精品解析：福建南安市华侨中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（    ） A. 5 B. 9 C. D. 7. 已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A. 已知，，则 B. 若非零向量满足，则 C. 若G是的重心，则点G满足条件 D. 若是等边三角形，则 10. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形ABCD面积最小值为 D. 四边形ABCD面积最大值为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数z在复平面内对应的点在第 _________ 象限. 13. 向量在上的投影向量是___________（用坐标表示）． 14. 平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 16. 已知，，． （1）求； （2）求． 17. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角； （2）若是边的中点，，求. 18. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 2. 在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 3. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 4. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，则， 所以. 5. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 6. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（    ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 7. 已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建系后，根据圆上一动点B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图， 则，， 设， ， 则， 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A. 已知，，则 B. 若非零向量满足，则 C. 若G是的重心，则点G满足条件 D. 若是等边三角形，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，结合平面向量夹角的运算以及平面向量的模的运算逐一判断即可求解. 【详解】对于选项A，已知，，则，故选项A错误； 对于选项B，已知非零向量满足， 则，所以，则，故选项B正确； 对于选项C，已知G是的重心，设为的中点， 则，则，故选项C正确； 对于选项D，已知是等边三角形，则，故选项D错误. 故选项：BC. 10. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则A，B，C，D四点共圆 C. 四边形ABCD面积最小值为 D. 四边形ABCD面积最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D 【详解】由正弦定理， 得， 即 ，又， ， 是等腰的底角，， 是等边三角形，A正确； 对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知， 但由于时，，∴B错误； 对于C、D，设，则， ，， 所以四边形ABCD的面积， ， ，∴四边形ABCD的面积， ∴C不正确，D正确. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由及，再结合正弦定理可化简式子得，即求出角B的大小；对于B，结合及正弦定理可解得，再根据三角形正弦定理面积公式即可求解；对于C，根据余弦定理及基本不等式即可求解b的范围；对于D，结合及基本不等式即可判断． 【详解】对于A，已知，所以， 也即， 所以可得，又，故，故A正确； 对于B，， 又由正弦定理，，可得， 所以， 又，所以， 所以，也即，又， 解得，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 又，当且仅当时取等号， 故，也即，故C正确； 对于D，D是AC中点，所以， 因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数z在复平面内对应的点在第 _________ 象限. 【答案】一 【解析】 【分析】对复数化简后求得答案 【详解】解：， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限， 故答案为：一 13. 向量在上的投影向量是___________（用坐标表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】所求投影向量为. 故答案为： 14. 平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由“相交弦定理”求出，，再结合，利用向量数量积的运算律求解． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 把代入，得， 整理得，所以，解得. 16. 已知，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数乘运算的运算律求解即可； （2）结合根据向量模的运算公式求解即可. 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴，即 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ 17. 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角； （2）若是边的中点，，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化与三角恒等变换化简得到，从而得解； （2）在中，根据余弦定理求，然后在中利用余弦定理求边，从而得解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ， ， ，又，， . 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， ，即，解得或， 当时，， 所以，； 当时，， ，； 综上，或. 18. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由三点共线及三点共线，结合平面向量共线定理列出方程组求解即可； （3）设，，再用表示出求得和，得出，结合即可得出． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 连接， 则， 因为，， 所以，， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得． 【小问3详解】 设，， 则， ， 所以，解得， 所以， ， 又因为， 所以，即， 所以． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）证明解析. （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【小问1详解】 因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为向量，，所以，， 所以 化简得. 【小问3详解】 ①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：在证明函数零点时，我们常用零点存在定理： 如果一个函数在闭区间上连续，并且满足，那么在区间内至少存在一个点，使得. 如果一个函数在闭区间上连续且单调，并且满足，那么在区间内有且仅有一个点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $