精品解析：黑龙江绥化市实验中学校2025-2026学年下学期期中考试试卷七年级 数学（五四学制）

黑龙江绥化市实验中学校2025-2026学年下学期期中考试试卷七年级数学（五四学制） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各直辖市的地铁图标中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 能把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的（　　 ） A. 中线 B. 高 C. 角平分线 D. 以上三种情况都正确 3. 如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 25 B. 25或20 C. 20 D. 15 5. 有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 6. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 11 D. 15 8. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 只有丙对 D. 三人说的都对 12. 在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 在中，已知是_______三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 14. 在中，为边上的高，，，则___________度． 15. 已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题：______，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 16. 如图，已知∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=6，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=________． 17. 如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=9，AC=4，则BE的值为____. 18. 将一副三角板如图摆放，则______度． 19. 若点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为_____． 20. 如图，已知是的中线，，，则线段的取值范围是______． 21. 如图，中，E是上的一点，，点D是的中点，若的面积，则_____． 22. 如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为________． 三、解答题（23题-27题每题8分，27题10分，28题12分，共计54分) 23. 已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，第三边的长为奇数，判断的形状． 24. 如图，依次在同一条直线上，，，，与相交于点．求证：． 25. 如图，在中，线段是边上的高． （1）若是边上的中线，，，求的长； （2）若是的平分线，，，求的大小． 26. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 27. （1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 28. 在中，，直线经过点，且于．于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江绥化市实验中学校2025-2026学年下学期期中考试试卷七年级数学（五四学制） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各直辖市的地铁图标中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 能把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的（　　 ） A. 中线 B. 高 C. 角平分线 D. 以上三种情况都正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据等底同高的三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等， 所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记等底同高的三角形的面积相等是解题的关键． 3. 如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形及为中线，可得：,,再根据含直角三角形的性质可得出，，即可得出答案． 【详解】解：在等边三角形ABC中，为中线， ∴,, ∴ ∵, ∴, ∴ ∴, 在中：, ∴， 在中, ∴， ∴． 故答案为：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 4. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 25 B. 25或20 C. 20 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：若腰长为5，底边长为10；若腰长为10，底边长为5，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 5. 有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 6. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 7. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 3 B. 7 C. 11 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可求得的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：，， ∴， 故选：A． 8. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 9. 如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理应用，根据，，求出，，根据角平分线定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，最后求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质．连接，根据中垂线的性质“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， 又垂直平分， ∴； 故选：C． 11. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：； 乙：； 丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 只有丙对 D. 三人说的都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，即可判断甲；由即可判断乙；证明即可判断丙，即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故丙正确； 故选：D． 12. 在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 在中，已知是_______三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【解析】 【分析】此题考查三角形的分类：按照边分类可分为三边均不等三角形和等腰三角形，按照角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，根据三角形内角和求出第三个角即可判断． 【详解】解：在中，已知， ∴， ∴是锐角三角形， 故答案为：锐角． 14. 在中，为边上的高，，，则___________度． 【答案】34或74 【解析】 【分析】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： 高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； 高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 15. 已知命题：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等，写出它的逆命题：______，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合 ②. 假 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，以及真假命题的判断．先交换原命题的条件和结论即可得到该命题的逆命题，再判断命题真假即可． 【详解】解：如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等的逆命题是： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合， 该逆命题是假命题. 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合；假 16. 如图，已知∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=6，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=________． 【答案】6 【解析】 【分析】连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=6． 【详解】如图，连OQ， ∵点P关于直线OB的对称点是Q， ∴OB垂直平分PQ， ∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ， ∴∠POQ=60°， ∴△POQ为等边三角形， ∴PQ=PO=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图象全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点的连线段被对称轴垂直平分．也考查了等边三角形的判定与性质． 17. 如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=9，AC=4，则BE的值为____. 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB=AD=9，AC=AE=4，进而得出BE的长． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB=AD=9，AC=AE=4， 则BE的值为：9-4=5． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键． 18. 将一副三角板如图摆放，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，进而求出，再求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为： 19. 若点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为_____． 【答案】（4，2）． 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答. 【详解】点A（﹣4，2）与点B关于y轴对称, 点B的坐标为（﹣4，﹣2） 故答案为: （﹣4，﹣2） 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律. 20. 如图，已知是的中线，，，则线段的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长到E，使，连接，利用中线的性质及全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接，如图： 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 根据三角形的三边关系定理：， ． 故线段的长的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 21. 如图，中，E是上的一点，，点D是的中点，若的面积，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：， ，点是的中点， ，， ， ， ， ． 故答案为：2． 22. 如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质得到，，即可得到的周长． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵垂直平分．， ∴， ∴的周长为． 故答案为：7 【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质和三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等是解题的关键． 三、解答题（23题-27题每题8分，27题10分，28题12分，共计54分) 23. 已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】（1） （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24. 如图，依次在同一条直线上，，，，与相交于点．求证：． 【答案】见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由，得，再利用证明，得，再利用等角对等边可得结论． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ，， ， ， ． 25. 如图，在中，线段是边上的高． （1）若是边上的中线，，，求的长； （2）若是的平分线，，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形中线的定义，三角形的角平分线的定义； （1）根据三角形的面积公式得出，进而根据三角形的中线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解： 是边上的高，，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． 【小问2详解】 ，， ． 又为角平分线， ． 又， ，． 26. 作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线，角平分线的知识，解题的关键是根据题意，仓库到大学和大学的距离相等，应在线段的垂直平分线上，点到公路，的距离的相等，应该在公路，的角平分线上，仓库点即为两条线段的交点，即可． 【详解】如图所示：点即为所求 ∵仓库到大学和大学的距离相等， ∴仓库应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离的相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴连接，分别以点，为圆心，大于为半径画圆弧，两圆弧相交于，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画圆，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画圆，两圆相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． 27. （1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠CBD=90°． ∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD． 故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD， 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°； 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME， ∴DE=2CM， ∴AD=DE+AE=2CM+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 28. 在中，，直线经过点，且于．于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $