2026年中考数学终极冲刺05：二次函数专项（全国通用）

该初中数学讲义聚焦中考二次函数核心模块，覆盖图象性质、系数关系、最值等8大考点，构建“考情分析-知识梳理-题型突破-真题演练”复习体系，通过表格化归纳与分层例题，帮助学生系统掌握数形结合等思想方法。 亮点在于“素养导向”的题型设计，如最值问题结合实际场景培养模型意识，系数符号判定通过图象特征发展推理能力。典例与变式题组配合中考真题，实现从方法到实战的迁移，助力学生高效突破压轴难点，教师可据此精准把控复习节奏。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺05 二次函数 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 二次函数是中考重难点压轴模块，分值占比 12%-18%。题型涵盖选择填空、解答大题，压轴题高频出现，整体难度跨度大，区分度极高。基础考查解析式求解、图象性质、顶点对称轴、增减变化；中档题围绕交点、最值、平移变换命题；常融合方程、几何、动点、存在性问题综合设问。该知识综合性极强，贯穿代数几何各大板块，侧重考查数形结合、分类讨论、建模运算能力，是拉开分数差距的核心考点。 2、核心考查内容： 二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数的对称、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式。 （1）二次函数的图象和性质：判断抛物线开口、对称轴与顶点坐标，掌握图象基本形态特征。分析函数增减变化规律，结合图象判定函数取值范围。 （2）二次函数的图象与系数的关系：依据图象走势判断 a、b、c 各项系数正负符号。推导系数组合代数式大小，梳理系数之间关联等式。 （3）二次函数的对称：依托对称轴求出函数上点的对称对应坐标。运用对称性质简化求值、线段长度相关计算。 （4）二次函数的最值：区分全体实数与限定区间，求解函数最大最小值。结合实际场景建模，利用最值解决最优方案问题。 （5）待定系数法求二次函数解析式：按需选用一般式、顶点式、交点式三种表达式。代入已知点坐标列式计算，精准求出函数关系式。 （6）二次函数图象的平移：遵循左加右减、上加下减平移变换基本法则。根据平移前后位置变化，改写出新函数解析式。 （7）二次函数与一元二次方程：由抛物线与 x 轴交点，判断一元二次方程实数根情况。借助根的判别式、交点坐标完成相关计算题型。 （8）二次函数与不等式：对比图象上下位置关系，判断函数数值大小关系。根据图象区间，确定不等式对应的自变量取值范围。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 【典例1】（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 【题型二】二次函数的图象与系数的关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【典例2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入解析式可判断D正确；根据对称轴、开口方向、与y轴的交点可判断C正确；由得，结合可判断A正确；举反例可判断B错误． 【详解】解：把代入，得，故D正确； ∵抛物线开口向上， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； 取，满足， 此时， ∴不一定成立，故B错误． 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 【题型三】二次函数的对称 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： 1、关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． 2、关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． 3、关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【典例3】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 【详解】解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴， 其他选项的值都不确定． 故选B． 【变式3】（2026·广东广州·二模）已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 【题型四】二次函数的最值 1、a>0，开口向上，函数有最小值，无最大值； 2、a<0，开口向下，函数有最大值，无最小值。 （1）对称轴落在取值区间内，最值取顶点函数值； （2）对称轴在区间左侧，区间内单调增减，最值取自区间右端点； （3）对称轴在区间右侧，区间内单调增减，最值取自区间左端点。 【典例4】（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【答案】 【详解】解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 【变式4】（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知和两点均在该抛物线上，且，，求的值； (3)当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【分析】（1）把，代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案； （2）先求出，，即可得出，进而代入所求代数式化简即可； （3）根据二次函数解析式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，当时，，分，和三种情况，分别得出最大值和最小值，根据分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． （2）解：∵和两点均在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，， ∴时与时的函数值相等，即当时，， ∵时，该二次函数的最大值和最小值分别为和，且， ∴当时，最大值，最小值为， ∴， 解得：（舍去），（舍去）， 当时，最小值，最大值， ∴，（不符合题意，舍去） 当时，最小值，最大值， ∴， 解得：，（舍去）， 综上所述：的值为． 【题型五】待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． 1、一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． 2、顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． 3、交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【典例5】（2026·河南开封·二模）篮球投篮的运动路线是一条抛物线．如图，一名运动员跳起投篮，篮球准确落入篮圈．以球员站立地面位置为原点，地平线为轴，垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系．已知该球员出手点距地面高度为，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度，篮筐中心B离地面高度为． (1)求篮球飞行路线对应的抛物线解析式； (2)求篮筐距离投篮球员的水平距离；（结果保留根号） (3)一名防守队员站在球员前方水平距离处，他伸手最高能达到，通过计算判断他能否拦到篮球． 【答案】(1)篮球运行路线所在抛物线解析式为； (2)篮筐距离投篮球员的水平距离为米； (3)他不能拦到篮球． 【分析】（）根据题意得抛物线顶点坐标为，经过点，然后利用待定系数法即可求解； （）把代入，求出的值即可； （）把代入，求出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线顶点坐标为，经过点， 设篮球运行路线所在抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴篮球运行路线所在抛物线解析式为； （2）解：把代入得，， 解得：，（舍去）， 答：篮筐距离投篮球员的水平距离为米； （3）解：把代入得，， ∵， ∴他不能拦到篮球． 【变式5】（2026·广西南宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再配方成顶点式，进而可得出顶点坐标． （2）根据题意分别得出点A和点E的坐标，然后得出和，然后根据正切的定义得出关于a的一元二次方程，因式分解法解方程即可． （3）根据点A的坐标分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入， ， 解得：， ∴， ∴顶点B的坐标为． （2）解：∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴， ∵轴，交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 解得或（舍去） （3）解：，，，， 分四种情况求解： 当时，，， ∴， 整理得：， 解得或（舍） 当时，，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，，， ∴， 整理得： 解得（舍）， 当时，，， ∴， 整理得：， 解得（舍），（舍） 综上所述：a的值为或0． 【题型六】二次函数图象的平移 1、将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． 2、由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 【典例6】（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得： 再将所得图象向下平移3个单位长度，可得： ，即 【变式6】（2026·安徽宿州·三模）平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先根据平移性质和平移后函数的条件写出顶点式，代入已知点求出，再逐个判断四个结论． 【详解】解：平移后二次函数对称轴为直线，最大值为，且由平移得到， 平移后二次函数顶点式为， 将点代入得：，解得，故结论错误； 根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，将向右平移个单位得，再向下平移个单位得，即新函数，故结论正确； 联立，即， 解得， 即两函数图象的交点的横坐标为，故结论正确； 对于，令，得， 即平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为，故结论错误． 综上，正确结论有，共个． 【题型七】二次函数与一元二次方程 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． 1、若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． 2、二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 【典例7】（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 【变式7】（2026·四川成都·一模）关于二次函数是常数且，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．函数图象与x轴没有交点 D．在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】由，可得函数图象开口向上；二次函数图象的对称轴为直线；根据，可知函数图象与轴有两个交点；结合图象可知，在轴左侧，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：， 函数图象开口向上， 故选项不正确，不符合题意； 二次函数图象的对称轴为直线， 故选项不正确，不符合题意； ， 函数图象与轴有两个交点， 故选项不正确，不符合题意； 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在轴左侧，的值随值的增大而减小， 故选项正确，符合题意． 故选：． 【题型八】二次函数与不等式 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: 1、将一元二次不等式化为的形式； 2、明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； 3、作出不等式对应的二次函数的草图； 4、二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【典例8】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线：向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．当，时，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的解析式，根据题意，然后分别求出，，分别求得和在上的函数值，即的值，根据列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为．将向右平移2个单位得到． ∴平移后，的解析式为：， ∵，点在上，点在上，且． ∴点的横坐标为．代入的解析式， 得 则代入到的解析式，得 ∵点在抛物线上． ∴． 条件时，的最大值小于 ∵， ∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得 当时， ， 当时， ， ∴， 且． 解不等式①：， ， ， ， ∵， ∴． 解得． 解不等式②：， 即， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 【变式8】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 3．（2013·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 4．（2019·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 6．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 7．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 8．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 10．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 11．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 12．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 14．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 15.（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 16．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 17．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 18．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 19．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 20．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺05 二次函数 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 二次函数是中考重难点压轴模块，分值占比 12%-18%。题型涵盖选择填空、解答大题，压轴题高频出现，整体难度跨度大，区分度极高。基础考查解析式求解、图象性质、顶点对称轴、增减变化；中档题围绕交点、最值、平移变换命题；常融合方程、几何、动点、存在性问题综合设问。该知识综合性极强，贯穿代数几何各大板块，侧重考查数形结合、分类讨论、建模运算能力，是拉开分数差距的核心考点。 2、核心考查内容： 二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数的对称、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式。 （1）二次函数的图象和性质：判断抛物线开口、对称轴与顶点坐标，掌握图象基本形态特征。分析函数增减变化规律，结合图象判定函数取值范围。 （2）二次函数的图象与系数的关系：依据图象走势判断 a、b、c 各项系数正负符号。推导系数组合代数式大小，梳理系数之间关联等式。 （3）二次函数的对称：依托对称轴求出函数上点的对称对应坐标。运用对称性质简化求值、线段长度相关计算。 （4）二次函数的最值：区分全体实数与限定区间，求解函数最大最小值。结合实际场景建模，利用最值解决最优方案问题。 （5）待定系数法求二次函数解析式：按需选用一般式、顶点式、交点式三种表达式。代入已知点坐标列式计算，精准求出函数关系式。 （6）二次函数图象的平移：遵循左加右减、上加下减平移变换基本法则。根据平移前后位置变化，改写出新函数解析式。 （7）二次函数与一元二次方程：由抛物线与 x 轴交点，判断一元二次方程实数根情况。借助根的判别式、交点坐标完成相关计算题型。 （8）二次函数与不等式：对比图象上下位置关系，判断函数数值大小关系。根据图象区间，确定不等式对应的自变量取值范围。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 【典例1】（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 【题型二】二次函数的图象与系数的关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 【典例2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【题型三】二次函数的对称 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： 1、关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． 2、关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． 3、关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 【典例3】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东广州·二模）已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【题型四】二次函数的最值 1、a>0，开口向上，函数有最小值，无最大值； 2、a<0，开口向下，函数有最大值，无最小值。 （1）对称轴落在取值区间内，最值取顶点函数值； （2）对称轴在区间左侧，区间内单调增减，最值取自区间右端点； （3）对称轴在区间右侧，区间内单调增减，最值取自区间左端点。 【典例4】（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【变式4】（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知和两点均在该抛物线上，且，，求的值； (3)当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为和，且，求的值． 【题型五】待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． 1、一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． 2、顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． 3、交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 【典例5】（2026·河南开封·二模）篮球投篮的运动路线是一条抛物线．如图，一名运动员跳起投篮，篮球准确落入篮圈．以球员站立地面位置为原点，地平线为轴，垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系．已知该球员出手点距地面高度为，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度，篮筐中心B离地面高度为． (1)求篮球飞行路线对应的抛物线解析式； (2)求篮筐距离投篮球员的水平距离；（结果保留根号） (3)一名防守队员站在球员前方水平距离处，他伸手最高能达到，通过计算判断他能否拦到篮球． 【变式5】（2026·广西南宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 【题型六】二次函数图象的平移 1、将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． 2、由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 【典例6】（2026·河南开封·二模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________． 【变式6】（2026·安徽宿州·三模）平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型七】二次函数与一元二次方程 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． 1、若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． 2、二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 【典例7】（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【变式7】（2026·四川成都·一模）关于二次函数是常数且，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．函数图象与x轴没有交点 D．在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小 【题型八】二次函数与不等式 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: 1、将一元二次不等式化为的形式； 2、明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； 3、作出不等式对应的二次函数的草图； 4、二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【典例8】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线：向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上．当，时，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2013·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2019·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 8．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C．D． 10．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 11．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 12．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 14．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 15.（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 16．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 17．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 18．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 19．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 20．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $