2026届高考物理三轮终极冲刺 讲义04：曲线运动

该高中物理高考复习教案聚焦曲线运动专题，涵盖运动的合成与分解、抛体运动、圆周运动及电场综合应用等核心考点，按基础规律到综合应用的逻辑架构知识体系。通过考情分析明确考查方向，核心知识点梳理构建内在联系，题型分类（典例+变式）强化方法指导，链接高考真题实现实战训练，帮助学生系统突破难点。 教案突出“化曲为直”思想与等效重力场模型建构，如将平抛运动拆解为水平匀速和竖直匀变速分运动，培养学生科学思维。设置分层练习与真题演练，确保复习针对性，能有效提升学生运动分解能力和临界问题分析能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高考物理终极冲刺，全力以赴，备战高考！ 高考物理终极冲刺04 曲线运动 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 本专题为高考力学必考内容，分值约 6-14 分，选择、计算题型均有考查。以曲线运动基本规律为基础，平抛运动、圆周运动是核心考点。命题侧重运动分解思想，平抛运动常结合落点、速度偏角计算出题；圆周运动重点考查向心力来源、临界极值问题。常关联机械能、万有引力综合设问，也会融合电场磁场考查带电粒子曲线运动。考题模型固定，多结合生活、天体运动情境命题，难度中等。侧重考查运动合成分解、受力与轨迹关系，是衔接力学与电磁综合的重要板块，掌握解题模型即可稳步得分。 2、核心考查内容： 运动的合成与分解、抛体运动、圆周运动、与电场结合的抛体运动、与电场结合的圆周运动。 （1）运动的合成与分解：判断合运动、分运动关系，运用平行四边形定则运算速度位移。掌握小船渡河、绳端速度分解模型，分析运动独立性与等时性。 （2）抛体运动：平抛、斜抛运动拆解为水平匀速、竖直匀变速分运动。运用规律求解位移、速度、偏角，计算运动时间与射程高度。 （3）圆周运动：辨析线速度、角速度、周期等物理量，分析向心力来源。求解向心加速度、轨道作用力，掌握绳杆、竖直圆周临界最值考点。 （4）电场结合抛体运动：电场力充当恒力，类比平抛规律分解运动。结合电场力做功，计算轨迹、速度、偏转角，分析电势能与动能变化。 （5）电场结合圆周运动；电场、重力复合场中判定等效最高点与最低点。分析向心力组成，求解临界速度、轨道弹力，研判圆周运动完整条件。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】运动的合成与分解 求解运动的合成与分解问题的技巧： 1、 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。 2、 物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。 【典例1】（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平面内有一平面直角坐标系，物体在该平面内始终受到沿轴负方向、大小未知的恒力，物体在区域还受到沿轴正方向、大小为的恒力作用，现将一质量为m的小球从坐标原点O沿轴正方向掷出，小球的运动轨迹交直线于两点，小球通过点P时距离轴最远，小球从N点返回轴的过程中做直线运动，回到轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°。已知，。则下列说法正确的是（    ） A．小球在O、P两点的加速度大小之比为5：4 B．小球在P点的速率是O点速率的倍 C．P点到轴的距离为 D．若小球初速度为，则小球在N点时合外力的功率为 【答案】BC 【详解】A．设小球受到的沿y轴负方向恒力为F，小球从N点返回x轴的过程中做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，有， 根据牛顿第二定律在O点有 在P点有 解得，故A错误； B．经分析可知，小球通过M，N两点时沿x轴方向的速度大小与小球通过P点时的速度大小相同，设小球从O点运动到M点所用的时间为t，小球通过P点时的速度大小 小球回到x轴时，沿x轴方向的速度大小 解得 设小球从O点掷出时的速度大小为，根据对称性可知，小球回到x轴时，沿y轴方向的速度大小为，方向沿y轴负方向，有 解得，故B正确； C．经分析可知，小球通过M，N两点时沿y轴方向的速度大小(设为)相同，小球从N点返回x轴的过程中做直线运动，有 可得 设小球从P点运动到N点所用的时间为，有 小球从N点返回x轴的过程中沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动，有 可得 小球从P点运动到N点的过程中沿y轴方向的位移大小 小球从N点返回x轴的过程中沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动，有 可得 经分析可知，故C正确； D．小球在N点时的速度为 而 所以，故D错误。 故选BC。 【变式1-1】（2026·安徽合肥·三模）2025年，我国自主研发的“天穹”高原森林火灾预警系统在青藏高原某地投入试运行。该系统向空中发射携带灭火弹的无人机集群，通过物理窒息、降温、化学抑制三重作用快速灭火，实现对火点的精准打击。在某次灭火演习中，无人机从距水平地面某一高度处沿水平方向以的速度匀速飞行，时向正前方水平发射一枚质量为灭火弹，灭火弹相对于无人机的初速度大小为，与水平地面成精准命中“火点”。已知灭火弹在运动中受到与速度大小成正比、方向相反的空气阻力，刚发射时所受阻力大小等于重力，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．当灭火弹命中“火点”时，无人机也恰好飞到其正上方 B．“火点”与灭火弹抛出点的水平距离为10 m C．从抛出到落地，阻力对灭火弹做功50 J D．灭火弹落地的速度大小为 【答案】D 【详解】D．运用配速法，配一速度，使其阻力与重力平衡，则可理解为灭火弹具有竖直向下的匀速直线运动和斜向上的变速直线运动，如图所示 由图可知， 此时将灭火弹受到的合外力等效为，作出灭火弹速度变化的矢量图 设灭火弹受到的阻力为 由题意知，灭火弹的初速度大小为 刚发射时所受阻力大小等于重力，即 代入数据，解得 结合配速法速度矢量图，可知 与水平方向的夹角 灭火弹与水平地面成精准命中“火点”，则由速度矢量图可知，故D正确； A．灭火弹命中“火点”瞬间速度的水平方向分量为 因此，在空中运行的过程中灭火弹速度的水平方向分量均大于，故水平方向的平均速度 而无人机始终保持的速度匀速飞行，故当灭火弹命中“火点”时，无人机的位移小于灭火弹的水平位移，故A错误； B．水平方向，由动量定理可知 代入数据解得 故灭火弹的水平位移，故B错误； C．动能定理可知，阻力对灭火弹做功满足 由抛出到落地，重力做正功，故阻力对灭火弹做功的绝对值大于，故C错误。 故选D。 【变式1-2】（2026·广西崇左·二模）（多选）在光滑水平地面上建立直角坐标，有一弹珠弹射装置，可以将弹珠以的动能从原点处向地面上的各个方向弹出。某次弹珠弹出后立即受到水平方向的恒力作用，先后经过、两点，弹珠经过点时的动能为，经过点时的动能为，已知、两点的坐标分别为、。下列说法正确的是（　　） A．该恒力大小为 B．该恒力大小为 C．若弹珠的质量为，则弹珠的初速度方向与轴正方向的夹角的正切值为 D．若弹珠的质量为，则弹珠的初速度方向与轴正方向的夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】AB．设恒力的水平分量为，竖直分量为，弹珠经过点时的动能为，有， 可得 经过点时的动能为，有，， 联立解得 可得该恒力大小为，故A错误，B正确； CD．若弹珠的质量为，初动能为，有 解得初速度为 如图所示，有 水平方向的加速度 从原点处到经过点的时间 竖直位移有， 联立解得，故C正确，D错误。 故选BC。 【题型二】抛体运动 “化曲为直”思想在平抛运动中的应用： 1、根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2、斜上抛运动的处理技巧 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 【典例2】（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示为某同学设计的游戏模型示意图，游戏面板与水平面成角固定放置，面板右侧固定直管道和半径的细圆管轨道，二者平滑连接，细圆管轨道的圆心为，顶端水平，直管道底端连接小弹簧，弹簧上端放置小弹珠（可视为质点）。游戏时，用外力压缩弹簧，释放后弹簧将弹珠弹出，若弹珠直接打中面板底部的区域，视为游戏成功，获得相应积分奖励，若弹珠打中侧面挡板，则游戏失败。已知弹珠质量，直管道长度，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度取，若弹珠从细圆管轨道顶端以的速度飞出并打在区域，求： (1)弹珠对细圆管轨道顶端的压力大小； (2)弹簧初始的弹性势能； (3)弹珠落在区域的位置到点的距离。 【答案】(1)0.056N (2)0.1872J (3)0.36m 【详解】（1）在细圆管轨道顶端对弹珠受力分析，设弹珠所受支持力为，则     解得 根据牛顿第三定律可知，弹珠对轨道的压力大小为 （2）根据能量守恒有     解得 （3）对类平抛运动有,,             解得 弹珠落在区域的位置到点的距离为 【变式2-1】（2026·浙江·三模）如图所示是探究不同速度下弹性碰撞的简化装置，倾角为θ的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半圆挡板、长为7R的直挡板和小挡片e。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，两挡板相切于b点，de与ab平行且等长，在小挡片e上固定原长3.5R、劲度系数为k的轻质弹簧，小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿挡板运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞。已知：小球甲质量为m1=1kg、小球乙质量为m2（未知），R=0.2m，θ=30°，弹簧的劲度系数，两小球均可视为质点，不计一切摩擦。 (1)若小球甲沿挡板恰能运动到c点，碰撞后小球乙也沿挡板运动并压缩弹簧，弹簧始终处于弹性限度内。求： ①小球甲运动到c点速度的大小； ②若，小球乙从接触弹簧至最低点的时间t；（可用反三角函数表示） (2)若小球甲沿挡板恰能运动到c点，碰撞后小球乙不沿挡板过f点，求： ①的比值； ②在上述质量比值下，改变小球甲的初速度（仍沿挡板运动），使碰撞后小球乙能越过线段df（不与挡板和弹簧相碰），小球甲初速度应满足的条件。 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）①甲恰能到点，可知在点有 解得 ②依题意，甲乙发生完全弹性碰撞，碰撞前后动量和能量守恒，以方向为正 有， 解得碰后乙的速度为 若，则 对小球乙，从c点至弹簧压缩量最大位置，设弹簧的最大压缩量为，以弹簧压缩量最大位置为重力势能的参考平面，由能量守恒定律 有 得 小球乙速度最大时，弹簧弹力等于重力，设此时弹簧的压缩量为 有 得，所以弹簧振子的振幅 设弹簧振子的振动方程为，其中 得 当位移为时，所用时间 当位移为时，所用时间 则小球乙从接触弹簧至最低点的时间 （2）①设碰后小球乙的速度为，根据前面分析有，依题意，碰后小球乙做类平抛运动且过点 沿方向有 沿垂直方向有 解得 ②设碰后小球乙的速度为，碰后小球乙做类平抛运动，若能越过线段不与弹簧相碰，则根据类平抛运动规律 有，且 得 同时需保证小球不能撞击到圆弧上，设碰后小球乙的速度为 有，且 得 联立得碰后小球乙的速度，根据前面分析可知 将代入可得 代入数据得 对甲球，从a到c过程中，由动能定理 有 综上得小球甲初速度应满足的条件 【变式2-2】（2026·湖北孝感·三模）某同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，为轨迹上三点，为轨迹最高点。已知直线、直线与水平方向夹角分别为和。不计空气阻力，毽子从运动到与从运动到的时间之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设毽子在最高点的速度为，方向水平，与轨迹上任一点连线与水平方向的夹角为，从到该点，，， 得 从到可视为从到平抛运动的逆运动，故 故选B。 【题型三】圆周运动 解题技巧： 1、向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2、向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 3、方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析, 几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等 运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等 受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力 【典例3】（2026·浙江·三模）如图所示，是由家用摄像机拍摄视频后制作的一幅记录甩手动作的图片，体现了把手指上的水滴甩掉的过程。A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片构建A、C之间的运动模型：开始阶段，指尖A以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。已知相邻两帧之间的时间间隔为0.04s，实验者手臂自然下垂时肩膀到指尖的实际长度为65cm。由此计算指尖在B点（以腕关节N为圆心）的向心加速度约为（     ） A．25m/s2 B．50m/s2 C．10m/s2 D．250m/s2 【答案】D 【详解】从图片可以估算相关数据，实验者手臂自然下垂时肩膀到指尖长度65cm，根据图片中A、B、C三帧的位置关系：指尖以腕关节N为圆心做圆周运动，腕关节到指尖的距离约为手掌长度，估计约 由图片估算C到B的弧长，因为B点线速度基本不变，再结合时间间隔计算瞬时速度： 向心加速度 根据答案反推：若，则， 在合理范围内，故ABC错误、D正确。 故选D。 【变式3-1】（2026·河南许昌·模拟预测）水平圆盘上放置两个完全相同的小物块，两物块到圆心的距离相等，两物块与圆心连线的夹角为。当圆盘绕圆心转动、角速度缓慢增大至时，两物块开始在圆盘上相对滑动。若保持两物块位置不变，将两物块用不可伸长的轻绳连接，且轻绳刚好伸直，当圆盘角速度缓慢增大至时，两物块开始在圆盘上相对滑动。则与的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】当没有轻绳连接时，物块做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。当角速度增大至时，静摩擦力达到最大值，有 解得 当用轻绳连接两物块时，物块受静摩擦力和绳子拉力作用，合力提供向心力。两物块与圆心连线夹角为，由几何关系可知，绳子与半径方向的夹角为 根据矢量合成法则，临界状态下，向心力矢量末端到拉力矢量所在射线的距离等于最大静摩擦力，如下图，即 解得 由于，所以 故选B。 【变式3-2】（2026·四川成都·三模）如图（a）所示，石磨由圆柱形可动磨盘和固定磨盘组成，可动磨盘能绕过圆心的竖直轴转动，其俯视简化图如图（b）所示。某次研磨时，手推动推杆使可动磨盘匀速转动，可动磨盘的上表面圆形进料口边缘有两粒谷物A、B恰能随磨盘一起转动。下列说法正确的是（　　） A．可动磨盘转动一周过程中，手对推杆做的功为零 B．谷物A所受摩擦力方向沿其运动轨迹切线方向 C．谷物A的向心加速度小于谷物B的向心加速度 D．若增大可动磨盘的转速，谷物A、B都能进入进料口中 【答案】C 【详解】A．根据微元法可知，可动磨盘转动一周过程中，手对推杆做的功为，不为零，A错误； B．谷物A所受摩擦力充当圆周运动的向心力，可知摩擦力方向指向圆心，B错误； C．根据可知，因AB两点的角速度相同，而，可知谷物A的向心加速度小于谷物B的向心加速度，C正确； D．若增大可动磨盘的转速，谷物A、B做离心运动，A能进入进料口中，B不能进入进料口中，D错误。 故选C。 【题型四】与电场综合的抛体运动 解题技巧： 1、带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 2、两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3、功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． 【典例4】（2026·广东东莞·二模）如图为观察电子在电场中偏转的实验，高压感应线圈接在阴极射线管A、B的两端，使阴极A发射的电子加速。感应发电机接在平行板电容器C、D两端，使电子偏转。某次实验时，在阴极射线管内的荧光屏上观察到的轨迹如图中虚线所示，轨迹恰好经过荧光屏的Q点，N、P、Q为荧光屏边缘上的三点。下列说法正确的是（     ） A．平行板电容器C端接感应发电机的正极 B．阴极射线管A端接高压感应线圈的正极 C．仅增大高压感应线圈电压，电子从NQ边射出 D．仅减小感应发电机电压，电子从PQ边射出 【答案】C 【详解】A．平行板电容器C若接感应发电机的正极，D接负极，则电容器间电场方向竖直向下，电子带负电，所受电场力方向竖直向上，电子向上偏转。但根据轨迹经过荧光屏Q点可知，电子落点偏向下侧，故C端应接负极，故A错误； B．阴极射线管中，阴极A发射电子需接高压感应线圈的负极，阳极B接正极，才能使电子加速飞向阳极，故A端接高压感应线圈的正极错误，故B错误； C．电子经加速电压加速后获得速度，进入偏转电场后侧向偏转量。仅增大时，偏转量减小，电子落点向荧光屏中心靠近，从边射出，故C正确； D．仅减小偏转电压时，偏转量减小，电子落点向中心靠近，不会从下面的边射出，故D错误。 故选C。 【变式4-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图所示，将长度为线状粒子源装置垂直放置于处，该装置能沿方向发射速度恒为的电子。第一象限存在沿方向的匀强电场，其下边界是一条过原点的曲线，轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场。在第四象限内有一平行于轴的足够长接收屏（图中未画出），电子进入电场后均能通过点。处发射的电子进入第三象限时，速度方向与轴夹角，恰好垂直打在接收屏上。已知电子的电量为，质量为。求： (1)电场强度的大小； (2)电场下边界的曲线方程； (3)若磁感应强度为，荧光屏上能接收到电子的区域长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在M处发射的电子在O处时速度为，由运动分解和动能定理得， 联立解得 （2）对任意电子运动分析，由类平抛运动得 联立解得 （3）电子沿任意角度进入第三象限，设速度方向与y轴夹角为，如图 则速度 在磁场中偏转洛伦兹力提供向心力有 联立解得 圆心偏离x轴距离 即所有粒子进入磁场后圆心都在直线上，由M处射出粒子垂直打在接收屏上 接收屏所在位置为处，轨迹与接收屏相切时，粒子垂直打在接收屏上时，故接收区域长度为。 【变式4-2】（2026·河南许昌·模拟预测）电子从静止经加速电压加速后获得速度，然后紧贴下极板边缘斜向上方进入两块水平金属板间的匀强电场，初速度方向与极板的夹角为，如图所示。电场方向竖直向上，两板间距为d。电子的质量为m，电荷量为e，不计重力，要求电子不打到上极板。求： (1)电子刚进入电场时的初速度大小； (2)如果金属板足够长，则应在两金属板间至少加多大的电压； (3)若金属板长，则应在两金属板间至少加多大的电压。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子到下极板边缘的速度为，则 故 （2）要使电子刚好不达到上面极板，则刚好要到上极板时垂直极板的速度为0 由动能定理得 其中 联立得 （3）若电子从金属板右侧飞出，在板间运动的时间 若刚好上面极板边缘离开电场，则垂直于极板方向 其中 由动能定理得 联立得 即在两金属板间至少加的电压。 【题型五】与电场综合的圆周运动 解题技巧： 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 【典例5】（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，空间中存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，点处有一粒子源，不断地沿与轴正方向成角的各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小为的粒子。一垂直于轴的足够大荧光屏从点缓慢沿轴正方向移动，荧光屏受到粒子撞击后会产生荧光。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，屏到点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．粒子在磁场中运动，将速度分解为平行于磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度。粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 运动周期 当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，沿着y轴方向从上向下看，对其中一个粒子的运动 根据几何关系可知转过的圆心角为90°，所以所用时间为 屏到点的距离为 故选A。 【变式5-1】（2026·贵州安顺·二模）（多选）如图，在纸面内的直角坐标系xOy平面中，第一象限、第四象限内均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为；第二象限内存在方向沿轴负方向的匀强电场。质量为、电荷量为（）的带电粒子在第二象限内从横坐标为的点以初速度平行于..轴正方向运动，恰好从O点进入第四象限，经偏转后从轴上的点进入第一象限，一段时间后再次经P点穿过x轴。已知粒子经过O点后始终未离开的区域，第二象限内的电场强度大小为，不计粒子的重力。则（　　） A．粒子经过O点时的速度大小为 B．粒子经过O点时的速度大小为 C．与的比值可能为 D．与的比值可能为 【答案】ACD 【详解】AB．粒子在第二象限做类平抛运动 方向匀速运动​ 方向匀加速运动，根据牛顿第二定律 方向末速度 合速度 解得，A正确，B错误； CD．O点速度与正方向夹角满足​ 得。 第四象限中，洛伦兹力提供向心力 第四象限中，粒子从到的弦长 第一象限中，洛伦兹力提供向心力 第一象限中，粒子每次在轴截得的弦长 题目要求粒子始终不离开，且再次经过点，说明存在正整数，满足 当时，​，C正确； 当时，​，D正确； 故选 ACD。 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为时，电子可分别从ab边的中点e、b点和c点射出，则之比为（　　） A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．3∶2∶1 D．4∶2∶1 【答案】D 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得半径公式 由此可知，在、、一定的情况下，磁感应强度与轨道半径成反比，即 设正方形边长为，当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时， 解得 当磁感应强度为时，设半径为，由几何关系 解得 综上所述，半径之比为 所以磁感应强度之比为 故选D。 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 2．（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【详解】根据题意可知跳绳的转动角速度为 故每分钟跳绳的圈数为 故选C。 3．（2026·浙江·高考真题）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（   ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 【答案】D 【详解】A．运动员在转弯时一定有向心加速度，加速度不可能为零，故A错误； B．倾斜赛道有阻力，阻力对运动员和钢架雪车做负功，运动员和钢架雪车整体机械能不守恒，故B错误； C．钢架雪车所受重力竖直向下，赛道对钢架雪车的支持力垂直赛道向上，不在同一条直线上，不是一对平衡力，故C错误； D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力，故D正确。 故选D。 4．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【答案】B 【详解】AB．对汽车，根据速度位移关系 可得匀减速运动的加速度大小 汽车做减速运动的时间 这段时间列车行驶距离为 B正确，A错误； CD．根据 可得汽车在OP段向心加速度大小为 CD错误。 故选B。 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 6．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 7．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 8．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（　　） A．t1<t2 B．t1> t2 C．Ek1<Ek2 D．Ek1>Ek2 【答案】AD 【详解】AB．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，根据 可知 t1<t2 故A正确，B错误。 CD．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，而根据 可知 Ek1>Ek2 故C错误，D正确。 故选AD。 9．（2021·山东·高考真题）（多选）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　） A．投出物资后热气球做匀加速直线运动 B．投出物资后热气球所受合力大小为 C． D． 【答案】BC 【详解】AB．热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，初动量为0，水平投出重力为的物资瞬间，满足动量守恒定律 则热气球和物资的动量等大反向，热气球获得水平向左的速度，热气球所受合外力恒为，竖直向上，所以热气球做匀加速曲线运动，故A错误，B正确； CD．热气球和物资的运动示意图如图所示 热气球和物资所受合力大小均为，所以热气球在竖直方向上加速度大小为 物资落地过程所用的时间内，根据解得落地时间为 热气球在竖直方向上运动的位移为 热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位移为 根据勾股定理可知热气球和物资的实际位移为 故C正确，D错误。 故选BC。 10．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A．粒子3入射时的动能比它出射时的大 B．粒子4入射时的动能比它出射时的大 C．粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D．粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 【答案】BD 【详解】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为 带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有 ， 可得 即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误； A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误； B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确； D．粒子3做向心运动，有 可得 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确； 故选BD。 11．（2021·四川·高考真题）（1）某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与Y轴重合，在R从坐标原点以速度v0=3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为（4，6）,此时R的速度大小为________Cm/s，R在上升过程中运动轨迹的示意图是____________．（R视为质点） （2）为测量一电源的电动势及内阻 ①在下列三个电压表中选一个改装成量程为9V的电压表 A．量程为1V、内阻大约为1KΩ的电压V1 B．量程为2V、内阻大约为2KΩ的电压V2 C．量程为3V、内阻为3KΩ的电压V3 选择电压表__________串联____________KΩ的电阻可以改转成量程为9V的电压表 ② 利用一个电阻箱、一只开关、若开关导线和改装好的电压表（此表用符号V1V2V3与一个电阻串联来表示，且可视为理想电压表），在虚线框内画出电源电动势及内阻的实验原理电路图__________． ③.根据以上试验原理电路图进行实验，读出电压表示数为1.50V时、电阻箱值为15.0Ω；电压表示数为2.00V时，电阻箱的阻值为40.0Ω，则电源的电动势E= ___________V、内阻r=_________Ω． 【答案】 5 D C 6 7.5 10 【详解】（1）[1]“研究运动的合成与分解”实验中： 小圆柱体R在竖直方向匀速运动有 y=v0t t===2s 在水平方向做初速为0的匀加速直线运动 x=at2 得 a=2cm/s2R的速度大小为 v==5cm/s [2]因加速度指向轨迹的凹向，可知轨迹示意图是D． （2）①[3][4]选择量程为3V、内阻大约为3KΩ的电压V3表盘刻度改装容易，读数容易，改装后量程和内阻都扩大3倍，所以改装时需要串联6KΩ的电阻． ②[5]实验原理电路图，如图： ③[6][7]电压表示数为1.50V时，改装电压表的示数为4.50V，即加在电阻箱上的电压是4.50V，根据闭合电路的欧姆定律 E=4.5V+r 同理有 E=6.0V+r 解得 E=7.5V r=10Ω 12．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止。 为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤： (1)用秒表测圆盘转动10周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = _____rad/s（π取3.14） (2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = _____mm，多次测量后，得到平均值恰好与d相等。 (3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = _____（用D、m、ω、d表示），其大小为_____N（保留2位有效数字） 【答案】(1)1 (2)16.2 (3) 6.1 × 10－3 【详解】（1）圆盘转动10周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的周期为 根据角速度与周期的关系有 （2）根据游标卡尺的读数规则有 1.6cm＋2 × 0.1mm = 16.2mm （3）[1]小圆柱体做圆周运动的半径为 则小圆柱体所需向心力表达式 [2]带入数据有 F = 6.1 × 10－3N 13．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 14．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【答案】(1)0.6m (2)IN = 0.1N·s；vx′ = 0 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有， 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 15．（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （2）粒子在左侧磁场运动，设从MN射出时速度方向与MN的夹角为θ，由于O到的距离，结合，根据几何关系可知； 粒子在MN和PQ之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ进入右侧磁场时与PQ的夹角；粒子在右侧磁场做匀速圆周运动有 解得 根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距 （3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间 粒子在右边磁场运动的时间 根据对称性可知粒子在MN左侧进出磁场的距离 所以粒子从MN到PQ过程中运动的距离为 粒子在MN和PQ之间运动的时间 综上可知粒子完成完整运动回到O点的周期为 1 学科网（北京）股份有限公司 $高考物理终极冲刺，全力以赴，备战高考！ 高考物理终极冲刺04 曲线运动 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 本专题为高考力学必考内容，分值约 6-14 分，选择、计算题型均有考查。以曲线运动基本规律为基础，平抛运动、圆周运动是核心考点。命题侧重运动分解思想，平抛运动常结合落点、速度偏角计算出题；圆周运动重点考查向心力来源、临界极值问题。常关联机械能、万有引力综合设问，也会融合电场磁场考查带电粒子曲线运动。考题模型固定，多结合生活、天体运动情境命题，难度中等。侧重考查运动合成分解、受力与轨迹关系，是衔接力学与电磁综合的重要板块，掌握解题模型即可稳步得分。 2、核心考查内容： 运动的合成与分解、抛体运动、圆周运动、与电场结合的抛体运动、与电场结合的圆周运动。 （1）运动的合成与分解：判断合运动、分运动关系，运用平行四边形定则运算速度位移。掌握小船渡河、绳端速度分解模型，分析运动独立性与等时性。 （2）抛体运动：平抛、斜抛运动拆解为水平匀速、竖直匀变速分运动。运用规律求解位移、速度、偏角，计算运动时间与射程高度。 （3）圆周运动：辨析线速度、角速度、周期等物理量，分析向心力来源。求解向心加速度、轨道作用力，掌握绳杆、竖直圆周临界最值考点。 （4）电场结合抛体运动：电场力充当恒力，类比平抛规律分解运动。结合电场力做功，计算轨迹、速度、偏转角，分析电势能与动能变化。 （5）电场结合圆周运动；电场、重力复合场中判定等效最高点与最低点。分析向心力组成，求解临界速度、轨道弹力，研判圆周运动完整条件。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】运动的合成与分解 求解运动的合成与分解问题的技巧： 1、 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。 2、 物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。 【典例1】（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平面内有一平面直角坐标系，物体在该平面内始终受到沿轴负方向、大小未知的恒力，物体在区域还受到沿轴正方向、大小为的恒力作用，现将一质量为m的小球从坐标原点O沿轴正方向掷出，小球的运动轨迹交直线于两点，小球通过点P时距离轴最远，小球从N点返回轴的过程中做直线运动，回到轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°。已知，。则下列说法正确的是（    ） A．小球在O、P两点的加速度大小之比为5：4 B．小球在P点的速率是O点速率的倍 C．P点到轴的距离为 D．若小球初速度为，则小球在N点时合外力的功率为 【变式1-1】（2026·安徽合肥·三模）2025年，我国自主研发的“天穹”高原森林火灾预警系统在青藏高原某地投入试运行。该系统向空中发射携带灭火弹的无人机集群，通过物理窒息、降温、化学抑制三重作用快速灭火，实现对火点的精准打击。在某次灭火演习中，无人机从距水平地面某一高度处沿水平方向以的速度匀速飞行，时向正前方水平发射一枚质量为灭火弹，灭火弹相对于无人机的初速度大小为，与水平地面成精准命中“火点”。已知灭火弹在运动中受到与速度大小成正比、方向相反的空气阻力，刚发射时所受阻力大小等于重力，取重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．当灭火弹命中“火点”时，无人机也恰好飞到其正上方 B．“火点”与灭火弹抛出点的水平距离为10 m C．从抛出到落地，阻力对灭火弹做功50 J D．灭火弹落地的速度大小为 【变式1-2】（2026·广西崇左·二模）（多选）在光滑水平地面上建立直角坐标，有一弹珠弹射装置，可以将弹珠以的动能从原点处向地面上的各个方向弹出。某次弹珠弹出后立即受到水平方向的恒力作用，先后经过、两点，弹珠经过点时的动能为，经过点时的动能为，已知、两点的坐标分别为、。下列说法正确的是（　　） A．该恒力大小为 B．该恒力大小为 C．若弹珠的质量为，则弹珠的初速度方向与轴正方向的夹角的正切值为 D．若弹珠的质量为，则弹珠的初速度方向与轴正方向的夹角的正切值为 【题型二】抛体运动 “化曲为直”思想在平抛运动中的应用： 1、根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2、斜上抛运动的处理技巧 (1)对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆向看成平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动时，可根据对称性求解某些问题。 【典例2】（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示为某同学设计的游戏模型示意图，游戏面板与水平面成角固定放置，面板右侧固定直管道和半径的细圆管轨道，二者平滑连接，细圆管轨道的圆心为，顶端水平，直管道底端连接小弹簧，弹簧上端放置小弹珠（可视为质点）。游戏时，用外力压缩弹簧，释放后弹簧将弹珠弹出，若弹珠直接打中面板底部的区域，视为游戏成功，获得相应积分奖励，若弹珠打中侧面挡板，则游戏失败。已知弹珠质量，直管道长度，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度取，若弹珠从细圆管轨道顶端以的速度飞出并打在区域，求： (1)弹珠对细圆管轨道顶端的压力大小； (2)弹簧初始的弹性势能； (3)弹珠落在区域的位置到点的距离。 【变式2-1】（2026·浙江·三模）如图所示是探究不同速度下弹性碰撞的简化装置，倾角为θ的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半圆挡板、长为7R的直挡板和小挡片e。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，两挡板相切于b点，de与ab平行且等长，在小挡片e上固定原长3.5R、劲度系数为k的轻质弹簧，小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿挡板运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞。已知：小球甲质量为m1=1kg、小球乙质量为m2（未知），R=0.2m，θ=30°，弹簧的劲度系数，两小球均可视为质点，不计一切摩擦。 (1)若小球甲沿挡板恰能运动到c点，碰撞后小球乙也沿挡板运动并压缩弹簧，弹簧始终处于弹性限度内。求： ①小球甲运动到c点速度的大小； ②若，小球乙从接触弹簧至最低点的时间t；（可用反三角函数表示） (2)若小球甲沿挡板恰能运动到c点，碰撞后小球乙不沿挡板过f点，求： ①的比值； ②在上述质量比值下，改变小球甲的初速度（仍沿挡板运动），使碰撞后小球乙能越过线段df（不与挡板和弹簧相碰），小球甲初速度应满足的条件。 【变式2-2】（2026·湖北孝感·三模）某同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，为轨迹上三点，为轨迹最高点。已知直线、直线与水平方向夹角分别为和。不计空气阻力，毽子从运动到与从运动到的时间之比为（     ） A． B． C． D． 【题型三】圆周运动 解题技巧： 1、向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2、向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 3、方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析, 几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等 运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等 受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力 【典例3】（2026·浙江·三模）如图所示，是由家用摄像机拍摄视频后制作的一幅记录甩手动作的图片，体现了把手指上的水滴甩掉的过程。A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片构建A、C之间的运动模型：开始阶段，指尖A以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。已知相邻两帧之间的时间间隔为0.04s，实验者手臂自然下垂时肩膀到指尖的实际长度为65cm。由此计算指尖在B点（以腕关节N为圆心）的向心加速度约为（     ） A．25m/s2 B．50m/s2 C．10m/s2 D．250m/s2 【变式3-1】（2026·河南许昌·模拟预测）水平圆盘上放置两个完全相同的小物块，两物块到圆心的距离相等，两物块与圆心连线的夹角为。当圆盘绕圆心转动、角速度缓慢增大至时，两物块开始在圆盘上相对滑动。若保持两物块位置不变，将两物块用不可伸长的轻绳连接，且轻绳刚好伸直，当圆盘角速度缓慢增大至时，两物块开始在圆盘上相对滑动。则与的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】（2026·四川成都·三模）如图（a）所示，石磨由圆柱形可动磨盘和固定磨盘组成，可动磨盘能绕过圆心的竖直轴转动，其俯视简化图如图（b）所示。某次研磨时，手推动推杆使可动磨盘匀速转动，可动磨盘的上表面圆形进料口边缘有两粒谷物A、B恰能随磨盘一起转动。下列说法正确的是（　　） A．可动磨盘转动一周过程中，手对推杆做的功为零 B．谷物A所受摩擦力方向沿其运动轨迹切线方向 C．谷物A的向心加速度小于谷物B的向心加速度 D．若增大可动磨盘的转速，谷物A、B都能进入进料口中 【题型四】与电场综合的抛体运动 解题技巧： 1、带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动 (1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)． (2)沿静电力方向做匀加速直线运动 ①加速度：a＝＝＝ ②离开电场时的偏移量：y＝at2＝ ③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝ 2、两个重要结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：在加速电场中有qU0＝mv02 在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2 偏转角θ，tan θ＝＝ 得：y＝，tan θ＝ y、θ均与m、q无关． (2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半． 3、功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差． 【典例4】（2026·广东东莞·二模）如图为观察电子在电场中偏转的实验，高压感应线圈接在阴极射线管A、B的两端，使阴极A发射的电子加速。感应发电机接在平行板电容器C、D两端，使电子偏转。某次实验时，在阴极射线管内的荧光屏上观察到的轨迹如图中虚线所示，轨迹恰好经过荧光屏的Q点，N、P、Q为荧光屏边缘上的三点。下列说法正确的是（     ） A．平行板电容器C端接感应发电机的正极 B．阴极射线管A端接高压感应线圈的正极 C．仅增大高压感应线圈电压，电子从NQ边射出 D．仅减小感应发电机电压，电子从PQ边射出 【变式4-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图所示，将长度为线状粒子源装置垂直放置于处，该装置能沿方向发射速度恒为的电子。第一象限存在沿方向的匀强电场，其下边界是一条过原点的曲线，轴下方存在垂直纸面向外的匀强磁场。在第四象限内有一平行于轴的足够长接收屏（图中未画出），电子进入电场后均能通过点。处发射的电子进入第三象限时，速度方向与轴夹角，恰好垂直打在接收屏上。已知电子的电量为，质量为。求： (1)电场强度的大小； (2)电场下边界的曲线方程； (3)若磁感应强度为，荧光屏上能接收到电子的区域长度。 【变式4-2】（2026·河南许昌·模拟预测）电子从静止经加速电压加速后获得速度，然后紧贴下极板边缘斜向上方进入两块水平金属板间的匀强电场，初速度方向与极板的夹角为，如图所示。电场方向竖直向上，两板间距为d。电子的质量为m，电荷量为e，不计重力，要求电子不打到上极板。求： (1)电子刚进入电场时的初速度大小； (2)如果金属板足够长，则应在两金属板间至少加多大的电压； (3)若金属板长，则应在两金属板间至少加多大的电压。 【题型五】与电场综合的圆周运动 解题技巧： 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 【典例5】（2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，空间中存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，点处有一粒子源，不断地沿与轴正方向成角的各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小为的粒子。一垂直于轴的足够大荧光屏从点缓慢沿轴正方向移动，荧光屏受到粒子撞击后会产生荧光。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，屏到点的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·贵州安顺·二模）（多选）如图，在纸面内的直角坐标系xOy平面中，第一象限、第四象限内均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为；第二象限内存在方向沿轴负方向的匀强电场。质量为、电荷量为（）的带电粒子在第二象限内从横坐标为的点以初速度平行于..轴正方向运动，恰好从O点进入第四象限，经偏转后从轴上的点进入第一象限，一段时间后再次经P点穿过x轴。已知粒子经过O点后始终未离开的区域，第二象限内的电场强度大小为，不计粒子的重力。则（　　） A．粒子经过O点时的速度大小为 B．粒子经过O点时的速度大小为 C．与的比值可能为 D．与的比值可能为 【变式5-2】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面、大小可以调节的匀强磁场，一电子在纸面内从顶点a以一定的速度沿ad方向射入磁场。当磁感应强度的大小分别为时，电子可分别从ab边的中点e、b点和c点射出，则之比为（　　） A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．3∶2∶1 D．4∶2∶1 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是，圆弧对应的圆心角约为，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A．90 B．120 C．150 D．180 3．（2026·浙江·高考真题）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（   ） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 4．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 6．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 8．（2022·湖北·高考真题）（多选）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t1，到达Р点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t2，到达Р点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（　　） A．t1<t2 B．t1> t2 C．Ek1<Ek2 D．Ek1>Ek2 9．（2021·山东·高考真题）（多选）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　） A．投出物资后热气球做匀加速直线运动 B．投出物资后热气球所受合力大小为 C． D． 10．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　） A．粒子3入射时的动能比它出射时的大 B．粒子4入射时的动能比它出射时的大 C．粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能 D．粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能 11．（2021·四川·高考真题）（1）某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与Y轴重合，在R从坐标原点以速度v0=3cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为（4，6）,此时R的速度大小为________Cm/s，R在上升过程中运动轨迹的示意图是____________．（R视为质点） （2）为测量一电源的电动势及内阻 ①在下列三个电压表中选一个改装成量程为9V的电压表 A．量程为1V、内阻大约为1KΩ的电压V1 B．量程为2V、内阻大约为2KΩ的电压V2 C．量程为3V、内阻为3KΩ的电压V3 选择电压表__________串联____________KΩ的电阻可以改转成量程为9V的电压表 ② 利用一个电阻箱、一只开关、若开关导线和改装好的电压表（此表用符号V1V2V3与一个电阻串联来表示，且可视为理想电压表），在虚线框内画出电源电动势及内阻的实验原理电路图__________． ③.根据以上试验原理电路图进行实验，读出电压表示数为1.50V时、电阻箱值为15.0Ω；电压表示数为2.00V时，电阻箱的阻值为40.0Ω，则电源的电动势E= ___________V、内阻r=_________Ω． 12．（2024·海南·高考真题）水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图（a）所示，图（b）为俯视图，测得圆盘直径D = 42.02cm，圆柱体质量m = 30.0g，圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止。 为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了如下实验步骤： (1)用秒表测圆盘转动10周所用的时间t = 62.8s，则圆盘转动的角速度ω = _____rad/s（π取3.14） (2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图（c）所示，该读数d = _____mm，多次测量后，得到平均值恰好与d相等。 (3)写出小圆柱体所需向心力表达式F = _____（用D、m、ω、d表示），其大小为_____N（保留2位有效数字） 13．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 14．（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 15．（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ间无磁场。MN左侧区域和PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点以大小为的初速度射出，方向平行于MN向上。已知O点到MN的距离为，粒子能回到O点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径； (2)粒子第一次和第二次经过PQ时位置的间距； (3)粒子的运动周期 1 学科网（北京）股份有限公司 $