期末考前满分冲刺之选择填空题（90题）（四十五种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以选择填空形式系统覆盖代数、几何、统计核心知识，强化概念应用与综合迁移。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|4题|值、有意义条件、最简根式、估算|从概念辨析到运算应用，层层递进| |一次函数|12题|定义、图像、性质、平移、与方程不等式综合|构建“定义-图像-性质-应用”完整逻辑链| |平行四边形|8题|性质、判定、特殊四边形（矩形/菱形/正方形）|从一般到特殊，强化性质与判定的推理意识| |勾股定理|6题|勾股数、应用、列方程、赵爽弦图|结合实际情境，培养几何直观与模型意识| |统计|4题|中位数、众数、平均数、方差|数据分析与抽象能力的基础训练|

期末考前满分冲刺之选择填空题覆盖训练思维导图 覆盖一 二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 覆盖二 (正比例)一次函数的定义 1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义判断各选项的函数形式即可得到答案． 【详解】解： 选项A：的常数项为，属于一次函数，不是正比例函数， A不符合题意； 选项B：符合的形式，， B是正比例函数； 选项C：，不符合正比例函数的形式， C不符合题意； 选项D：，不符合正比例函数的形式， D不符合题意． 2．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】本题根据一次函数的定义判断，一次函数的定义为形如（，是常数，）的函数是一次函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、中不是整式，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； ∵ B、中自变量的次数为，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意； C、符合（，）的形式，满足一次函数定义，故此选项符合题意； D、中只说明，是常数，未要求，不满足一次函数定义，故此选项不符合题意． 覆盖三 函数的概念与表示 1．下列图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； B、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； C、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意； D、由图象可得，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，符合题意． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 覆盖四 最简二次根式 1．下列二次根式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵选项A：的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 选项B：，被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 选项C：，不满足条件，不是最简二次根式． 选项D：的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C选项：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 覆盖五 勾股数与构成直角三角形的条件 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9 【答案】B 【详解】解：A选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； B选项，，， ，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意； C选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； D选项，，， ，不是勾股数，不符合题意． 2．在中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，可结合三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴ 是直角三角形，不符合题意； B选项：∵ ， ∴ 最大角， ∴ 不是直角三角形，符合题意； C选项：∵ ， 整理得 ， 由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D选项：∵ ，设，，，则，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意． 覆盖六 (正比例)一次函数经过点求参 1．若点在一次函数的图象上，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，先代入横坐标求出的值，再根据横纵坐标的符号判断点所在象限即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入解析式，得 ， ∴点的坐标为， ∵横坐标，纵坐标 ∴点在第四象限． 2．正比例函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点的坐标满足函数解析式，则点在该函数图象上，据此代入验证即可求解． 【详解】解：对A选项，当时，，A错误； 对B选项，当时，，B错误； 对C选项，当时，，坐标满足函数解析式，C正确； 对D选项，当时，，D错误． 覆盖七 (特殊)平行四边形的性质 1．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 覆盖八 根式运算错误 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A计算错误． 选项B：，B计算错误． 选项C：，C计算正确． 选项D：，D计算错误． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算错误． 覆盖九 一次函数的图像 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 2．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 覆盖十 添加条件证(特殊)平行四边形 1．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 2．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 覆盖十一 一次函数与一元一次方程 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 2．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 覆盖十二 一次函数与二元一次方程组 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 覆盖十三 (正比例)一次函数的性质 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 2．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 覆盖十四 中位线的性质 1．如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（    ） A．10 B．5 C．2.5 D．20 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可． 【详解】的对角线，相交于点， ，点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 2．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 覆盖十五 尺规作图 1．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．18 B． C． D．24 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，，，尺规作的平分线交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．26 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，连接，证明四边形是菱形，是等边三角形，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，， ∵是的平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故选：A． 覆盖十六 估算二次根式 1．估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】D 【分析】先把转化为，再运用无理数估算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴的值在8和9之间． 2．估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，进而得到原式的取值范围． 【详解】解：， ∵ ，，且， ∴ ， 不等式三边同时加2，得， 即原式的值在5到6之间． 覆盖十七 从函数图象获取信息 1．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知，水面高度增加的速度越来越快，说明容器的横截面积从下到上逐渐减小，据此判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，水面高度随时间的变化图象是一条斜率逐渐增大的曲线， ∴水面上升的速度越来越快， ∵注水是均匀的， ∴容器的横截面积从下到上应逐渐减小， ∴选项容器不符合，选项容器符合． 2．如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用，，表示，下午配送数据分别用，，表示．若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（    ） A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高 C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低 【答案】A 【分析】连接，，，分别取，，的中点，，，连接，，，设，，可计算出甲一天的配送效率，同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率，由图得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度，故可得结论． 【详解】解：如图， 连接，，，分别取，，的中点，，，连接，，，设，，则，则甲一天的配送效率为， 同理可表示出乙的配送效率和丙的配送效率， 由图可得的倾斜程度的倾斜程度的倾斜程度（直线的倾斜程度表示配送效率，倾斜程度越大，配送效率越高），即甲一天的配送效率乙一天的配送效率丙一天的配送效率． 覆盖十八 取值范围问题 1．如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案． 【详解】解析：如图，延长交于点， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 作，则， ∴点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴同理可证为的中位线， ∴， 则， ∵， ∵， ∴， 则， 那么，． 2．如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BD的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理分别求出EH、FH，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：取的中点H，连接、， ∵E、H分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， 在中，，即， 当点H在上时，， ∴， 故选：A．    【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系定理；添加辅助线，构造中位线，得出线段之间的数量关系是解题的关键． 覆盖一 二次根式有意义 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任何实数 【答案】C 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 覆盖二 中位数与众数 1．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数的计算方法求解即可. 【详解】解：由条形统计图可知7分出现次数最多，即众数是分． 2．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 【答案】 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，， 这组数据共有个，为奇数个，位于最中间的数为第个数， 因此这组数据的中位数是． 覆盖三 (正比例)一次函数的平移 1．在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可，正确把握变换规律是解题关键． 【详解】解：∵将直线平移后得到直线， ∴，或， 解得：或， 故将直线向右平移个单位得到直线或将直线向上平移个单位得到直线， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为_________； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题．根据平移的规律顶点平移后两直线的解析式，进一步即可求得交点坐标． 【详解】解：将直线向向上平移4个单位，得到直线， 将直线向左平移6个单位得到直线，即， 联立得， 解得， ， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 覆盖四 数轴上表示无理数 1．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵在中，． ，， ∴， ， 点表示的数是． 2．如图，数轴上点表示的数为点表示的数是2，过点作于点，且（单位长度）以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴负半轴的一个交点表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】先求出的长，进而可知点表示的数． 【详解】解：， ∴点表示的数为． 覆盖五 平均数与方差 1．某校“趣味数学”社团招募新成员时，需考查应聘学生的数学基础知识、数学建模应用能力、数学思维能力三个项目，小华三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照数学基础知识占，数学建模应用能力占，数学思维能力占，计算加权平均数作为最终成绩，则小华的最终成绩为（   ） A．90分 B．91分 C．92分 D．93分 【答案】A 【分析】将各项目得分乘以对应权重后求和即可得到最终成绩． 【详解】解： 分， 因此，小华的最终成绩为90分． 2．某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】观察折线的起伏幅度判断即可． 【详解】解：据图可知，甲员工的分数波动更大，则甲的方差大于乙的方差． 覆盖六 平行四边形的性质求解 1．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，则的周长为（   ） A．13 B．16 C．18 D．19 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对边相等、对角线互相平分的性质，求出的长度，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴的周长为． 2．在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 覆盖七 斜中定理 1．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 2．如图，在中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，，若，则长为__________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，证明，可得，，从而得到，设，则，在和中，利用勾股定理可得，，求出x的值，即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 覆盖八 赵爽弦图 1．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设每一个直角三角形的面积为，根据图形得到，，即可得到答案． 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 解得． 2．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，画出对应的示意图可得的边上的高满足，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的四边形也是正方形， ∴，， ∴． 覆盖九 勾股定理的解决应用 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 覆盖十 勾股定理的列方程 1．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 覆盖十一 一次函数与不等式 1．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 2．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用正比例函数解析式确定A点坐标，结合图形即可求解． 【详解】解：正比例函数和一次函数交于点， ，解得． ． 结合图形可知，当时，． 覆盖十二 一次函数的增减性 1．若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 2．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 覆盖十三 矩形的折叠 1．如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质及其应用．证明，推出，再证明，再通过线段和差即可得结论． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，，，， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 【答案】 【分析】设纸的边长为a，利用矩形的边长关系和折叠性质，推导第二次折叠后各线段的表达式．因为要求与的比，所以需要用设定的参数表示出的长度，再通过比例运算得出结果，可能用到勾股定理建立线段间的等量关系． 【详解】设矩形中，， 第一次折叠后点B落在上的处，，且， ∴四边形是正方形， ∴． 第二次折叠后点E与D重合，， ∴， ∴． 设， 则， ∴． 在中，， ∴ ， 代入得 ， 展开整理得， 解得． ∴ ， ∴． 覆盖十四 函数中的行程问题 1．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 2．、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离． 【详解】解：由题意可得， 甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确； 由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误； 乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确； 当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确； 正确的有①③④． 覆盖十五 正确结论的是 1．如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，得，，得到，，可以判定①正确；过点B作于Q，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定②；设，的交点为M，过点E作于点K，利用三角形全等的判定和性质，等量代换，可以判定③正确；设，则，根据勾股定理，得，根据③的结论，得到；四边形的面积为 ，计算可以判定④． 【详解】解：边长为9的正方形， ， ， 根据折叠的性质，得，， ，， ， 故①正确； 如图，过点B作于Q，则， 由①可知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴ 故的周长为定值18； 故②正确； 设，的交点为M，过点E作于点K， 根据题意，得， 故四边形是矩形， ∴， 根据折叠的性质，得，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 故③正确； ， ，， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； ∴； ∴四边形的面积为 ； 故④错误． 2．如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】连接，根据矩形及正方形的性质即可判断①；利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可证明②；利用正方形的性质即可证明③；根据等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质即可证明④；利用全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质即可证明⑤． 【详解】解：连接，   ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∵N是的中点，为矩形的对角线， ∴点F、N、C共线；故①正确； ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵N是的中点，四边形是矩形， ∴点N在上，且是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴错误，故③错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 找的中点H，连接， ∴，， ∴， ∴，故④正确； 连接， 在与中， ， ∴， ∴， 由①得点N为矩形对角线的交点， ∴点N为等腰三角形底边的中点， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上可得：正确的有①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理解三角形、等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 覆盖一 根式化简 1．化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解：. 2．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 覆盖二 矩形的性质求解 1．如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 【答案】 【分析】过作的平行线分别交于，设，再利用勾股定理得到，结合，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：过作的平行线分别交于，设， 点是的中点，且， 为的中位线， ，， 又点是边的中点， ， 又，为矩形， 四边形为矩形， ， ， 又， ，即， 解得，即． 2．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 覆盖三 菱形的性质求解 1．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，，利用勾股定理求得的长，求得的长，设此菱形的高为h，进而利用菱形的面积求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， 菱形的边长为， ， ， ， 设此菱形的高为h， ， ， ， 此菱形的高为． 2．如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 【答案】 2 【分析】根据菱形的性质得出，结合垂直平分得出，从而判定是等边三角形，求出，利用菱形对角线平分对角得出，分别在和中利用与勾股定理求出和的长，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，为中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， 在中，，， ， 则， 在中，，， 设，则， 则，即， 则有，解得（负值舍掉）， ， ． 覆盖四 正方形的性质求解 1．如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出 中的长和 中的长，即可得，，进而证明 ，得到，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得 ， ，即可证明得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在 中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ，， 在 中，由勾股定理： ， 在 中，由勾股定理： ， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ， ∴ ， ，， ∴， ， ， 在 中，． 2．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点F，证明，设，可得，先在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出x即可． 【详解】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ． 覆盖五 一次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，轴， ∴． 覆盖六 一次函数的解决应用 1．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 【答案】 【分析】根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系， 设该函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴该函数关系式为， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加． 2．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 【答案】 【分析】当时，总煤气费为不超过50立方米的费用与超过50立方米部分的费用之和，据此列式化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意，当时，可得 ． 覆盖七 最值问题 1．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点F，连接，交于点M，过点F作，交的延长线于点N，过N点作于点G，连接，，先利用轴对称的性质构造出最短路径，再证明四边形是平行四边形，进而证明是等腰三角形，问题随之可解． 【详解】解：作点A关于直线的对称点F，连接，交于点M，过点F作，交的延长线于点N，过N点作于点G，连接，，如图， ∵点F、点A关于直线对称， ∴，，， ∴，即当点F、E、D三点共线时，有最小值， 即当点E位于点M时，有最小值，此时最小值为：的长度； ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形判定与性质等知识；此题难点在于构造平行四边形，灵活运用，两个条件构造等腰三角形． 2．如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为______． 【答案】6 【分析】过点作，使得点在的两侧，且，连接，则，再证出，则，然后根据（当且仅当点三点共线时，等号成立）解答即可． 【详解】解：如图，过点作，使得点在的两侧，且，连接， ∴在中，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，当且仅当点三点共线时，等号成立， ∴的最大值为6， ∴的最大值为6． 覆盖八 一次函数中的新定义 1．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，绝对值的意义，设点，根据新定义，得到，根据绝对值的意义，得到可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和，进而得到当时，最小为到2的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和， ∴当，最小，为：； 故答案为：3． 2．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 覆盖九 一次函数中的平行四边形(分类) 1．在直角坐标系中，已知点，，，在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数在几何中的应用；①当构成平行四边形时，由待定系数法可求直线的解析式为； 直线的解析式为，直线的解析式为，联立，即可求解；②当构成平行四边形时，同理可求；能根据不同的平行四边形进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图， ①当构成平行四边形时， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 四边形是平行四边形， ， 可设直线的解析式为， 则有， 直线的解析式为， 同理可求：直线的解析式为， 联立， 解得：， ； ②当构成平行四边形时， 同理可求：； 综上所述：的坐标为或． 2．已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标______． 【答案】：或 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标，由一次函数中，求出，，设，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数中，当时，；当时，， ∴，， ∵点是轴上一个动点，点在直线上， ∴设，， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴如图，当为对角线时， 设交于点， ∴点在上， ∴即， ∴，，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 如图，当为对角线时， ∴，，解得， ∴， 此时点共线，不符合题意； 综上点或， 故答案为：或． 覆盖十 一次函数中的规律 1．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 覆盖十一 正方形的半角模型 1．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 2．如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 覆盖十二 几何与函数综合 1．如图1，在中，，，动点D从点C向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒，以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连接，令，若y关于t的函数图象如图2所示，则______；的面积为_______． 【答案】 【分析】先观察图2可知，当点D在点A处时，取得最大值为，可得，再作，交延长线于点F，作，交延长线于点G，此时，即可求出，然后根据“角角边”证明，可得，接下来根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：由图2可知，当点D在点A处时，取得最大值为，， ∴． 如图，当点D在点A处时，过点B作，交延长线于点F，过点E作，交延长线于点G， 由图2可知，此时， ∴， 解得． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 2．如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象． （1）______； （2）图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 6 【分析】（1）直接根据图象即可得出结果； （2）连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：（1）∵点是菱形对角线上一动点， ∴当与点重合时，最大，为的长， 由图可知：； （2）如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图可知：； 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之选择填空题覆盖训练思维导图 覆盖一 二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 覆盖二 (正比例)一次函数的定义 1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D．（，是常数） 覆盖三 函数的概念与表示 1．下列图象中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 覆盖四 最简二次根式 1．下列二次根式中，为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 覆盖五 勾股数与构成直角三角形的条件 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9 2．在中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 覆盖六 (正比例)一次函数经过点求参 1．若点在一次函数的图象上，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．正比例函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 覆盖七 (特殊)平行四边形的性质 1．下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 覆盖八 根式运算错误 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 覆盖九 一次函数的图像 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 覆盖十 添加条件证(特殊)平行四边形 1．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 2．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 覆盖十一 一次函数与一元一次方程 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 覆盖十二 一次函数与二元一次方程组 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 覆盖十三 (正比例)一次函数的性质 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 2．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 覆盖十四 中位线的性质 1．如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（    ） A．10 B．5 C．2.5 D．20 2．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 覆盖十五 尺规作图 1．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．18 B． C． D．24 2．如图，在中，，，，尺规作的平分线交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．26 C． D． 覆盖十六 估算二次根式 1．估算的值（   ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 2．估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 覆盖十七 从函数图象获取信息 1．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分别用，，表示，下午配送数据分别用，，表示．若定义一天的配送效率，则下列说法正确的是（    ） A．甲的配送效率最高 B．丙的配送效率最高 C．甲的配送效率最低 D．乙的配送效率最低 覆盖十八 取值范围问题 1．如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 覆盖一 二次根式有意义 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任何实数 2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 覆盖二 中位数与众数 1．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 2．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为（单位：个）：5，6，7，8，8，9，10．则这组数据的中位数是________． 覆盖三 (正比例)一次函数的平移 1．在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．在平面直角坐标系中，将直线向上平移4个单位，将直线向左平移6个单位，平移后的两条直线相交于点，则点的坐标为_________； 覆盖四 数轴上表示无理数 1．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数为点表示的数是2，过点作于点，且（单位长度）以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴负半轴的一个交点表示的数为___________． 覆盖五 平均数与方差 1．某校“趣味数学”社团招募新成员时，需考查应聘学生的数学基础知识、数学建模应用能力、数学思维能力三个项目，小华三个项目得分分别为85分、90分、92分．若评委按照数学基础知识占，数学建模应用能力占，数学思维能力占，计算加权平均数作为最终成绩，则小华的最终成绩为（   ） A．90分 B．91分 C．92分 D．93分 2．某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 覆盖六 平行四边形的性质求解 1．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，则的周长为（   ） A．13 B．16 C．18 D．19 2．在平行四边形中，如果，则______． 覆盖七 斜中定理 1．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 2．如图，在中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，，若，则长为__________． 覆盖八 赵爽弦图 1．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 覆盖九 勾股定理的解决应用 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 覆盖十 勾股定理的列方程 1．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 覆盖十一 一次函数与不等式 1．已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______． 覆盖十二 一次函数的增减性 1．若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 覆盖十三 矩形的折叠 1．如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 覆盖十四 函数中的行程问题 1．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 2．、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 覆盖十五 正确结论的是 1．如图，在边长为9的正方形中，动点E，F分别在边，上，将正方形沿直线折叠，使点B落在边上的点G处（点G不与点C，D重合），点A落在点H处，与交于点P，连接．给出下列四个结论：①；②的周长为定值18；③；④如果，那么四边形的面积为32．上述结论中，正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 覆盖一 根式化简 1．化简：______． 2．计算：__________． 覆盖二 矩形的性质求解 1．如图，在矩形中，，点是边的中点，连接，点是的中点，连接、，若，则_____． 2．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 覆盖三 菱形的性质求解 1．如图，菱形的边长为，其中对角线的长为，则此菱形的高为______． 2．如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 覆盖四 正方形的性质求解 1．如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 2．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 覆盖五 一次函数中的菱形 1．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 2．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 覆盖六 一次函数的解决应用 1．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据： 张力调节系数 … 1 2 3 4 … 振动频率（） … 429 432 435 438 … 已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________． 2．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 覆盖七 最值问题 1．如图，点是线段上的一个动点，，，且，则的最小值是______． 2．如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为______． 覆盖八 一次函数中的新定义 1．定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________． 2．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 覆盖九 一次函数中的平行四边形(分类) 1．在直角坐标系中，已知点，，，在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是________． 2．已知，一次函数的图象与轴交于点，点也在这条直线上且横坐标为，点是轴上一个动点，点在直线上，以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出点的坐标______． 覆盖十 一次函数中的规律 1．如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 覆盖十一 正方形的半角模型 1．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 2．如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 覆盖十二 几何与函数综合 1．如图1，在中，，，动点D从点C向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒，以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连接，令，若y关于t的函数图象如图2所示，则______；的面积为_______． 2．如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象． （1）______； （2）图象最低点的纵坐标是______． 学科网（北京）股份有限公司 $