用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义-2025-2026学年下学期北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以SSS、SAS、ASA/AAS为核心，构建“知识点-原理-解题步骤”三阶方法体系，逻辑递进覆盖全等三角形判定全考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS|3例+3变式|找已知边→推第三边→规范书写|从三边关系到公共边等隐含条件应用| |SAS|3例+3变式|定两边→证夹角→避SSA陷阱|两边及夹角判定与图形位置关系结合| |ASA/AAS|3例+3变式|寻两角→定夹边/对边→选判定|两角关系推导及边的位置区分|

用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 考点目录 用SSS证明全等三角形 用SAS证明全等三角形 用ASA或AAS证明全等三角形 考点一 用SSS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1. 判定定理：三边对应相等，两三角形全等 1. 适用：已知三边、公共边、线段和差推边相等 1. 隐含条件：公共边、等量加等量、等量减等量得等边 二、解题原理 三条边全部对应相等，无需角度，直接判定形状大小完全相同。 三、解题思路 1. 找出两组已知相等边 1. 找公共边或推导出第三条边相等 1. 按顺序罗列三边相等 1. 书写 SSS 格式证全等 【例题分析】 例1．（24-25七年级下·广东汕尾·月考）如图，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 例2．（24-25七年级下·安徽马鞍山·阶段检测）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 例3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知． (1)用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定，关键是熟练应用知识点解题； （1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （2）由可得，，，结合即可论证得出结论. 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【例题分析】 变式1．（24-25七年级下·福建厦门·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，已知D是上一点，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 先根据角的和差得到，再根据证明即可． 【详解】证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 变式3．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 考点二 用SAS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1. 判定定理：两边及其夹角对应相等全等 1. 关键：必须是夹角，不是对角 1. 等角来源：对顶角、内错角、同位角、角平分线、垂直 二、解题原理 两条边确定长度，夹角确定开口大小，三角形形状位置唯一确定。 三、解题思路 1. 先找两组对应边相等 1. 证明两边中间夹角相等 1. 排除边边角错误形式 1. 规范写 SAS 完成证明 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·新疆喀什·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“边角边”的判定定理是解题的关键． 依题意可推出，然后根据“边角边”即可判定全等． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 例2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，点在边上，延长到点，使得，过点作，使，且、在的两侧，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由得到，根据推出，结合，即可得证． 【详解】证明：， ， ． 又， ， 在和中， ． 例3．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【例题分析】 变式1．（2025·山东泰安·一模）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 变式2．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用三角形全等的判定方法，找到对应的两边及其夹角相等是解题的关键，根据和，可得，再用的判定方法证明全等即可． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． 变式3．（24-25七年级下·四川广元·期中）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用等式的性质及已知条件可推出，然后利用即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即：， 在和中， ， ． 考点三 用ASA或AAS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1. ASA：两角及其夹边相等 1. AAS：两角及其中一角对边相等 1. 通用：三角形两角相等则第三角必相等，可互相转化 1. 常用等角：平行线、直角、外角、平分角 二、解题原理 两个角确定三角形形状，一条边确定大小，三角形唯一确定。 三、解题思路 1. 优先寻找两组对应角相等 1. 再找一条对应边相等（夹边/对边均可） 1. 区分清是夹边还是对边，选用 ASA 或 AAS 1. 整理条件完成证明 【例题分析】 例1．（2026·云南昆明·一模）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由“”即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． 例2．（25-26七年级下·广东佛山·月考）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 例3．（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，在中，，过点C作，垂足为E，延长至点F，使，过点F作，垂足为D．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．首先证明，，然后利用“”证明与全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【例题分析】 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 变式2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 变式3．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 考点目录 用SSS证明全等三角形 用SAS证明全等三角形 用ASA或AAS证明全等三角形 考点一 用SSS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1.判定定理：三边对应相等，两三角形全等 2.适用：已知三边、公共边、线段和差推边相等 3.隐含条件：公共边、等量加等量、等量减等量得等边 二、解题原理 三条边全部对应相等，无需角度，直接判定形状大小完全相同。 三、解题思路 1.找出两组已知相等边 2.找公共边或推导出第三条边相等 3.按顺序罗列三边相等 4.书写SSS格式证全等 【例题分析】 例1.(24-25七年级下·广东汕尾·月考)如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：△ABC≌△DEF 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 例2.(24-25七年级下·安微马鞍山阶段检测)如图，AD=AE,BE=CD,AB=AC.求证：△ABD≌△ACE. D 例3.(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，已知ABC, B A (I)用尺规利用SSS作△BAD,使得△BAD≌△ABC,且△BAD和ABC在直线AB的同一侧（不写作图过程，保留 作图痕迹)； (2)连接CD,求证：△ADC≌△BCD. 【例题分析】 变式1.(24-25七年级下·福建厦门月考)如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧， AE=BF,CE=DF,AD=BC.求证：ACE≌BDF. 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 变式2.(24-25七年级下·吉林·期中)如图，已知D是AC上一点，AB=DA,AE=BC,AB+DC=ED;求证： △ABC≌△DAE. 变式3.(24-25七年级下·江苏南通月考)如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧， AE=BF,CE=DF,AD=BC. E D B (I)求证：ACE≌BDF. (2)若∠CDF=50°，求∠ACE的度数， 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 考点二 用SAS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1判定定理：两边及其夹角对应相等全等 2.关键：必须是夹角，不是对角 3.等角来源：对顶角、内错角、同位角、角平分线、垂直 二、解题原理 两条边确定长度，夹角确定开口大小，三角形形状位置唯一确定。 三、解题思路 1.先找两组对应边相等 2.证明两边中间夹角相等 3.排除边边角错误形式 4. 规范写SAS完成证明 【例题分析】 例1.(25-26八年级上·新疆喀什期末)如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧， 且AE=BF,∠A=∠B,AD=BC. 求证：ACE≌BDF; 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 例2.(25-26八年级上：吉林长春·期末)如图，在ABC中，点D在边BC上，延长BC到点E,使得CE=BD,过 点E作EF∥AB,使EF=AB,且F、A在BE的两侧，连接DF.求证：△ABC≌△FED. A E D F 例3.(2526八年级上甘肃期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点（点D不与A ,B重合)，连接CD,过点C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE交AC于点F,连接AE, D (I)求证：△ACE≌△BCD; (2)求证：AE⊥AB. 【例题分析】 变式1.(2025山东泰安一模)已知：如图，在ABC、ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 点C、D、E三点在同一直线上，连接BD. E A B (I)求证：△BAD≌aCAE: (②)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明. 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 变式2.(24-25七年级下·福建莆田期中)如图，在ABC和ADE中，延长BC交DE于F.BC=DE,AC=AE ,LACF+∠AED=180°.求证：△ABC≌△ADE. 变式3.(24-25七年级下·四川广元期中)己知：如图，在ABC、ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD.求证△BAD≌△CAE, E A D B 6 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 考点三 用ASA或AAS证明全等三角形 【知识点解析】 一、知识点 1.ASA:两角及其夹边相等 2.AAS:两角及其中一角对边相等 3.通用：三角形两角相等则第三角必相等，可互相转化 4.常用等角：平行线、直角、外角、平分角 二、解题原理 两个角确定三角形形状，一条边确定大小，三角形唯一确定。 三、解题思路 1.优先寻找两组对应角相等 2.再找一条对应边相等（夹边/对边均可） 3.区分清是夹边还是对边，选用ASA或AAS 4.整理条件完成证明 【例题分析】 例1.(2026云南昆明一模)如图，AD与BC相交于点0，A0=B0,∠A=∠B.求证：△A0C≌△B0D. 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 例2.(25-26七年级下·广东佛山月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为对角线BD上一点， ∠A+∠CED=I80°，且AD=BE. B (I)求证：△ABD≌△ECB. (2)若BC=15,DE=9,求AD的长. 例3.(25-26八年级上：广东中山月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CE⊥BA,垂足为E,延长 CE至点F,使CF=BA,过点F作FD⊥AC,垂足为D.求证：△ABC≌△FCD. 【例题分析】 变式1.(2526八年级上·浙江绍兴期末)如图，在ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F,F是AC的 中点，AB∥CD. D E B (I)求证：△AEF≌△CDF; (2)若AB=10,CD=7,求BE的长. 用SSS、SAS、ASA或AAS证明全等三角形讲义 变式2.(2526八年级上·江苏南通·期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,连 接AE. B (I)求证：△ACD≌△CBE; (2)若AD=4,DE=3,求四边形ACBE的面积. 变式3.(25-26八年级上·河南信阳·期末)如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点A在线段DE上， ∠BDA=∠E=90°. A D (I)求证ABDA≌△AEC; (2)若AD=6,求△DAC的面积. 9