2025--2026学年北师大版七年级下册数学证明题专项练（深圳专用）

**基本信息** 聚焦平行线与全等三角形证明，通过"填空补全-独立证明-实际应用"三阶训练，系统培养逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础推理|8题|定理应用（平行性质/判定、全等判定）、等量代换|从角平分线/垂直定义等概念出发，构建"已知-定理-结论"推理链条| |全等证明|6题|SAS/ASA/AAS判定、辅助线添加|以三角形全等为核心，关联平行线性质与等腰三角形性质| |综合应用|8题|动态几何分析、实际问题建模（潜望镜/流水线）|整合角度计算与平行判定，形成"性质-判定-应用"闭环逻辑|

北师大版七年级下数学证明题专项练（深圳专用） 1．填空，并在括号里注明理由： 如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线交OC于点F，试说明：∠1＝∠2． 说明：∵EF∥OD， ∴∠3＝∠　 　 （ 　 　 ）， ∵EF∥OD， ∴∠4＝∠　 　 （ 　 　 ）， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠3＝∠4（ 　 　 ）， ∴∠5＝∠6， ∵∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°， ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）． 2．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，BE，CD交于点O，且BD＝CE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：OB＝OC． 3．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：DC∥EF； （2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数； （2）如果只知道∠C﹣∠B＝20°，那么能得到∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 5．完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据． 已知：如图∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC． 证明：∵∠4＝∠B（已知） ∴AB∥　 　 ， ∴∠2＝∠3 　 　 ， ∴∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AD∥　 　 ， ∴∠ADF+∠GFD＝　 　 ， 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°， ∴GF⊥BC　 　 ． 6．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB＝∠ABC． （1）求证：∠ABE＝∠C； （2）若∠BAE的平分线AF交BE于点F，FD∥BC交AC于点D，求证：△ABF≌△ADF； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，AC＝8，则DC的长为　 　 ． 7．如图，已知AB∥ED，∠1＝∠2．请判断∠P＝∠Q的大小关系，并说明理由． 请补全下面的说明过程： 解：∵AB∥ED（①　 　 ）， ∴∠ABC＝∠BCD（②　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2（③　 　 ）， 即④　 　 ＝⑤　 　 ， ∴PB∥⑥　 　 （⑦　 　 ）， ∴∠P＝∠Q（⑧　 　 ）． 8．填空并完成推理过程． 如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明：AC∥DF． 解：∵∠1＝∠2，（已知） ∠1＝∠3（ 　 　 ） ∴∠2＝∠3，（等量代换） ∴　 　 ∥　 　 ，（ 　 　 ） ∴∠C＝∠ABD，（ 　 　 ） 又∵∠C＝∠D，（已知） ∴∠D＝∠ABD，（ 　 　 ） ∴AC∥DF．（ 　 　 ） 9．如图，已知∠B＝∠C＝∠AED＝90°． （1）请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是　 　 （写 出一个合理的即可）． （2）根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD． 10．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，CE＝BF．求证：AB∥DE． 证明：∵　 　 （已知）， ∴∠C＝∠　 　 （两直线平行内错角相等）． ∵CE＝BF（已知）， ∴CE+　 　 ＝BF+　 　 （等式的性质）． 即BC＝EF． 在△ABC与△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（ 　 　 ）． ∴　 　 （全等三角形对应角相等）． ∴AB∥DE（ 　 　 ）． 11．如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AD是∠BAC的角平分线，请说明∠1＝∠E．请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据） 解：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠4＝　 　 ＝90°（　 　 ）． ∴EG∥AD（　 　 ）． ∴∠3＝∠E（　 　 ）． 　 　 ＝　 　 （两直线平行，内错角相等）． ∵　 　 ， ∴∠2＝∠3（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠E（等量代换）． 12．如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． （请补全证明）证明：∵∠1＝∠3（　 　 ）， ∠1＝∠2（已知）， ∴　 　 ＝　 　 （等量代换）， ∴AD∥BC（　 　 ）， ∴∠A+　 　 ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）， ∴　 　 ∥　 　 （同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（　 　 ）． 13．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝40°，∠CBE＝60°，求∠CFD的度数． 14．如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 15．【问题背景】图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2． 【理解原理】 利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？ （在下列横线内填写推理过程或依据） 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3（　 　 ）． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4． ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4． 即　 　 ． ∴EF∥GH（　 　 ）． 16．如图，AB∥CD，EF平分∠AED，∠A＝30°，∠D＝70°． （1）请你利用直尺和圆规在∠AED内作∠DEG，使∠DEG等于∠D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）的作图，求∠FEG的大小． 小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整： 解：∵∠DEG＝∠D＝70°（已知）， ∴EG∥　 　 （　 　 ）， ∵AB∥CD（已知）， ∴EG∥AB（　 　 ）， ∴∠AEG＝∠A＝30°（　 　 ）， ∴∠AED＝∠AEG+∠DEG＝30°+70°＝100°， ∵EF平分∠AED， ∴（　 　 ）， ∴∠FEG＝∠DEG﹣∠DEF＝　 　 ． 17．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：∠B+∠CDE＝180°，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 证明：∵∠1＝∠BFD（　 　 ）， 又∵∠1＝∠2 ∴∠BFD＝∠2（　 　 ）． ∴BC∥　 　 （　 　 ）． ∴∠C+∠CDE＝180°（　 　 ）． 又∵∠B+∠CDE＝180°， ∴∠B＝∠C． ∴AB∥CD（　 　 ）． 18．如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 　 　 ）， ∴AD∥EG（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）， ∠E＝ 　 　 （两直线平行，同位角相等）， 又∵∠E＝∠1（ 　 　 ）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD平分∠BAC（ 　 　 ）． 19．完成下面的证明： 如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AB∥EF，（已知） ∴∠APE＝　 　 ．（　 　 ） ∵EP⊥EQ，（已知） ∴∠PEQ＝　 　 ．（　 　 ） 即∠2+∠3＝90°； ∴∠APE+∠3＝90°．（等量代换） ∵∠1+∠APE＝90°，（已知） ∴∠1＝　 　 ．（　 　 ） ∴　 　 ∥CD． 又∵AB∥EF，（已知） ∴AB∥CD．（　 　 ） 20．如图，在△ABC和△BDE中，点D在BC的延长线上，∠A＝∠DBE，AC＝BE，∠E+∠ACD＝180°，求证：BC＝DE． 21．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：∠EOF+∠OFC＝180°．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝ 　 　 （ 　 　 ）， ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴ 　 　 （角平分线的定义）， 同理， 　 　 ， ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥　 　 （ 　 　 ）． ∴∠EOF+∠OFC＝180°（ 　 　 ）． 22．如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E． （1）AD与BC平行吗？请说明理由； （2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由． 解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　 　 ）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠　 　 ． ∴AD∥BC（ 　 　 ）． （2）AB与EF的位置关系是：（ 　 　 ）． 请完成说理过程： 北师大版七年级下数学证明题专项练（深圳专用） 参考答案与试题解析 1．填空，并在括号里注明理由： 如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线交OC于点F，试说明：∠1＝∠2． 说明：∵EF∥OD， ∴∠3＝∠　5　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵EF∥OD， ∴∠4＝∠　6　 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠3＝∠4（ 　角平分线的定义　 ）， ∴∠5＝∠6， ∵∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°， ∴∠1＝∠2（ 　等角的补角相等　 ）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【解答】解：∵EF∥OD， ∴∠3＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥OD， ∴∠4＝∠6（ 两直线平行，同位角相等）， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠3＝∠4（ 角平分线的定义）， ∴∠5＝∠6， ∵∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°， ∴∠1＝∠2（ 等角的补角相等）． 故答案为：5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等角的补角相等． 【点评】此题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相是解题的关键． 2．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，BE，CD交于点O，且BD＝CE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：OB＝OC． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用“边角边”即可证明△ABE≌△ACD； （2）由全等三角形的性质推得∠B＝∠C，即可通过“角边角”证明△BOD≌△COE，再由全等三角形的性质即可证明OB＝OC． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CE， ∴AB﹣BD＝AC﹣CE， 即AD＝AE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）∵AB＝AC，BD＝CE， ∴AB﹣BD＝AC﹣CE， 即AD＝AE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠C， ∵在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴OB＝OC． 【点评】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 3．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：DC∥EF； （2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）欲证明DC∥EF，只要证明∠2＝∠DCB即可． （2）由DG∥BC，可知∠ADG＝∠B，求出∠B即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DG∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠DCB， ∴DC∥EF． （2）解：∵EF⊥AB， ∴∠FEB＝90°， ∵∠1＝∠2＝55°， ∴∠B＝90°﹣55°＝35°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B＝35°． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数； （2）如果只知道∠C﹣∠B＝20°，那么能得到∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）10°； （2）能，过程见解析． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义可求出∠CAE的度数．利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可求出∠DAE的度数； （2）设∠B＝x，则∠C＝20°+x，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含x的代数式表示出∠CAE的度数，在Rt△ADC，用含x的代数式表示出∠CAD的度数，再结合∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可求出∠DAE的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°． ∵AE平分∠BAC， ∴． 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝50°， ∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°； （2）能，设∠B＝x，则∠C＝20°+x， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣x﹣20°﹣x＝160°﹣2x． ∵AE平分∠BAC， ∴． 在Rt△ADC，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣（20°+x）＝70°﹣x， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（80°﹣x）﹣（70°﹣x）＝10°， 故如果只知道∠C﹣∠B＝20°，也能得到∠DAE＝10°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义． 5．完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据． 已知：如图∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC． 证明：∵∠4＝∠B（已知） ∴AB∥DE ， ∴∠2＝∠3 　（同位角相等，两直线平行 ）　 ， ∴∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AD∥GF ， ∴∠ADF+∠GFD＝　180°　 ， 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°， ∴GF⊥BC　（垂直的定义 ）　 ． 【答案】DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；同位角相等，两直线平行；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义． 【分析】根据同位角相等，两直线平行得到AB∥DE，然后由两直线平行，内错角相等得到∠2＝∠3，继而得到∠1＝∠3，可证明AD∥GF，最后由两直线平行，同旁内角互补即可得证． 【解答】证明：∵∠4＝∠B（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°， ∴GF⊥BC（垂直的定义）． 故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；同位角相等，两直线平行；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义．掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 6．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB＝∠ABC． （1）求证：∠ABE＝∠C； （2）若∠BAE的平分线AF交BE于点F，FD∥BC交AC于点D，求证：△ABF≌△ADF； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，AC＝8，则DC的长为　2　 ． 【答案】（1）∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°， ∠ABE+∠BAC+∠AEB＝180°， 又∵∠AEB＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠C． （2）∵FD∥BC， ∴∠ADF＝∠C． ∵∠ABE＝∠C， ∴∠ADF＝∠ABF． ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠DAF． 在△ABF和△ADF中， ， ∴△ABF≌△ADF（AAS）． （3）2． 【分析】（1）由外角的性质可得∠C+∠EBC＝∠ABE+∠EBC，可得结论； （2）由“AAS”可证△DAF≌△BAF； （3）由全等三角形的性质可得AD＝AB＝6，即可求CD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°， ∠ABE+∠BAC+∠AEB＝180°， 又∵∠AEB＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠C． （2）证明：∵FD∥BC， ∴∠ADF＝∠C． ∵∠ABE＝∠C， ∴∠ADF＝∠ABF． ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠DAF． 在△ABF和△ADF中， ， ∴△ABF≌△ADF（AAS）． （3）解：∵△ABF≌△ADF ∴AD＝AB＝6， ∵AC＝8， ∴DC＝AC﹣AD＝8﹣6＝2． 故答案为：2． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是求出△ABF≌△ADF． 7．如图，已知AB∥ED，∠1＝∠2．请判断∠P＝∠Q的大小关系，并说明理由． 请补全下面的说明过程： 解：∵AB∥ED（①　已知　 ）， ∴∠ABC＝∠BCD（②　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2（③　等式的性质　 ）， 即④　∠PBC ＝⑤　∠BCQ ， ∴PB∥⑥CQ （⑦　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠P＝∠Q（⑧　两直线平行，内错角相等　 ）． 【答案】①已知；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④∠PBC；⑤∠BCQ；⑥CQ；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的性质与判定条件进行证明即可． 【解答】证明：∵AB∥ED（已知）． ∴∠ABC＝∠BCD （ 两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2（等式的性质）， 即∠PBC＝∠BCQ， ∴PB∥CQ（内错角相等，两直线平行）， ∴∠P＝∠Q（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：①已知；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④∠PBC；⑤∠BCQ；⑥CQ；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 8．填空并完成推理过程． 如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明：AC∥DF． 解：∵∠1＝∠2，（已知） ∠1＝∠3（ 　对顶角相等　 ） ∴∠2＝∠3，（等量代换） ∴DB ∥EC ，（ 　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠C＝∠ABD，（ 　两直线平行，同位角相等　 ） 又∵∠C＝∠D，（已知） ∴∠D＝∠ABD，（ 　等量代换　 ） ∴AC∥DF．（ 　内错角相等，两直线平行　 ） 【答案】见试题解答内容 【分析】先证明BD∥CE，然后根据平行线的性质，以及已知条件证明∠D＝∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得． 【解答】解：∵∠1＝∠2，（已知） ∠1＝∠3（对顶角相等） ∴∠2＝∠3，（等量代换） ∴DB∥EC，（ 同位角相等，两直线平行） ∴∠C＝∠ABD，（ 两直线平行，同位角相等） 又∵∠C＝∠D，（已知） ∴∠D＝∠ABD，（ 等量代换） ∴AC∥DF．（ 内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等，DB，EC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行． 【点评】解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 9．如图，已知∠B＝∠C＝∠AED＝90°． （1）请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是AB＝EC（答案不唯一）　 （写 出一个合理的即可）． （2）根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD． 【答案】（1）AB＝EC（或BE＝CD或AE＝ED）． 故答案为：AB＝EC（答案不唯一）． （2）∵∠B＝∠C＝∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中，， ∴△ABE≌△ECD（ASA）． 【分析】（1）答案不唯一，可以添加条件：AB＝EC； （2）根据ASA 即可证明△ABD≌△CEB． 【解答】（1）解：AB＝EC（或BE＝CD或AE＝ED）． 故答案为：AB＝EC（答案不唯一）． （2）证明：∵∠B＝∠C＝∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中，， ∴△ABE≌△ECD（ASA）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 10．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，CE＝BF．求证：AB∥DE． 证明：∵AC∥DF （已知）， ∴∠C＝∠F （两直线平行内错角相等）． ∵CE＝BF（已知）， ∴CE+BE ＝BF+BE （等式的性质）． 即BC＝EF． 在△ABC与△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（ SAS ）． ∴　∠ABC＝∠DEF （全等三角形对应角相等）． ∴AB∥DE（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】AC∥DF，F，BE，BE，AC＝DF，SAS，∠ABC＝∠DEF，（内错角相等，两直线平行）． 【分析】根据题目条件证明△ACB≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可以证明题目结论． 【解答】证明：∵AC∥DF，（已知）， ∴∠C＝∠F（两直线平行内错角相等）． ∵CE＝BF（已知）， ∴CE+BE＝BF+BE（等式的性质）． 即BC＝EF． 在△ABC与△DEF中， ∵， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． ∴∠ABC＝∠DEF（全等三角形对应角相等）． ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：AC∥DF，F，BE，BE，AC＝DF，SAS，∠ABC＝∠DEF，（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 11．如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AD是∠BAC的角平分线，请说明∠1＝∠E．请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据） 解：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠4＝　∠ADC ＝90°（　垂直的定义　 ）． ∴EG∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠3＝∠E（　两直线平行，同位角相等　 ）． 　∠1　 ＝　∠2　 （两直线平行，内错角相等）． ∵AD平分∠BAC ， ∴∠2＝∠3（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠E（等量代换）． 【答案】∠ADC；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠1；∠2；AD平分∠BAC． 【分析】根据平行线的判定与性质将所给证明过程补充完整即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠4＝∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）． ∵AD平分∠BAC， ∴∠2＝∠3（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠E（等量代换）． 故答案为：∠ADC；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠1；∠2；AD平分∠BAC． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． （请补全证明）证明：∵∠1＝∠3（　对顶角相等　 ）， ∠1＝∠2（已知）， ∴　∠2　 ＝　∠3　 （等量代换）， ∴AD∥BC（　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠A+　∠4　 ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）， ∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（　两直线平行，内错角相等　 ）． 【答案】对顶角相等；∠2；∠3；同位角相等，两直线平行；∠4；AB；CD；两直线平行，内错角相等． 【分析】利用平行线的判定和性质证明即可求证． 【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， ∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠A+∠4＝180°， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；∠2；∠3；同位角相等，两直线平行；∠4；AB；CD；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 13．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠BCE＝40°，∠CBE＝60°，求∠CFD的度数． 【答案】（1）见解析； （2）100°． 【分析】（1）由题意易证AE＝CF，根据平行线的性质可得出∠BAE＝∠DCF，从而可由SAS证明△ABE≌△CDF； （2）根据三角形外角的性质得出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，再根据全等三角形的性质即得出∠CFD＝∠AEB＝100°． 【解答】（1）证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF． 又∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：∵∠BCE＝40°，∠CBE＝60°， ∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝40°+60°＝100°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠CFD＝∠AEB＝100°． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键． 14．如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB+∠AMC）＝90°，从而得到结论； （2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ． 【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ＝∠AMB+∠AMC ＝（∠AMB+∠AMC） ＝×180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 15．【问题背景】图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2． 【理解原理】 利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？ （在下列横线内填写推理过程或依据） 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3（　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4． ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4． 即　∠EFG＝∠FGH ． ∴EF∥GH（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；∠EFG＝∠FGH；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可． 【解答】解：潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是平行的，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°∠3﹣∠4， 即∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；∠EFG＝∠FGH；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 16．如图，AB∥CD，EF平分∠AED，∠A＝30°，∠D＝70°． （1）请你利用直尺和圆规在∠AED内作∠DEG，使∠DEG等于∠D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）的作图，求∠FEG的大小． 小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整： 解：∵∠DEG＝∠D＝70°（已知）， ∴EG∥CD （　内错角相等，两直线平行　 ）， ∵AB∥CD（已知）， ∴EG∥AB（　平行于同一直线的两条直线平行　 ）， ∴∠AEG＝∠A＝30°（　两直线平行，内错角相等　 ）， ∴∠AED＝∠AEG+∠DEG＝30°+70°＝100°， ∵EF平分∠AED， ∴（　角平分线的定义　 ）， ∴∠FEG＝∠DEG﹣∠DEF＝　20°　 ． 【答案】（1）如图，∠DEG即为所求； （2）CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；20°． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的判定和性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，∠DEG即为所求； （2）∵∠DEG＝∠D＝70°（已知）， ∴EG∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∵AB∥CD（已知）， ∴EG∥AB（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴∠AEG＝∠A＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AED＝∠AEG+∠DEG＝30°+70°＝100°， ∵EF平分∠AED， ∴（角平分线的定义）， ∴∠FEG＝∠DEG﹣∠DEF＝20°． 故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；20°． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：∠B+∠CDE＝180°，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 证明：∵∠1＝∠BFD（　对顶角相等　 ）， 又∵∠1＝∠2 ∴∠BFD＝∠2（　等量代换　 ）． ∴BC∥DE （　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠C+∠CDE＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又∵∠B+∠CDE＝180°， ∴∠B＝∠C． ∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行．　 ）． 【答案】对顶角相等；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠BFH（对顶角相等）， 又∵∠1＝∠2， ∴∠BFD＝∠2（等量代换）， ∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C+∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠B+∠CDE＝180°． ∴∠B＝∠C， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 18．如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 　垂直的定义　 ）， ∴AD∥EG（ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　 ）， ∠E＝ 　∠3　 （两直线平行，同位角相等）， 又∵∠E＝∠1（ 　已知　 ）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD平分∠BAC（ 　角平分线的定义　 ）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；已知；角平分线的定义． 【分析】由垂直定义得到∠ADC＝∠EGC＝90°，再由平行线的判定与性质得到角度之间的关系，等量代换即可得到∠2＝∠3，最后利用角平分线定义即可得证． 【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）， ∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠E＝∠1（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；已知；角平分线的定义． 【点评】本题考查平行线判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 19．完成下面的证明： 如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AB∥EF，（已知） ∴∠APE＝　∠2　 ．（　两直线平行，内错角相等　 ） ∵EP⊥EQ，（已知） ∴∠PEQ＝　90°　 ．（　垂直定义　 ） 即∠2+∠3＝90°； ∴∠APE+∠3＝90°．（等量代换） ∵∠1+∠APE＝90°，（已知） ∴∠1＝　∠3　 ．（　同角的余角相等　 ） ∴EF ∥CD． 又∵AB∥EF，（已知） ∴AB∥CD．（　平行于同一直线的两条直线互相平行　 ） 【答案】∠2，两直线平行，内错角相等；90°，垂直定义；∠3；同角的余角相等，EF，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 【分析】先根据平行线的性质得到∠APE＝∠2，再根据余角的性质得到∠2+∠3＝90°，再根据平行线的判定及性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠APE＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∵EP⊥EQ， ∴∠PEQ＝90°（垂直定义）， 即∠2+∠3＝90°． ∴∠APE+∠3＝90°， ∵∠1+∠APE＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）． 又∵AB∥EF， ∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）， 故答案为：∠2，两直线平行，内错角相等；90°，垂直定义；∠3；同角的余角相等，EF，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 20．如图，在△ABC和△BDE中，点D在BC的延长线上，∠A＝∠DBE，AC＝BE，∠E+∠ACD＝180°，求证：BC＝DE． 【答案】∵∠ACB+∠ACD＝180°， ∠E+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝∠E， ∵∠A＝∠DBE，AC＝BE， ∴△ABC≌△BDE（ASA）， ∴BC＝DE． 【分析】由ASA判定△ABC≌△BDE，由全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵∠ACB+∠ACD＝180°， ∠E+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝∠E， ∵∠A＝∠DBE，AC＝BE， ∴△ABC≌△BDE（ASA）， ∴BC＝DE． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 21．科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：∠EOF+∠OFC＝180°．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝ 　∠DCO （ 　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴ 　∠AOC （角平分线的定义）， 同理， 　∠DCO ， ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥CF （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠EOF+∠OFC＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 【答案】∠DCO；两直线平行，内错角相等；∠AOC；∠DCO；CF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】由角平分线的性质得∠AOC＝∠DCO，进而由角平分线的定义可得∠EOC＝∠OCF，即可求证． 【解答】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝∠DCO（两直线平行，内错角相等）， ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，， ∴∠EOC＝∠OCF， ∴OE∥CF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EOF+∠OFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：∠DCO；两直线平行，内错角相等；∠AOC；∠DCO；CF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 22．如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E． （1）AD与BC平行吗？请说明理由； （2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由． 解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　平角定义　 ）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠BCF ． ∴AD∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． （2）AB与EF的位置关系是：（ 　平行　 ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；BCF；同位角相等，两直线平行； （2）平行，说理过程见解答． 【分析】（1）根据平角定义可得∠ADE+∠ADF＝180°，从而利用同角的补角相等可得∠ADF＝∠BCF，然后根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，从而可得∠ABE＝∠E，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，即可解答． 【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（平角定义）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠BCF． ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；BCF；同位角相等，两直线平行； （2）AB与EF的位置关系是：（平行）， 请完成说理过程：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE， ∵∠ABC＝2∠E， ∴∠ABE＝∠E， ∴AB∥EF， 故答案为：平行． 【点评】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 10:39:58；用户：18938334525；邮箱：18938334525；学号：59579041 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $