精品解析：黑龙江哈尔滨市实验学校2025—2026学年下学期八年级数学学科 冰花妍项目验收活动

2025—2026学年度（下）八年级数学学科冰花妍项目验收活动 第一部分（选择题）满分30分 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各项进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的减法与乘法法则、分母有理化逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的减法与乘法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 4. 如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵在中，． ，， ∴， ， 点表示的数是． 5. 已知a＝，b＝，则a与b的关系是(　　) A. a＝b B. ab＝1 C. a＝﹣b D. ab＝﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】将b进行分母有理化，然后进行比较即可． 【详解】解：b＝＝＝，a＝， 所以a=b． 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 7. 如图所示，某渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以每小时海里的速度航行分钟到处，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船的距离是（　　） A. 6海里 B. 12海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】先根据渔船的速度和航行时间求出的长度，再结合方位角确定中各角的度数，过点作于点，在中利用含角的直角三角形性质求出，再在中判断其为等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度． 【详解】解：由已知得，海里，，． 过点作于点． ∵在直角中， ∴海里． 在直角中，，则直角是等腰直角三角形．即海里， ∴（海里）． 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 9. 如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 10. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质以及四个大三角形全等，证明，故①正确；根据三角形全等得到三角形的面积相等，根据对应边相等，得到，再利用三角形和四边形的面积差得到结论，故②错误；根据勾股定理得到，根据，继而根据完全平方公式得到，继而得到，，故③正确；根据，，两式相加，得到，故④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 第二部分（空题）满分30分 11. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 13. 若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： ， 解得：， 则外角为， 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 14. 在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ． 故答案为：． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果． 【详解】解：． 16. 已知，则的平方根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 根据被开方数大于等于0列式，得出x的值，再根据题目中y与x的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】 ， ， ， 把代入中 的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解，，，是关键，根据题意，，则，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，如图所示， ∴，，，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9 ． 18. 已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 【答案】10或 【解析】 【分析】题中未明确已知两边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长． 【详解】解：分两种情况计算： 当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得： 第三边长； 当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得： 第三边长． 综上，第三边长为10或． 19. 如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 20. 如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 第三部分（解题）满分60分 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中画一个，使得． （2）在图②中画一个，使得，且． （3）在图③中画一个，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，，由勾股定理逆定理可得，那么为等腰直角三角形，则； （2）由勾股定理可得，则，而，再由勾股定理逆定理可得，故； （3）可得，再由三角形内角和定理即可得到． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求； 【小问3详解】 解：如图③，即为所求． 24. 如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）26 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 25. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： （1）分母有理化：________； （2）化简“理想二次根式”：________． （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ∴． 26. 如图1，中，，，，，垂足分别为C、F，与交于点E． （1）线段与线段的数量关系是________； （2）问题探究：如图2，中，，，，，垂足为D，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，中，，，点O是中点，，，垂足为D，与交于点E，，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得，进而根据等腰三角形的性质可得，进而即可证明 （2）延长到，使得，连接，交的延长线于点，由（1）可得，进而根据三角形面积公式求解即可； （3）延长至，连接交于点，由（1）可得，设在中，，，进而勾股定理求得，代入三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 如图， 又 是等腰直角三角形 ， 【小问2详解】 如图，延长到，使得，连接，交的延长线于点， 由（1）可得 【小问3详解】 如图，延长至，连接交于点， 由（1）可得， 设 在中，， 解得 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，根据（1）的模型求解是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可计算出，则，利用勾股定理计算出，作差可得，进而得到点的坐标； （2）作于点，由面积法可计算出，因此； （3）延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设，通过导角可知，，则．由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，则，进而计算出，由勾股定理可得，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，作于点，作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（下）八年级数学学科冰花妍项目验收活动 第一部分（选择题）满分30分 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数为勾股数的是（　　） A. 0.3 B. C. 7，24，25 D. 4. 如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a＝，b＝，则a与b的关系是(　　) A. a＝b B. ab＝1 C. a＝﹣b D. ab＝﹣5 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 7. 如图所示，某渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以每小时海里的速度航行分钟到处，在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船的距离是（　　） A. 6海里 B. 12海里 C. 海里 D. 海里 8. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 9. 如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A. B. C. D. 10. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A. B. C. D. 第二部分（空题）满分30分 11. 最简二次根式与可以合并，则________． 12. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 13. 若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 14. 在平面直角坐标系中，点，点．则的长为_________． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________． 16. 已知，则的平方根为_____． 17. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________． 18. 已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________． 19. 如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则的长为_______． 20. 如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 第三部分（解题）满分60分 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中画一个，使得． （2）在图②中画一个，使得，且． （3）在图③中画一个，使得． 24. 如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 25. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： （1）分母有理化：________； （2）化简“理想二次根式”：________． （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 26. 如图1，中，，，，，垂足分别为C、F，与交于点E． （1）线段与线段的数量关系是________； （2）问题探究：如图2，中，，，，，垂足为D，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，中，，，点O是中点，，，垂足为D，与交于点E，，求三角形的面积． 27. 在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设运动时间为，若的面积为，求与之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在上有一点，连接，若，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $