． (2)当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 【变式6】（2026·河北保定·模拟预测）某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径的长； (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 【题型七】增长率问题 一、核心原理 依据基数、变化率推导数量变化规律，连续增减变化可用二次函数建模计算。 二、基础公式 设初始量为a，平均变化率为x两次变化后总量：\(y=a(1\pm x)^2\)增长取加号，降低取减号 三、考查题型 1、已知基数与变化率，求两次变化后的最终数量 2、根据变化前后数值，反推平均增长或下降幅度 3、结合取值范围，分析数量最值与变化趋势 四、解题步骤 1、确定初始基数，设定变化率为自变量 2、套用公式列出二次函数关系式 3、代入数值计算，求解对应数量或变化率 4、舍去负数、不合实际的结果 【典例7】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【题型八】其他问题 一、题型范围 涵盖桥梁隧道、车辆通行、物资堆放、运动行程、用料规划等非常规实际题型，无固定模型，灵活建模求解。 二、通用解题思路 根据实际场景梳理变量关系，选取合适形式列出二次函数，结合实际约束确定自变量范围。 三、常见考查方向 1、用料规划：给定材料总量，设计造型尺寸，求用料最优、占地面积最值。 2、通行限界：结合轮廓曲线，判断车辆、物体能否顺利通行。 3、物料堆放：依据堆放形态数据，计算堆放高度、容纳总量极值。 4、行程能耗：结合行驶速度与损耗关系，求解能耗最低、路程最优方案。 四、解题步骤 1、梳理题干条件，设定合理自变量 2、结合数量、几何关系构建二次函数解析式 3、依据现实条件划定自变量取值区间 4、利用函数性质计算最值、对应参数数值 5、检验结果，剔除不符合实际的答案 【典例8】（2026·江苏泰州·二模）某碗竖直放置在水平桌面上，其截面图如图所示．已知瓷碗深度为，碗口宽为，碗底高为，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计）．以碗底的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求碗体的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距（即距离），求面汤表面宽度； (3)若存在一个圆经过、、三点，求该圆的半径． 【变式8】（2026·河北承德·一模）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 (1)任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． (2)任务2：利用时，时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差．小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3： (3)计算任务2得到的函数表达式的w值； (4)请确定经过点的一次函数表达式，使得w的值最小． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B． C.D． 7．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C．D． 10．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．    12．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．    13．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．    14．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________． 15．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________． 16．（2021·湖北武汉·中考真题）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 17．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 18．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 19．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 20．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $