精品解析：2025年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷

2024-2025学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2、答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于，即可求解． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：A． 2. 某病毒的直径约为，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 3. 绝对值不大于的整数的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，绝对值的意义，先估算出的大小，再根据绝对值的意义求出所有符合条件的整数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值不大于的整数有，，0， ∴绝对值不大于的整数的个数是5． 故选：D． 4. 某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，方差等统计量，解题的关键是能识别统计图的信息，利用方差是反应离散程度的量来判断即可． 【详解】解：根据两种型号商品的质量折线统计图可知，两种型号商品的质量的平均数，中位数，众数都不同， 根据图形的离散程度差不多，故方差可能相等， 故选：B． 5. 如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同的截法，得出各个情况的剩余的几何体的顶点数，运用数形结合思想，进行作答即可． 【详解】解：一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是8， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是9， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是10， 故选：D 6. 函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴与y轴的交点在y轴负半轴， 当时，， 令，则， 解得：或， ∴当时，与x轴正半轴有两个交点， 只有选项D符合题意， 故选：D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，直接利用幂的乘方运算法则以及结合同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练二次根式化简是解题的关键．运用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键． 直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是， 故答案为：． 10. 已知实数，满足方程组，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．解方程组得到、的值，即可求解． 【详解】解：， 得： ， 将代入②得：， 解得：， ， 故答案为：． 11. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是先得出，再求代数式的值． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个不相等的实数根， 则， 则， 故答案为：． 12. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，即可得到结果； 【详解】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， ∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米． 依题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键． 13. 如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，，，根据圆周角定理可得：，，推出，结合，可求出，进而得到，最后根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接，，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的直径，弦， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 14. 如图，是反比例函数的图像上的一点，连接并延长，交该图像于点．过点分别作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于点，则四边形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的对称性，反比例函数解析式求面积，延长与交于点，设，则，，，，，根据计算即可． 【详解】解：延长与交于点， ∵是反比例函数的图像上的一点，连接并延长， ∴设，则， ∵过点分别作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于点， ∴，，， ∴， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，运用二次函数求最值是解题的关键． 先求出的取值范围，再将化为，再利用二次函数的性质求解最值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， 则，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当，， 当；， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正六边形的顶点在正方形的边上，则正方形与正六边形的边长的比值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的对称性，勾股定理，延长与交于点，连接与交于点，连接，，根据正方形和正六边形，可得，即可证明，得到，再证明，得到，，结合正六边形，正方形性质可得、、、都相交与点，且点是这些线段的中点，即可得到直线和是正六边形的两条对称轴，然后在和中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：延长与交于点，连接与交于点，连接，，交于点， ∵正方形， ∴，， ∴，，， ∵正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正六边形，正方形， ∴、、、都相交与点，且点是这些线段的中点， ∴直线和是正六边形的两条对称轴， ∴点和在线段上，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴正方形与正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．先算括号内的加法，再算除法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组并写出它的最小整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是掌握不等式的求解方法，先求出不等式组的解集，再得出最小整数解即可． 【详解】解：， ， 解得：； ， ， 解得：； 故不等式组的解为：， 其最小整数解为：． 19. 如图，与关于直线对称，．求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，菱形的判定，理解题意，根据题意得出是解题关键． 根据题意得出，确定，再由等角对等边及菱形的判定即可证明． 【详解】略 20. 如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有两条路．小明从甲地出发去丙地． （1）他有多少种不同的路线可选？请列举出来． （2）已知驾车经过分别需要用时，，．若小明随机选择驾车路线，他总用时少于的概率是___________． 【答案】（1）6种不同路线， （2） 【解析】 【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出所有可能即可； （2）根据（1）中结果分别求出用时，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：小明从甲地出发去丙地得路线有：， ∴共有6种不同路线； 【小问2详解】 用时， 用时， 用时， 用时， 用时， 用时， ∴总用时少于的结果有3种， ∴总用时少于的概率为：， 故答案为：． 21. 从2024年第一季度到2025年第一季度，某商场每季度羽绒服的销售额如下表所示： 某商场每季度羽绒服的销售额统计表 年份 2024年 2025年 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 第一季度 销售额/万元 40 20 5 60 48 （1）绘制该商场2024年各季度羽绒服销售额分布的扇形统计图； （2）结合统计图、表，请写出两条不同类型的结论． 【答案】（1） 该商场2024年各季度羽绒服销售额分布的扇形统计图如下： （2）1、羽绒服的销售主要集中在第一季度和第四季度； 2、2025年一季度同比增长 【解析】 【分析】题目主要考查扇形统计图及表，画扇形统计图，理解题意是解题关键． （1）根据题意分别求出每个季度的占比，然后画出扇形统计图即可； （2）结合图表，写出结论即可． 【小问1详解】 解：2024年全年羽绒服销售额为：万元， 一季度占比：；二季度占比：； 三季度占比：；四季度占比：； 【小问2详解】 结论：1、羽绒服的销售主要集中在第一季度和第四季度； ， 2、2025年一季度同比增长． 22. 如图，在中，，垂足为，． （1）求证：是直角三角形． （2）可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）∵AD⊥BC， ， ， ， ， ， 可以绕点逆时针旋转，使得与重合，再以A为位似中心，将旋转后的三角形按照一定位似比进行位似变换，位似比为，此时就可以得到． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）证明，得到，结合，即可得证； （2）根据题意推出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． （1）若，则的长为___________； （2）求证． 【答案】（1）3 （2） 证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 24. 如图，直线分别是两条河岸线，点在河岸线上，点在河岸线上，且．测得，．（图中所有点均在同一平面内） （1）如果，那么与是否平行？说明理由． （2）如果与平行，那么，，之间满足的数量关系是___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，解直角三角形，正确掌握知识点是解题的关键． （1）设，先证明，由，可得，即可推导出，则四边形是平行四边形，即可解答． （2）先证明四边形是平行四边形，即，根据可得，再由，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. A，B两地相距，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地，已知乙列车的速度是甲列车速度的倍．乙列车离地的距离与甲列车出发时间之间的函数图像如图所示，其中线段轴． （1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离与之间的函数图像； （2）当甲、乙两辆列车相距时，求的值． 【答案】（1） 画出函数图象，如图所示： （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数应用，一元一次方程的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用信息． （1）根据图象求出乙列车的速度为：，再求出甲列车的速度为：， 从而求出甲列车从A地到B地所用时间为：，再画出函数图象即可； （2）分两种情况讨论：甲、乙相遇前，甲、乙相遇后，分别列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据函数图象可知：乙列车在内通过的路程为， ∴乙列车的速度为：， ∵乙列车的速度是甲列车速度的倍， ∴甲列车的速度为：， ∴甲列车从A地到B地所用时间为：； 【小问2详解】 解：甲、乙相遇前，两车相距时， ， 解得：； 甲、乙相遇后，两车相距时， ， 解得：； 综上分析可知：的值为或． 26. 已知二次函数（为常数，）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）该函数的图像经过的定点的坐标是___________； （3）若对于该函数图像上的任意两点，当时，．请结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：， 故该函数的图像与轴总有公共点； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与轴交点问题，根的判别式，直线过定点问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解； （1）直接利用根的判别式进行证明； （2）将解析式进行整理，令求解即可； （3）分两种情况进行讨论，根据题意得出需要函数在上，函数值随自变量的增大而增大，从而建立不等式组进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 令，解得：或， 当时，，当时，， 故该函数的图像经过的定点的坐标是或 【小问3详解】 解：当时，对称轴为， 要使得该函数图像上的任意两点，当时， 则函数在上，函数值随着的增大而增大， ， 解得：； 将代入中， ， 解得： 故； 当时，对称轴为， 要使得该函数图像上的任意两点，当时， 则函数在上，函数值随着的增大而增大， ， 解得：， 将代入成立， 将代入， 解得， 故； 综上：或． 27. 从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． （1）若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． （2）点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 【答案】（1）像到的距离为 （2）①见解析； ①点即为的像， ② 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过点Q作，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，求解即可； （2）①结合（1）的知识点，运用尺规作角等于已知角即可； ②根据题意得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． 【小问1详解】 解：过点Q作，垂足为N，如图所示： 根据题意得：， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴像到的距离为； 【小问2详解】 解：①根据（1）中可知，，过点的直线交于点，点即为的像， ∴以点为圆形，任意长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，在点处尺规作角等于得到垂直于的直线，且交射线于点，连接得到与平行直线m，则直线m与的一个交点为点P； ②根据题意得，如图所示，过点作于点，设与交于点，直线与交于点，则，四边形是矩形，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2、答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 某病毒的直径约为，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 绝对值不大于的整数的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 5. 如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 计算的结果是___________． 8. 计算的结果是___________． 9. 将二次函数的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式是___________． 10. 已知实数，满足方程组，则的值为___________． 11. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________． 12. “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得_____________． 13. 如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为___________． 14. 如图，是反比例函数的图像上的一点，连接并延长，交该图像于点．过点分别作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于点，则四边形的面积是___________． 15. 已知．若，则的取值范围是___________． 16. 如图，正六边形的顶点在正方形的边上，则正方形与正六边形的边长的比值是___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 18. 解不等式组并写出它的最小整数解． 19. 如图，与关于直线对称，．求证：四边形是菱形． 20. 如图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有两条路．小明从甲地出发去丙地． （1）他有多少种不同的路线可选？请列举出来． （2）已知驾车经过分别需要用时，，．若小明随机选择驾车路线，他总用时少于的概率是___________． 21. 从2024年第一季度到2025年第一季度，某商场每季度羽绒服的销售额如下表所示： 某商场每季度羽绒服的销售额统计表 年份 2024年 2025年 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 第一季度 销售额/万元 40 20 5 60 48 （1）绘制该商场2024年各季度羽绒服销售额分布的扇形统计图； （2）结合统计图、表，请写出两条不同类型的结论． 22. 如图，在中，，垂足为，． （1）求证：是直角三角形． （2）可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程． 23. 如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． （1）若，则的长为___________； （2）求证． 24. 如图，直线分别是两条河岸线，点在河岸线上，点在河岸线上，且．测得，．（图中所有点均在同一平面内） （1）如果，那么与是否平行？说明理由． （2）如果与平行，那么，，之间满足的数量关系是___________． 25. A，B两地相距，甲、乙两辆列车先后从A，B两地出发，匀速相向而行，分别驶向目的地，已知乙列车的速度是甲列车速度的倍．乙列车离地的距离与甲列车出发时间之间的函数图像如图所示，其中线段轴． （1）在同一坐标系中，画出甲列车离A地的距离与之间的函数图像； （2）当甲、乙两辆列车相距时，求的值． 26. 已知二次函数（为常数，）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）该函数的图像经过的定点的坐标是___________； （3）若对于该函数图像上的任意两点，当时，．请结合图像，直接写出的取值范围． 27. 从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． （1）若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． （2）点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $