精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年 九年级下学期中考数学练习卷

260515南京一中 九年级数学练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 18 6. 如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共10题，每小题2分，共20分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 8. 若，则______． 9. 计算的结果是______． 10. 分解因式：____________． 11. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 12. 已知实数、满足，（），则的值为______． 13. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 14. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 16. 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. ． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 19. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 20. 甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 21. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 22. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 23. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24. 如图，码头位于码头的北偏西方向，，之间的距离为，灯塔在连线上且，轮船甲从出发，沿正西方向航行，轮船乙从出发，沿南偏东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了两倍的距离到达处．此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离． 25. 如图，在中，，点，分别在，上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，若的内切圆圆心为，直接写出的长． 26. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 27. （1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 260515南京一中 九年级数学练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 3. 将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作与直尺平行， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴， ∴． 故选：C 4. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（ ） A. 9 B. C. 18 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点A，即可求解． 【详解】解：连接，过点作， 根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵双曲线经过量角器边缘上一点A， ∴． 6. 如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当延长方体表面展开的上面与正面部分走时，设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得，得路径的长是，同理延长方体表面展开的上面与侧面部分走时，得路径的长是，比较即可得到结论． 【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵圆与上表面三边相切， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作切线， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴路径的长是：； 如图，如图为长方体表面展开的上面与侧面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， 同理，， 则， ∴， ∴路径的长是：； ∵， ∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查长方体表面最短路径问题．熟练掌握长方体表面展开图，矩形正方形的判定和性质，切线长定理，勾股定理，含30度的直角三角形判定和性质，弧长公式，是解题的关键． 二、填空题（本大题共10题，每小题2分，共20分） 7. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 8. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知比例关系，用b和d表示a和c，再代入所求分式进行化简. 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则先进行乘法运算，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：． 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故本题答案为：． 11. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知实数、满足，（），则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得,可看作方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，， ，可看作方程的两个实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，，， ． 13. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 14. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为， 根据题意得， 解得， ∴． 故答案为：6 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出． 【详解】解：连接． ，若， ． ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 16. 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理． 连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题． 【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为． ∵四边形和四边形是边长相等的正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ 连接，，，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，解题的关键是将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的解进行检验，看是否会使原方程的分母为零． 【详解】解： 化简表达式得： 等式两边同时乘得： 化简得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 所以． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ∵x是方程的根， ∴解得：，， ∵x不能取， ∴当时，原式． 19. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，； （2）见解析； （3）变大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【小问1详解】 解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； 【小问3详解】 第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 20. 甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 21. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【小问1详解】 证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：， ， ． 22. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）先证明是菱形，可得，然后利用，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 连接交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键． 23. 甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】（1）30，40 （2）的函数解析式是 （3）经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【小问1详解】 解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 【小问2详解】 甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 【小问3详解】 设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24. 如图，码头位于码头的北偏西方向，，之间的距离为，灯塔在连线上且，轮船甲从出发，沿正西方向航行，轮船乙从出发，沿南偏东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了两倍的距离到达处．此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的总长度和计算出和的长度；再设甲航行的距离为，由“乙航行了两倍的距离”得出；接着分别过点、作直线的垂线，垂足为、，构造出和；然后根据方向角确定和的度数，在两个直角三角形中用含的式子表示出、、、的长度；再由对顶角相等和直角相等证明，得到对应边成比例的关系；之后根据各点在直线上的位置，用线段和差表示出和的长度；最后将所有含的线段代入比例式，解方程求出的值，即为甲航行的距离． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， 过点作于点，过点作于点，则， ∵码头位于码头的北偏西方向，沿正西方向， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∵沿南偏东方向， ∴ ∴， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：甲航行的距离为． 25. 如图，在中，，点，分别在，上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，若的内切圆圆心为，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）20；（3） 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理得到，从而得到，根据切线的判定定理证明；（2）过点作，垂足为，得出四边形为矩形，设半径为，得出，再通过，解方程算出的值；（3）根据三角形的面积与三角形内切圆的半径之间满足算出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】（1）证明： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 又∵点在上， ∴与相切于点． （2）过点作，垂足为， ∴． 在四边形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． 设的半径为，则， ∴，． 在和中， ∵，， ∴． ∴，即． ∴． 即的半径为20． （3） 如图2：过作于，过作于 由（2）得： ∴ ∵是的内心 ∵ 即解得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】这是一道圆的综合题目，有一定的难度．注意构造辅助线与垂径定理、相似三角形的应用；同时掌握三角形的面积与三角形内切圆的半径关系是解决第（3）问的关键． 26. 在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【小问1详解】 解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 27. （1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $