专题01 二次函数图象、性质与解析式求解（5大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题01 二次函数图象、性质与解析式求解 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值） 题型02 待定系数法求解析式（一般式、顶点式、交点式） 题型03 图象的平移 题型04 对称变换规律 题型05 根据二次函数的图像判断代数式的正负 模块三、综合实战演练 一、求二次函数解析式的重要技巧：待定系数法 1. 一般式： ✅ 适用场景：已知任意 3 个不共线的点坐标，无特殊顶点、交点信息的通用场景。 ✅ 解题步骤： 1. 设解析式为 ； 2. 代入 3 个点坐标，得到三元一次方程组； 3. 解方程组求出 ； 4. 还原解析式，验证 。 2. 顶点式： ✅ 适用场景：已知顶点坐标 、对称轴、最值，或顶点 +1 个点坐标，计算量远小于一般式。 ✅ 解题步骤： 1. 直接代入顶点 ，设解析式为 （仅需求 ）； 2. 代入另一个已知点坐标，列一元一次方程； 3. 解出 ，还原解析式（可按需展开为一般式）。 3. 交点式（零点式）： ✅ 适用场景：已知抛物线与 x 轴的两个交点 ，或两个零点 +1 个点坐标。 ✅ 解题步骤： 1. 代入交点 ，设解析式为 （仅需求 ）； 2. 代入第三个已知点坐标，列一元一次方程； 3. 解出 ，还原解析式（可按需展开为一般式）。 二、二次函数的平移规律 平移仅改变顶点的位置，不变，遵循“左加右减，上加下减”，仅针对和本身，与系数无关。 设原函数：，平移后顶点，解析式 1. 左右平移（横坐标变，纵坐标不变） - 向左平移个单位（）：，解析式→（后加） - 向右平移个单位（）：，解析式→（后减） 2. 上下平移（纵坐标变，横坐标不变） - 向上平移个单位（）：，解析式→（整体加） - 向下平移个单位（）：，解析式→（整体减） 3. 斜向平移（左右+上下）：先左右后上下，分步改写即可，如左2上3→加2，整体加3。 三、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值 以顶点式、一般式为核心，核心性质直接推导，无需额外计算。 1. 开口方向（由决定） →开口向上；→开口向下；越大，开口越窄。 2. 对称轴（两种形式互推） 顶点式→直接得：； 一般式→公式求：。 3. 顶点坐标（最值点，核心关键点） 顶点式→直接得：； 一般式→公式求：（纵坐标为最值）。 4. 增减性（以对称轴为界，左右相反） （开口向上）：对称轴左侧（）递减，右侧（）递增； （开口向下）：对称轴左侧（）递增，右侧（）递减。 5. 最值（顶点纵坐标，唯一最值） （开口向上）：顶点为最低点，当时，； （开口向下）：顶点为最高点，当时，。 题型01 二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值） 1．如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 2．已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ） A．对称轴在轴左侧 B．顶点坐标 C．时，随的增大而减小 D．与直线有唯一公共点 4．已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知抛物线上两点 （1）若，则___________（填“”或“”） （2）若对于任意都有，则的取值范围是___________． 一、解题步骤 1. 化解析式为最简：一般式优先化为顶点式（配方法），方便直接读取对称轴、顶点； 1. 定核心参数：由 定开口，由对称轴/顶点定图象中心位置； 1. 分析增减性/最值：结合自变量取值范围（无范围则在顶点取最值，有范围则需看区间与对称轴的位置关系）； · 区间包含对称轴：最值在顶点取，端点取另一极值； · 区间在对称轴一侧：最值在区间两个端点取（根据增减性判断）。 二、关键抓手 · 性质分析优先用顶点式，减少计算； · 有自变量范围的最值问题，先画对称轴，再标区间，几何直观判断最值点。 题型02 待定系数法求解析式（一般式、顶点式、交点式） 1．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 2．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 3．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 4．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 5．已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 一、解题步骤 1.定形式：根据已知条件匹配一般式/顶点式/交点式； 2.代条件：将已知点、顶点、交点坐标代入所选形式，列方程/方程组； 3.求系数：解出未知系数（ 或 ）； 4.回代整理：将系数代入解析式，按需化为一般式（题目无要求则保留所选形式）。 二、关键抓手 · 能选顶点式/交点式时绝不选一般式，减少计算量； · 若已知与 y 轴交点，其坐标为 ，直接定一般式中的 ，简化求解。 题型03 图象的平移 1．将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B．若二次函数的图象与线段恰有一个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 5．已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 一、解题步骤（通用） 1.化原解析式为顶点式：提取 ，配方法化为 （平移的前提）； 2.按平移方向套法则：根据左加右减、上加下减，修改顶点式中的 和 ； 3.整理解析式：按需化为一般式，验证 是否保持不变（平移不改变 ）。 二、关键抓手 · 若已知平移后的解析式，反推原解析式，法则反向用（如平移后左移 ，原解析式则右移 ，即“减 “）； · 一般式平移可先化顶点式，避免直接对 盲目加减导致错误。 题型04 对称变换规律 1．已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数图象上的两点与关于对称轴对称，则（   ） A．； B． C．； D．； 3．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（   ） A． B．5 C． D． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 一、解题步骤 1.化原解析式为顶点式：确定原顶点 和系数 ； 2.求对称后的顶点：根据对称类型，求原顶点的对称点 ； 3.定对称后的 ：判断开口方向是否改变（仅 x 轴/原点对称时 变号）； 4.写对称后解析式：代入对称后的顶点 和新 ，得顶点式，按需化为一般式。 二、关键抓手 · 若原函数为一般式，先化顶点式再对称，避免直接对一般式变形的复杂计算； · 图象上点的对称，可先根据对称规律求点的坐标，再结合解析式求解。 题型05 根据二次函数的图像判断代数式的正负 1．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 3．二次函数的图像如图所示，则下列命题中正确的个数（   ） ①；②一次函数的图像不经过第四象限；③（是任意实数）；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 5．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列5个结论：①；②； ③；④；⑤点M、N在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1.列基础：从图象提取的符号→按“开口定、左同右异定、与轴交点定、与轴交点定、特殊点定函数值”，逐一标注符号，形成基础信息表； 2.变形式：将待判断代数式转化为基础形式→对复杂代数式，通过配方、对称轴公式、特殊值代入，变形为“组合、基础代数式、函数值”的形式，消除复杂结构； 3.定符号：结合基础信息判断变形后代数式的正负→按“同号得正、异号得负，正数加正数为正，负数加负数为负，正数减负数为正”等基本法则，综合判断最终符号。 1．二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的顶点为，有下列结论： ①；②当时，随的增大而增大；③抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；④若关于的方程的一个根为3，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值；有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根：③；④若点，点在二次函数图象上，则；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（   ） x … 0 1 2 … … t m n … A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 9．若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____． 10．老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限； 小赵：函数图象经过第一象限； 小王：当时，y随x的增大而减小； 小马：当时，． 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______． 11．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 12．在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图象交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图象的生长点．二次函数（、为常数）的图象经过点，若是该函数图象的生长点，则该函数的表达式为_____． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 14．已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 15．已知二次函数（a是常数，且）． (1)当时，试判断点是否在该函数图象上； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)若点， ()为该二次函数图象上的两点，且对于时，都有，求a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数图象、性质与解析式求解 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值） 题型02 待定系数法求解析式（一般式、顶点式、交点式） 题型03 图象的平移 题型04 对称变换规律 题型05 根据二次函数的图像判断代数式的正负 模块三、综合实战演练 一、求二次函数解析式的重要技巧：待定系数法 1. 一般式： ✅ 适用场景：已知任意 3 个不共线的点坐标，无特殊顶点、交点信息的通用场景。 ✅ 解题步骤： 1. 设解析式为 ； 2. 代入 3 个点坐标，得到三元一次方程组； 3. 解方程组求出 ； 4. 还原解析式，验证 。 2. 顶点式： ✅ 适用场景：已知顶点坐标 、对称轴、最值，或顶点 +1 个点坐标，计算量远小于一般式。 ✅ 解题步骤： 1. 直接代入顶点 ，设解析式为 （仅需求 ）； 2. 代入另一个已知点坐标，列一元一次方程； 3. 解出 ，还原解析式（可按需展开为一般式）。 3. 交点式（零点式）： ✅ 适用场景：已知抛物线与 x 轴的两个交点 ，或两个零点 +1 个点坐标。 ✅ 解题步骤： 1. 代入交点 ，设解析式为 （仅需求 ）； 2. 代入第三个已知点坐标，列一元一次方程； 3. 解出 ，还原解析式（可按需展开为一般式）。 二、二次函数的平移规律 平移仅改变顶点的位置，不变，遵循“左加右减，上加下减”，仅针对和本身，与系数无关。 设原函数：，平移后顶点，解析式 1. 左右平移（横坐标变，纵坐标不变） - 向左平移个单位（）：，解析式→（后加） - 向右平移个单位（）：，解析式→（后减） 2. 上下平移（纵坐标变，横坐标不变） - 向上平移个单位（）：，解析式→（整体加） - 向下平移个单位（）：，解析式→（整体减） 3. 斜向平移（左右+上下）：先左右后上下，分步改写即可，如左2上3→加2，整体加3。 三、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值 以顶点式、一般式为核心，核心性质直接推导，无需额外计算。 1. 开口方向（由决定） →开口向上；→开口向下；越大，开口越窄。 2. 对称轴（两种形式互推） 顶点式→直接得：； 一般式→公式求：。 3. 顶点坐标（最值点，核心关键点） 顶点式→直接得：； 一般式→公式求：（纵坐标为最值）。 4. 增减性（以对称轴为界，左右相反） （开口向上）：对称轴左侧（）递减，右侧（）递增； （开口向下）：对称轴左侧（）递增，右侧（）递减。 5. 最值（顶点纵坐标，唯一最值） （开口向上）：顶点为最低点，当时，； （开口向下）：顶点为最高点，当时，。 题型01 二次函数的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值） 1．如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【答案】D 【分析】根据开口方向、与y轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C选项，由方程等价于，利用对称性得是根，判断D选项． 【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当时，，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程 ， 即求二次函数图象上函数值为时对应的值． ∵对称轴为，且图象经过点； ∴点关于对称轴的对称点横坐标为： 即点也在二次函数图象上； 当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意． 2．已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 【详解】对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 3．关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ） A．对称轴在轴左侧 B．顶点坐标 C．时，随的增大而减小 D．与直线有唯一公共点 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，得到对称轴和顶点坐标，判断选项A，B，C，再联立二次函数与直线的方程，利用一元二次方程根的判别式判断交点个数，判断选项D ． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为， ∴选项A，B错误； ∵开口向下，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大， 又∵， ∴ 时，随的增大而增大， ∴选项C错误； 联立二次函数与直线方程， ∴， ∵判别式， ∴该一元二次方程只有一个实数根，即二次函数与直线有唯一公共点， ∴选项D正确． 4．已知二次函数的图像的一部分如图所示，对称轴为，对于下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图像上，且，则； ④不等式的解集为． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点坐标，二次函数图象与各项系数符号，观察函数性质以及对称轴为直线，得出，结合对称性得二次函数经过点，故多项式可因式分解为；结合开口向上，对称轴为直线，得越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，即点，在函数图像上，且，则，以及数形结合，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 故①是符合题意； 观察函数图象，得出二次函数经过点， ∵对称轴为， ∴二次函数经过点， 即多项式可因式分解为， 故②是不符合题意； ∵开口向上，对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小 ∵点，在函数图像上，且， ∴， ∴， 当时，即，则，即； 当，时，则，即； ∴， 当时，则，则不成立 综上： 故③是符合题意； ∵二次函数经过点以及点， 而一次函数也经过点以及点，如下图所示： 可得不等式的解集为或， ∴可得不等式的解集为或， 故④不符合题意； 5．已知抛物线上两点 （1）若，则___________（填“”或“”） （2）若对于任意都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据题意可得抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．要使恒成立，则的上界须小于等于的最小值，根据，可得的最小值是，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）在抛物线中，，， ∴对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上两点，且， ∴； （2）由（1）得：对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的最大值须小于等于的最小值， ∵， ∴的最小值是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立， 解得，． 综上，t的取值范围是． 一、解题步骤 1. 化解析式为最简：一般式优先化为顶点式（配方法），方便直接读取对称轴、顶点； 1. 定核心参数：由 定开口，由对称轴/顶点定图象中心位置； 1. 分析增减性/最值：结合自变量取值范围（无范围则在顶点取最值，有范围则需看区间与对称轴的位置关系）； · 区间包含对称轴：最值在顶点取，端点取另一极值； · 区间在对称轴一侧：最值在区间两个端点取（根据增减性判断）。 二、关键抓手 · 性质分析优先用顶点式，减少计算； · 有自变量范围的最值问题，先画对称轴，再标区间，几何直观判断最值点。 题型02 待定系数法求解析式（一般式、顶点式、交点式） 1．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 2．已知直线经过点和点，若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】求出直线l的解析式，得到，设抛物线解析式为，把代入得，，，当时，，矛盾；当时，，根据抛物线开口向上，得，得，得，故m的取值范围是且． 【详解】解：∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵以为顶点的抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， 把代入。得， ∴， 当时，， 矛盾； 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故m的取值范围是且． 3．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 4．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 5．已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【答案】（或或） 【分析】选取三个点分四种组合求解二次函数解析式． 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解． 【详解】解：组合：过、、， ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为，设解析式为． 代入得， ∴， 代入得 解得， ∴解析式为． 组合：过、、 ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴设解析式为． 代入得， 代入得， 联立得， 解得，； ∴解析式为． 组合：过、、， 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得， 解得，， ∴解析式为． 组合：过、、 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得 解得，， ∴解析式为一次函数，不符合二次函数要求，故此组合舍去． 故答案为：（或或）． 一、解题步骤 1.定形式：根据已知条件匹配一般式/顶点式/交点式； 2.代条件：将已知点、顶点、交点坐标代入所选形式，列方程/方程组； 3.求系数：解出未知系数（ 或 ）； 4.回代整理：将系数代入解析式，按需化为一般式（题目无要求则保留所选形式）。 二、关键抓手 · 能选顶点式/交点式时绝不选一般式，减少计算量； · 若已知与 y 轴交点，其坐标为 ，直接定一般式中的 ，简化求解。 题型03 图象的平移 1．将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，利用抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为． 2．二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意； 对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B．若二次函数的图象与线段恰有一个交点，则m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出点A点B的坐标，再得到线段的解析式，联立抛物线与直线的方程，得到两个交点的横坐标，由于抛物线恒过点A，因此抛物线与线段恰有一个交点等价于另一个交点的横坐标不在线段的x范围内，分情况列不等式求解即可 【详解】解：当时，代入得， ， 将向右平移个单位，向上平移个单位得， ， 设线段的解析式为， 代入，得， 解得， ∴线段的解析式为， 联立抛物线与直线的方程得： ， 整理得， 解得，， 抛物线恒过点，若抛物线与线段恰有一个交点，则不在范围内， 分两种情况： ①当时，，解得，符合题意； ②当时，，解得，符合题意； 综上，的取值范围是或 4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 5．已知二次函数经过点和点． （1）若将二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移12个单位经过原点，则___________； （2）若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】（1）先根据“左加右减，上加下减”得到平移后抛物线解析式为，再代入求解即可； （2）可求抛物线的对称轴为直线，再由和点关于抛物线对称轴对称得到，再进行后续代入求解不等式即可． 【详解】解：（1）平移后抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点 ， 解得． 又 ． （2）对于，可得对称轴为直线， ∵二次函数经过点和点 ∴． 又， ∴ ， 解得． 一、解题步骤（通用） 1.化原解析式为顶点式：提取 ，配方法化为 （平移的前提）； 2.按平移方向套法则：根据左加右减、上加下减，修改顶点式中的 和 ； 3.整理解析式：按需化为一般式，验证 是否保持不变（平移不改变 ）。 二、关键抓手 · 若已知平移后的解析式，反推原解析式，法则反向用（如平移后左移 ，原解析式则右移 ，即“减 “）； · 一般式平移可先化顶点式，避免直接对 盲目加减导致错误。 题型04 对称变换规律 1．已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 2．二次函数图象上的两点与关于对称轴对称，则（   ） A．； B． C．； D．； 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的公式以及关于对称轴对称的点的坐标特征． 先求出二次函数的对称轴，再根据关于对称轴对称点的横坐标之和与对称轴的关系，以及纵坐标的关系来判断选项． 【详解】解：在二次函数中，，所以对称轴为， 因为点与关于对称轴对称，所以两点到对称轴的距离相等，即，由此得， 又因为关于对称轴对称的点纵坐标相等，所以． 故选：A． 3．点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为； 故选D． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∵ ∴函数与x轴的交点坐标为 ∴开口方向向上，对称轴为直线， 抛物线与关于直线对称， 两个抛物线的对称轴相同， 即 ∴ 解得， 观察四个选项，唯有D选项符合题意， 故选：D． 5．已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 一、解题步骤 1.化原解析式为顶点式：确定原顶点 和系数 ； 2.求对称后的顶点：根据对称类型，求原顶点的对称点 ； 3.定对称后的 ：判断开口方向是否改变（仅 x 轴/原点对称时 变号）； 4.写对称后解析式：代入对称后的顶点 和新 ，得顶点式，按需化为一般式。 二、关键抓手 · 若原函数为一般式，先化顶点式再对称，避免直接对一般式变形的复杂计算； · 图象上点的对称，可先根据对称规律求点的坐标，再结合解析式求解。 题型05 根据二次函数的图像判断代数式的正负 1．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴是，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是，且．有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；当时，，即可判断②；根据，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ， 又 ∵抛物线与轴交点坐标是，即， ，即， ∴，故①正确； ∴当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∵在抛物线的图象上， ， 又 ∵， ， ，即， ，即， ， ，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵， 即， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又 ∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； 结论正确的个数有4个． 2．关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，求得或，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确； ∵抛物线与轴交于不同两点，且， ∴设，，则， 解得：或， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 3．二次函数的图像如图所示，则下列命题中正确的个数（   ） ①；②一次函数的图像不经过第四象限；③（是任意实数）；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象知，抛物线开口向上，， 由抛物线与轴的交点于轴下方可得， 抛物线对称轴为直线，则， ， ①错误； ，， ∴一次函数的图象经一、三、四象限， 故②错误； 当时，最小， ， 故③错误； 由图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时， ， ， 故④正确． 4．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 5．抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列5个结论：①；②； ③；④；⑤点M、N在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用抛物线的开口方向和对称轴的位置判断a、b与0的大小关系，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点和之间，则可判断抛物线与y轴的交点位置，进而判断c与0的大小关系，即可判断①；利用抛物线与x轴的交点个数即可判断②；利用抛物线的对称轴方程即可判断③；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点和之间，所以时，，即可判断④；利用二次函数的性质即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ， ，故①错误； 抛物线与x轴有2个交点， ，故②错误； ， ，故③正确； 抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，抛物线开口向下， 时，， ，故④正确； 抛物线开口方向向下， 当时，；当时，，故⑤错误， 故正确结论有③④，共2个． 1.列基础：从图象提取的符号→按“开口定、左同右异定、与轴交点定、与轴交点定、特殊点定函数值”，逐一标注符号，形成基础信息表； 2.变形式：将待判断代数式转化为基础形式→对复杂代数式，通过配方、对称轴公式、特殊值代入，变形为“组合、基础代数式、函数值”的形式，消除复杂结构； 3.定符号：结合基础信息判断变形后代数式的正负→按“同号得正、异号得负，正数加正数为正，负数加负数为负，正数减负数为正”等基本法则，综合判断最终符号。 1．二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数与轴的交点坐标为，即可排除A选项，再分两种情况，分别分析对称轴的位置，即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 2．已知抛物线的顶点为，有下列结论： ①；②当时，随的增大而增大；③抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；④若关于的方程的一个根为3，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、平移规律及方程根的应用，先将抛物线化为顶点式，再逐一分析每个结论的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：∵抛物线顶点为，， ∴抛物线可写为顶点式，展开得， ∴，． ①判断： ∵，，的符号不确定（如时，时）， ∴的符号无法确定，故①错误． ②判断时的增减性： ∵，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故②正确． ③判断平移是否正确： 原抛物线顶点为，向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为， 而的顶点为，二者顶点不匹配，故③错误． ④判断的值： 将代入方程，即， 解得，故④正确． 综上所述，正确的结论有2个，故选B． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定对称轴，再分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，则抛物线开口向上， ∵和是抛物线上的两点，对于都有， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即， ∴，即， ∴， ∴； ②当时，则抛物线开口向下，且时，y随x的增大而减小， 则点关于对称轴的对称点的坐标为， ∵和是抛物线上的两点，对于都有， 此时和均在对称轴的右侧， ∴，即， ∵， ∴； 综上所述，当或时，满足题意． 4．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值；有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根：③；④若点，点在二次函数图象上，则；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（   ） x … 0 1 2 … … t m n … A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据表格数据得到二次函数的对称轴、的值，推导出与的关系，再结合时得到的范围，最后根据二次函数的性质逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，当时，， ， 和的值相等，均为， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，得， ∴二次函数解析式为， 时，，代入得， 化简得，解得，抛物线开口向上； ①顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点在第四象限，①正确； ②∵时，，对称轴为， 设关于对称轴的对称点横坐标为，则，解得， ∴时，即和是方程的两个根，②正确； ③当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴，③错误； ④点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，， ∴，④正确； ⑤方程，即， 判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根，⑤正确； 综上，正确的结论共个． 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线开口，对称轴，与轴的交点即可判断①②，根据时的函数值小于，即可判断③，根据当时，有最大值即可判断④，根据方程的解，即为的交点的横坐标，画出一次函数图象，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵当时，， 又， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值 ∴对于任意实数，都有，即，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 6．已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 7．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 9．若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向和二次函数的性质，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离大小关系，列不等式求解即可． 【详解】对于二次函数， ， ∴抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线， ∵点的横坐标为2，即点C在对称轴上， 是二次函数的最小值，满足，， 由，根据开口向上的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，可得： ， 整理得 ， 两边平方得：， 展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴m的取值范围是． 10．老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质： 小张：函数图象不经过第三象限； 小赵：函数图象经过第一象限； 小王：当时，y随x的增大而减小； 小马：当时，． 请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______． 【答案】 【分析】根据增减性确定二次函数的对称轴和开口方向，再结合函数取值范围与图象经过的象限，确定顶点纵坐标和常数项的范围，即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵ 当时，随的增大而减小，当时，， ∴ 二次函数的对称轴为直线，且，开口向上，即， ∵ 函数图象不经过第三象限， ∴ 二次函数与轴的交点纵坐标， 取，顶点纵坐标为，则顶点坐标可为， 可得函数解析式为， 验证该函数满足所有给出的性质，符合要求， 故答案为（答案不唯一）． 11．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先由抛物线开口向下得离对称轴越近函数值越大，再由得离对称轴更近，进而得，中点在对称轴左侧，或，在对称轴左侧，结合中点取值范围列不等式求的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵当，时，都有， ∴点离对称轴更近，点离对称轴更远， 当，位于对称轴两侧时，，的中点在对称轴左侧，即​， ∵，， ∴， ∴要使恒成立，则， 解得； 当，位于对称轴同侧时， ∵，， ∴， ∴，在对称轴左侧， ∴， 解得：． 综上，得． 12．在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图象交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图象的生长点．二次函数（、为常数）的图象经过点，若是该函数图象的生长点，则该函数的表达式为_____． 【答案】或 【分析】根据过点作轴的垂线得到点、点、点、点的纵坐标都相同，都为，设，，，根据是该函数图象的生长点，得到，，把点代入得，是方程的两根，由根与系数关系得到，，再根据与的关系分情况讨论计算即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线与二次函数的图象交于点、（点在点的左侧），点在直线上， ∴点、点、点、点的纵坐标都相同，都为， 设，，， ∴是方程的两根， ∵是该函数图象的生长点， ∴，，即， 把点代入得， 整理得， ∴是方程的两根， 整理得， ∴，， 情况一：当时，，即，解得，此时化为，解得，符合题意， ∴，该函数的表达式为； 情况二：当时，，即， 解得， 代入得，解得或， 当时，化为，解得，不满足； 当时，化为，解得，满足，此时，该函数的表达式为； 情况三：当时，，即，解得，化为，解得，不满足； 综上所述，该函数的表达式为或． 13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）把点，点，代入抛物线，即可 （2）①根据题意，得到；，，把代入，求出点、、、的坐标，即可；②，；，，得到，，求出的取值；分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）解：①∵过点作轴的垂线，交轴于点， ∴； ∵该直线交于点，交抛物线于点， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， 当， ∴点，，，， ∴，． ②由①可得，；，， ∴，， ∵恒成立， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； ∴，不符合题意； 当时， ， 解得：， ∴； ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或； ∴或，不符合题意，舍去； 综上，或． 14．已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)4 (3) 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标；（2） （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，两点， ∴该函数的对称轴为直线，则， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为， 将代入中，得， 解得或（舍去）， 故m的值为4； （3）解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下， 又当时，有最大值7，最小值， ∴当时，取最大值7， ∵当时，， 又点关于对称轴对称的点的坐标为 ∴． 15．已知二次函数（a是常数，且）． (1)当时，试判断点是否在该函数图象上； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)若点， ()为该二次函数图象上的两点，且对于时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)不在，见解析 (2)或 (3)或且 【分析】（1）先得到函数解析式，再把代入求出值与比较即可； （2）先求出抛物线与轴交于点，，然后求出抛物线对称轴为直线，再分和两种情况讨论，根据对称轴的位置进行求解即可； （3）可得，，那么，化简得到，再结合已知条件转化得到，再利用二次函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：点不在该函数图象上，理由如下： 当时， 当时， ∴点不在该函数图象上； （2）解：令， 解得，， ∴抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 解得， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 解得 ∴， 综上：或； （3）解： ∵点， ()为该二次函数图象上的两点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 令 解得或， ∴当，即时，或 综上：a的取值范围或且． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $