期末考前满分冲刺之解答题（75题）（二十五种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 聚焦期末解答题高频考点，以“知识模块+问题情境”构建覆盖式训练，强化运算能力、推理意识与模型应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|3题|运算化简|概念→性质→混合运算| |一次函数|6题|图象性质/应用|解析式→图象→性质→实际问题| |数据分析|3题|统计图表应用|数据收集→整理→分析（均/中/众数）| |平行四边形|3题|证明与计算|定义→性质→判定→综合应用| |勾股定理|3题|应用与证明|定理证明→实际情境→拓展应用| |特殊平行四边形|3题|菱形/矩形/正方形|平行四边形→特殊化→性质判定| |其他模块|10模块|规律探究/新定义/动点等|知识迁移→综合创新→跨模块应用|

期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 二次根式的运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把根式化为最简二次根式，再根据二次根式加减法法则计算即可得答案； （2）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，再根据二次根式乘法法则计算，最后加减即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 覆盖二 一次函数的图象与性质 4．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)1 【分析】（1）过图象上两个点画出直线即可； （2）通过坐标轴上点的坐标特征即可求出两点的坐标； （3）由（2）求出的两个点的坐标，求出的长，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：令得，令，得：． ，． 过两点作直线即得到一次函数的图象，该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）可得：点的坐标为，点的坐标为． （3）解：由（2）可知点，． ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的图象和性质等知识，熟记一次函数图象和性质是解决此题的关键，注意数形结合思想的运用． 5．已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义、解析式求解方法以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据正比例函数的形式设出解析式，利用已知x、y的值求出比例系数k，再结合点在函数图象上时横纵坐标满足函数解析式的性质求解参数． （1）根据正比例函数“”的定义设出函数解析式；将已知、代入解析式，构建关于k的方程；求解方程得到k的值，进而确定函数解析式； （2）利用“点在函数图象上则其坐标满足函数解析式”的性质，将代入（1）中所求解析式，构建关于a的方程；求解方程得到a的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为 ∵当时， ∴ 解得 ∴y与x的函数解析式为 （2）解：∵点在的图象上 解得． 6．已知正比例函数． (1)若点和点为函数图象上的两点，且，求a的取值范围； (2)若函数的图象经过点． ①求此函数解析式； ②如果x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质以及正比例函数的图象上点的坐标特征，解答该题时，充分利用了正比例函数图象上点的坐标特征． （1）先根据得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可 （2）①利用正比例函数图象上点的坐标特征，将点代入该函数解析式，求得a值即可，②把分别代入解析式求得函数值，即可求得y的取值范围 【详解】（1）解：由题意知正比例函数得图象上两点点和点，且， y随x的增大而减小， ， ； （2）①正比例函数的图象经过点， ， 解得， 则此函数关系式为； ②由①得， 画出函数图像：    当时，；当时，， y的取值范围为． 覆盖三 数据的分析 7．开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． (1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； (2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； (3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 【答案】(1)25； (2)9分，9分，8.7分； (3)第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 【分析】（1）利用得9分的学生所占百分比乘以50，即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解； （3）由题意得，第二次测试中得8分的人数为5（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人，根据题意列出方程，求出的x值即可解答． 【详解】（1）解：（人）， （2）解：得8分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得7分和得10分的学生人数都为10人， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∵， ∴中位数落在9分中 ∴中位数（分）， 由统计图可知，得9分的学生人数最多， ∴众数是9分， 本次测试的平均分（分） （3）解：由题意得，第二次测试中得8分的人数为（人），设第二次测试中得9分的学生有x人，则得10分的学生有人， 由题意得， 解得：，则， 答：第二次测试中得9分的学生有10人，得10分的学生有35人． 8．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 (1)上述图表中　，　　，　　； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 【答案】(1)40；80；83.5 (2)七年级的成绩较好，理由见解析 (3)420人 【分析】（1）先计算八年级成绩在C组的占比，进而可得的值，根据众数、中位数的概念求； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级10名学生的成绩在C组中的数据有3个， 占，故成绩在D组的数据占， ； 七年级10名学生的成绩中，出现次数最多的是80，则； 八年级10名学生成绩的中位数为从小到大第5、6位的平均值，则； （2）解：七年级的成绩较好，理由如下： 七年级的众数80大于八年级的众数78， 七年级学生对劳动知识的掌握情况更好； （3）解：人， 答：估计七八年级中成绩等级为D的共有420人． 9．河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了20名，对《明清河南》和《国宝特展》两个专题陈列进行满意度打分（百分制，分数为整数）． 【数据收集与整理】 实践小组对随机抽取的20名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于85分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：），下面给出了部分信息： 《明清河南》专题陈列的20份打分如下：86，87，90，90，90，91，92，92，93，94，95，95，96，96，97，98，99，99，100，100． 《国宝特展》专题陈列的20份打分中，在B组的数据是：95，95，96，97，97，97． 两个专题陈列满意度打分统计表（部分） 专题陈列 平均数 众数 中位数 《明清河南》 94 a 94.5 《国宝特展》 95 98 b 请你根据上面的信息解答下列各题： (1)上述表中_____，_____，扇形统计图中D组所占圆心角的度数为_____； (2)关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是_________；（填序号） ①中位数均在B组的取值范围内；②得分在94分以上的一样多；③满分一样多． (3)博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由． 【答案】(1)90，97，18° (2)① (3)选择《国宝特展》专题陈列进行重点宣传，见解析 【分析】（1）依据众数定义确定a，结合各组人数排序找准第10、11个数求出中位数b，利用百分比乘算出圆心角．； （2）根据题意并结合表格的数据逐项分析即可判断求解； （3）根据平均数、中位数和众数的意义分析即可判断求解； 【详解】（1）解：∵《明清河南》打分数据里90出现了3次，次数最多， ∴众数． ∵一共抽取20份评分数据， 《国宝特展》中：A组人数：（人），B组人数：6人， 按分数从高到低依次排列，前8个数据为A组数据，第9至14个数据为B组数据， ∵偶数个数据的中位数为排序后第10、11两个数的平均数， ∴第10个数与第11个数都在B组，均为97， ∴． D组所占百分比：， ∴D组对应扇形圆心角度数：． （2）解：①∵两份评分的中位数都落在范围内，都属于B组， ∴此结论正确． ②∵《明清河南》高于94分的数据共有10个，《国宝特展》高于94分包含A组与B组，总个数为个， , ∴两份评分中分数高于94分的数据个数不相等， ∴此结论错误． ③∵无法确定《国宝特展》里满分人数，无法比较满分人数的多少， ∴此结论错误． 综上，正确的是①． （3）解：推荐宣传《国宝特展》． ∵《国宝特展》平均分、中位数、众数均高于《明清河南》，整体评分水平更高，更受学生喜爱，适合作为重点宣传内容． 覆盖四 平行四边形的证明 10．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 12．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 覆盖五 勾股定理的解决应用 13．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设旗杆的长为，则旗绳的长为，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）由题意可知：，，，过点作，垂足为，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的长为，则旗绳的长为． ， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度为； （2）解：由题意可知：，，， 过点作，垂足为， 则，， ， ， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 14．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)小凳子顶点与墙面的距离为 (2)小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 15． 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 覆盖六 特殊平行四边形的证明 16．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据两组对边分别平行的条件，判定四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得到是直角，由此可证明该平行四边形是矩形； （2）根据菱形对角线互相平分的性质，求出和的长度；再利用矩形的性质，得到与相等，结合勾股定理计算的长度即可得到的长度． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， 、， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ． 17．如图，在四边形中，，，，过点作，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为36，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证得四边形是菱形； （2）先证明四边形是矩形，从而得到，由四边形是菱形，，得到，，，根据勾股定理得到，从而得到，最后求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵矩形的周长为36， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理，， ∴， ∴． 答：四边形的面积为144． 18．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 覆盖七 一次函数的解决应用 19．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名 (2)①；②最少是2800元 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，进一步确定关于的函数解析式即可；②根据题意，得，求解可得的取值范围，然后结合一次函数的性质，易得随的增大而增大，故当时，学校租车总费用最少，即可获得答案． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名， 根据题意得：，解得， 答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名； （2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车， ∴租车的总费用； ②根据题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元． 20．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 21．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 【答案】(1)（所得结果进一取整，） (2)元 (3) 【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则． （2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用． （3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围． 【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元， 超出15分钟的时间为分钟， 超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费， 应付费用（对所得结果进一取整，）， （2）， 超出时间：分钟， ，按规则进一取整为3， ； （3）解：， （对的结果进一取整）， （进一取整后）， 的值进一取整后为4， 即满足： ， ， ∴． 覆盖八 二次根式的规律 22．小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律化简：． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析； (4) 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证； （4）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含的式子表示为：； （3）解：等式左边右边， 故猜想成立； （4）解： ． 故答案为：． 23．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 24．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 覆盖九 尺规作图 25．如图，在中，． (1)【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的中线； ②再作点关于点的对称点，并连接、； (2)【推理证明】求证：四边形是菱形． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，与交于点，连接即得到边上的中线，再延长至点，使，最后连接、，即可完成全部作图； （2）先由得出是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，结合利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，最后结合这一组邻边相等的条件，即可证明该平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求． ②如图所示，点、、即为所求． （2）证明：∵， ∴是等腰三角形． ∵是边的中线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 26．如图，四边形是矩形． (1)实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据要求及垂线的作法作图即可； （2）由作图可知，根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：． 理由如下：由作图可知． 四边形是矩形， ，． ， ， ． 在和中， ， ． 27．小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点． (1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ， ① ． ． ∵ ② ． ． 即：． 在和中， ， ． ． ∴ ④ ． ， ． ． ∴四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作图步骤即可作图； （2）先证明，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． ∵． ． 即：． 在和中， ， ． ． ∴四边形是平行四边形． ， ． ． ∴四边形是矩形 覆盖十 勾股定理的证明 28．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 29．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 30．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)秋千的长为4米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）根据空白部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，也等于边长为的两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）， ， ∴， ∴． （2）设，， 在中，，即， 解得； 答：秋千的长为4米． 覆盖十一 皮克定理 31．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 32．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． （3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形． 【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； （3）由格点多边形的面积为8，然后根据轴对称的性质，即可画出图形． 【详解】解：（1）由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． （3）答案不唯一，只要符合题意要求即可． 例如： 【点睛】本题考查了多边形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． 33．根据以下思考，探索完成任务． 皮克公式的探索与应用 问题 背景 在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形． 素材1 如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积． 素材2 奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）． 问题解决 任务1 探索皮克公式 在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系； 任务2 应用皮克公式 在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积． 【答案】任务1：；任务2：40 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组，解一元一次不等式，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据题意画出满足题意的正方形和正方形，根据得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案； 任务2：根据任务1所求可得，则S随b的增大而增大，再求出该多边形外部的格点数为个，据此列出不等式求出b的范围即可得到答案． 【详解】解：任务1：如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有12个格点，且其面积为 如图，在正方形的内部有4个格点，在正方形的边上有4个格点，且其面积为， ∴ ， 解得， ∴； 任务2：∵该多边形内部有18个格点， ∴， ∴， ∴S随b的增大而增大， ∵共110个格点， ∴该多边形外部的格点数为个， ∵格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值，最大值为． 覆盖十二 两个一次函数相交求解 34．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）将交点的横坐标代入直线的解析式中求解出b，观察发现，二元一次方程组变形后正好是两条直线的解析式，则方程组的解即为两直线交点P的坐标； （2）令两直线解析式中的，求出点的坐标，进而求出线段的长度，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）将分别代入和的解析式，由轴可知，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由条件可得：， ， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线， 令，则， 解得：， ∴， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ∴， ∴； （3）当时，，， ∵， ， 即， 解得：或． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）令直线中，求解x即可得到A点坐标； （2）①先计算的长度，因为以为底时，高为点C的纵坐标，结合三角形面积公式可求出点C的纵坐标，再代入直线即可求出点C的横坐标； ②如果，那么解集对应直线在x轴上方部分的x取值范围；如果，那么解集对应直线在直线上方部分的x取值范围，取两个范围的公共部分即可； ③结合图像，当只有两个顶点在外部时，可以确定点A、C在外部，点D在内部，因此点只能在上进行平移，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴， ∵的面积是5， ∴， 解得， 在直线中，令， 即，解得， ∴． ②根据图像可知，的解集为． ③连接，    由题意可得，沿x轴向左平移， 且只有两个顶点在外部， ∴点A、C在外部，即点D在内部， ∴根据图像可得，． 36．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 覆盖十三 勾股定理的新定义 37．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ (1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？ (2)在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． (3)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值． 【答案】(1)正确，证明见详解 (2)当c为斜边时，不是“奇异三角形”；当b为斜边时，是“奇异三角形”，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质，验证两边平方和是否等于第三边平方的2倍即可； （2）分两种情况讨论直角三角形的斜边（c为斜边或b为斜边），利用勾股定理求出第三边，再根据奇异三角形的定义判断； （3）利用直角三角形勾股定理和奇异三角形的定义，建立方程求解三边比例关系． 【详解】（1）解：正确， 证明：设等边三角形的边长为a， ∵，符合“奇异三角形”的定义， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”． （2）解：当c为斜边时，不是“奇异三角形”；当b为斜边时，是“奇异三角形”， 理由：①当c为斜边时， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是“奇异三角形”； ②当b为斜边时，， ∴， ∴， ∴是“奇异三角形”． （3）解：在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵是“奇异三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)已知的三边长分别为4，5，6，则 “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见详解 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，等腰三角形的性质，勾股定理及三角形外角的性质． （1）根据“类勾股三角形”的定义判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：是， 理由：∵的三边长分别是4，5，6， ∴，，， ∵， ∴是“类勾股三角形”． 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴，， ∵是类勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）证明：如图，在线段上取一点D，使，连接，过点C作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴是“类勾股三角形”． 39．定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； (2)如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形” 【答案】(1)假； (2)； (3)①见解析；②见解析． 【分析】（1）先假设是和谐勾股三角形，得出，再由勾股定理得，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形； （2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论； ②先求出，，，，，在与利用勾股定理分别求，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，假设是和谐勾股三角形， ∴， 在中，，根据勾股定理， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形， 即原命题是假命题， 故答案为：假； （2）∵， ∴，， ∵是和谐勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， （3）①在中，，， ∴， 根据三角形的内角和定理得，， ∵把这个三角形分成两个等腰三角形， 当射线经过点C， （Ⅰ）当时， ∵， ∴， ∴， ， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）当时， ∴， ∴，， ∴不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）当时， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 即：分割线和顶角标注如图2所示， 当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； 当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图3，在边上取点D，连接，使， 作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴为“和谐勾股三角形”． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“和谐勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义． 覆盖十四 一次函数中的特殊三角形 40．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 41．如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F， 的长即为的最小值，再求出直线的解析式，即可求得点的坐标，根据，可得点E的坐标； （3）过点M作轴于点F，延长交于点G，设，由点M在线段中垂线上，可得，可得，则，再证明，可得，，再由，即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线表达式为， 将点，代入表达式得， 解得：， ∴直线表达式为． （2）解：如图1，过点C作轴于点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F，此时的长即为的最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时， 点E坐标为，的最小值是． （3）解：如图，过点M作轴于点F，延长交于点G， 设， ∵点M在线段中垂线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交于点G，轴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴，， 如图，此时点在下方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 当时，， ∴，， 如图，此时点在上方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 综上所述，Q点坐标为或． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为：或 (3)B′或， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键． （1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解； （2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解； （3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）， 解：∵，则，， ∴， ∴，则点， 设直线的表达式为， ∴， 解得： ∴直线的表达式为：， 故答案为：，； （2）设点， 由点A、B、P的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：（舍去）或， ∴点； 当为斜边时，, 解得， ∴点P， 当为斜边时， 解得：（舍去）， 综上，点P的坐标为：或； （3）当点P的坐标为时，如图，作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点P的坐标为时，则， 设直线解析式为，与交于点， ∴， 解得：，直线解析式为， 由折叠性质可知：垂直平分， ∵， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：， ∴点， 由中点坐标公式得：点， 综上，B′或． 覆盖十五 一次函数中的绝对值 43．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为______； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当______时，函数有最大值，最大值为______； ②写出该函数的其它性质(写一条即可)______； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______． 【答案】(1)①②作图见解析③作图见解析 (2)①；2②函数图象关于直线对称(答案合理即可) (3)或 【分析】本题考查了描点法作图、函数的性质、利用函数的增减性求参数的取值范围等，数形结合是解题的关键． （1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点； （2）①找到图中最高点，可得结果；②可从函数对称性，增减性方面描述； （3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论， 由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围． 【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式， 可得， 描点，连线如下图所示： （2）①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称； （3）由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 又函数图象关于直线对称， 点关于直线的对称点也在函数图象上， 当点在直线左侧时，点在直线右侧， ，， 由得，或 ，解得或， 或； 当点在直线右侧时，点在直线左侧， ，， 由得，或，解得或， ； 当点在直线上时，，，， ，，有，符合题意； 综上可知，当或时，总有. 44．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 (3)写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于x的不等式的解集为________________． (5)若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大 (4) (5) 【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得，， ， 故答案为：； （2）解：如图所示即为所求；   ； （3）解：由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当，随x增大而增大； （4）解：在中，当时，，当时，， 联立，解得； 联立，解得； ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）解：由函数图象可知，当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， 即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解， m的取值范围为：． 45．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：    (1)化简函数解析式：当时，__________；当时，__________； (2)根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数的图象； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：__________； (4)结合函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见详解 (3)当时，y随x的增大而增大． (4)或或 【分析】（1）根据题意化简表达式即可； （2）由（1）表达式即可画函数图像； （3）根据（2）图象即可解答； （4）根据图象进行判断即可； 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，． （2）图象如下：    （3）当时，y随x的增大而增大． 故答案为：当时，y随x的增大而增大． （4）如图，当时，只有一个实数根， ∴，符合题意， 当时， 只有一个实数根，符合题意， ∴或或． 当时，过一、二、四象限，与只有一个交点，符合题意；    【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 覆盖十六 根式有理化 46．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ． （3） ． 47．阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： (1)若a是的小数部分，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）估算出，则可得到，进而得到，再分母有理化即可得到答案； （2）先分母有理化得到，再求出的值，根据可得答案； （3）设n为正整数，则，据此把所求式子的每一项裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴； （3）解：设n为正整数， 则 ， ∴ ． 48．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 【答案】(1)C (2) (3)2025 【分析】（1）将与进行相乘判断关系即可； （2）先化简x和y的值，再根据提取公因式化简求解即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴有理化因子与互为倒数． 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 覆盖十七 无刻度尺作图 49．按要求完成作图 (1)如图①，平行四边形中，，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作线段，垂足为． (2)如图②，点，分别在平行四边形的边上，．连接，请过点作的垂线，垂足为（仅用无刻度直尺作图）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，连接，并延长交于点，连接，与直线交于点H，此时，则点H即为所求； （2）连接、交于点，连接、，再连接，并延长交于点，连接交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图①，点H即为所求； 证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， 在和中， ， ， ， 、， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：如图②，即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 、， 四边形是平行四边形， ， ． 50．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，点即为所求；    同（1）可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 同法可得：， ∴， ∴， ∴． 51．如图，在中，为对角线，，是的中线．    (1)在图1中用无刻度的直尺画出的高； (2)在图2中用无刻度的直尺画出的高 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，交于点，然后连接并延长交于点，则即为所求； （2）连接，交于点，交于点，然后连接并延长交于点，连接并延长交于点，进而连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接，交于点，然后连接并延长交于点，则即为所求；    ∵在中，为对角线，是的中线 ∴， 则是的中线， ∴是的中线 ∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求；    由（1）同理可得． 【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 覆盖十八 一次函数中的行程问题 52．某电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括型、型两种型号，如果生产2件型产品和3件型产品需成本21万元，如果生产5件型产品和4件型产品需成本35万元． (1)求生产一件型产品和一件型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件型产品售价为5万元，一件型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中型产品的件数是型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产型产品至少多少件？ (3)甲、乙两车为电机厂运输一批电机设备过程中，甲、乙两车分别从P、Q两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向P地行驶，甲车到达Q地后，立即按原路原速返回P地（甲车掉头的时间忽略不计），到达P地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距Q地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题： ①乙车的速度为______千米／时，在图中的括号内应填上的数是______． ②直接写出甲车从Q地返回P地的过程中，与的函数关系式． ③两车出发后______小时相距120千米时． 【答案】(1)生产一件A型产品3万元，生产一件B型产品5万元 (2)5件 (3)①，；②与的函数解析式为；③或或． 【分析】（1）设生产一件A型产品需成本x万元，一件B型产品需成本y万元，根据“生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元”，即可列出方程组，解之即可； （2）设工厂生产A型产品m件，则工厂生产B型产品件，根据销售这批设备共获利不少于58万元，列不等式为，求解即可． （3）①结合函数图象，根据行程问题的数量关系：速度=路程时间，路程速度时间就可以求解； ②由①的结论可以求出点的坐标，再由题意可得点的坐标，由待定系数法求出的解析式； ③分当两车第一次相遇前相距千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达Q地前，相距千米的路程；当甲车到达Q地后返回P地，两车第二次相遇后，甲车到P地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米；分别求解即可． 【详解】（1）解：设生产一件A型产品需成本x万元，一件B型产品需成本y万元，根据题意，得 ， 解得：， 答：生产一件A型产品和一件B型产品各需成本3万元、5万元； （2）解：设工厂生产A型产品m件，则工厂生产B型产品件，根据题意，得 解得：， 答：工厂生产A型产品至少5件． （3）解：①由函数图象可得：P，Q两地相距路程是千米， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 图中括号内的数为：， 故答案为：，； ②，甲车的速度为千米/时， 甲车从P地到Q地需（小时），故点坐标， 设甲车从Q地返回P地过程中与的函数解析式为， 将，代入上式，得 ， 解得， ∴与的函数解析式为； ③设两车出发后小时相距千米的路程， 当两车第一次相遇前相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当两车第一次相遇后，甲车到达Q地前，相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当甲车到达Q地后返回甲地，两车第二次相遇时相距千米的路程， ∵， ∴乙车在停留时两车第二次相遇时相距120千米， 根据题意，得， 解得：， 当甲车到达Q地后返回P地，两车第二次相遇后，甲车到P地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米； 综上，两车出发后小时或小时或小时相距千米的路程． 53．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30；40 (2) (3) 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． （2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 54．无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 【答案】(1)4米/秒，2米/秒，30秒 (2) (3)2秒或10秒或14秒 【分析】（1）根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米，根据速度的定义计算即可；设的解析式为，把代入解析式，确定解析式，再计算时，时间，计算即为联合表演时长； （2）设的解析式为，把代入解析式，确定m的值，根据甲无人机是匀速飞升的，得到，不妨设线段所在直线的函数解析式为，根据（1）得，代入求解即可； （3）利用分类思想，分情况求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米， 故甲无人机的速度为：（米/秒）；乙无人机的速度为：（米/秒）； 设的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 解得， 故联合表演时长为：（秒）； （2）解：设的解析式为，把代入解析式， 得， 解得， 故的解析式为 因为甲无人机是匀速飞升的， 故，不妨设线段所在直线的函数解析式为， 根据（1）得，代入解析式，得， 解得， 故线段所在直线的函数解析式为； （3）解：根据题意，当时，得， 整理，得， 解得（秒）； 设，根据题意，得，解得， 故甲无人机表演时间为（秒）， 当甲无人机在表演，乙无人机飞升8米时，也是符合要求的，此时乙无人机飞升的距离为 米， 因为的解析式为， 故， 解得（秒）； 当甲无人机表演完毕，继续飞升，根据题意，得， 解得（秒）； 故（秒）； 表演完毕以相同的速度返回，此时两架无人机没有距离差； 综上所述，两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间为2秒或10秒或14秒． 覆盖十九 （特殊）平行四边形的动点求 55．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 56．如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)连结，当时，的长为________．当时，的长为________． (3)当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． (4)当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)；5 (3)2或3 (4)或 【分析】本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形的性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； （2）解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； （4）解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 57．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连结，当点P运动到点D时，． (1)当______秒时，平分矩形的面积； (2)连结，当的面积为6时，求t的值； (3)如图2，作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，求t的值． 【答案】(1)8 (2)t的值为或7 (3)t的值为或7 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，当时满足平分矩形面积，进而根据路程求解即可； （2）分类讨论，当点P在上和上，再根据面积建立关于t的方程求解即可； （3）根据对称的性质，可知，所以可以以E为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴ ∵当点P运动到点D时，， ∴， 在中，，， ∴， 如图，当点P在上时，且，时，平分矩形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点在P上时， 此时， ∴， ∴， 即； ②如图，当点P在上时， 此时， ∴， ∴； 综上，t的值为或7； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点A落在边上且靠近点D时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则， ∵矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点A落在边上且靠近点C时， 同理，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，t的值为或7． 覆盖二十 矩形的折叠 58．综合与实践 主题：研究矩形背景下的一类折叠问题，且折痕过矩形的其中一个顶点． 已知矩形中，是上一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点落在矩形内或矩形的边上． 【特殊位置研究】 （1）如图1，若点恰好落在线段上，试求的度数． 【一般路径探索】 （2）如图2，已知，连接，试求的最小值． 【图形拓展深化】 （3）在（2）的条件下，连接，若是等腰三角形，试求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或2 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质得到，则由可得，继而，因此； （2）连接，由，得到当点共线时，最小，对运用勾股定理可求，故的最小值为； （3）①若，由于最小值为，故该种情况不成立；若，则垂直平分，同上可知，则，此时，对由勾股定理可求得；③若， 先证明点G落在上，则，故为等腰直角三角形，因此． 【详解】解：（1）如图： 四边形是矩形， ，， ， 由折叠可知，， ， ， 在中，， ∴， ， ； （2）连接，如图： 由折叠知， ∵， 当点共线时，最小（图2） ， ，， ， 的最小值为； （3）为等腰三角形 有3种情况：或或； ①若； 最小值为， ∴该种情况不成立； ②若，如图3，垂直平分， ∴， ∴， 同上可知， ， ∴， ∴， 而， ∴由勾股定理得：, 解得：； ③若，而， ∴,， ∵,， ∴， ∴点G落在上，如图： ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， 故， 综上，当为等腰三角形时，或2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形三边关系求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 59．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 60．【问题情境】 数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片沿折叠，折痕与边分别交于点E，F，点C的对应点记为，点D的对应点记为． 【特例探究】 （1）如图1，折叠使点C与点A重合，为判断四边形的形状，小明写出了以下证明过程，请帮忙补全： 证明：∵四边形是矩形，∴，∴， 由折叠的性质得：， ，∴，∴ ， ∴，∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是 ． （2）如图2，若点F为的中点，延长交于点P．判断与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，点F在上，且，若，，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1），，菱形；（2），理由见解析；（3）的值为或 【分析】（1）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据折叠的性质结合等腰三角形的性质可得，，，，然后根据菱形的判定即可得； （2）连接，证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点E为的三等分点，且时，②当点E为的三等分点，且时，利用折叠的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：=，=，菱形； （2）， 理由如下：如图2，连接， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为的三等分点，且， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点E作于M， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②如图4，若点E为的三等分点，且， 则，， 过点E作于N， 则， 同理可得：，， 在中，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 覆盖二十一 几何中的函数表达、解析式 61．如图1，在正方形中，点在的延长线上，连结，过点作于点，分别交对角线和边于点． (1)求证：． (2)如图2，连结，已知，设． ①求关于的函数表达式． ②当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）由正方形的性质得到相关角度与线段关系，进而由全等三角形的判定得到，从而得证； （2）①由（1）可知，设正方形边长为，由勾股定理列方程求解得到正方形边长，数形结合，，即可得到答案；②当时，，连结，过作于点，如图所示，求出相关线段长度，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ． ， ， ， ． ； （2）解：①由（1）可知，设正方形边长为， 则． ， ，即； ②当时，，即． 连结，过作于点，如图所示： 则， ． ， ， ． ， 为的中垂线， ． ． 为的中垂线，则， ， ， 在等腰中，，且平分， 由角平分线性质可知，点到的距离为． ． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、求函数表达式、垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质定理等知识．熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合求出相关线段长是解决问题的关键． 62．已知正方形ABCD，AB＝4，点P在边AD上运动，点M是线段CP上一动点． （1）如图1，当点P在A点时，若PM＝3CM，过点M作CM的垂线交BC于点Q，则＝_______； （2）如图2，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交AB于点N，记DP＝x，BN＝y，试求y关于x的函数表达式； （3）如图3，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交正方形对角线BD于点R，试判断MR和CP的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣x+2(0≤x≤4)；（3）PC＝2MR，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出CQ和BQ即可得到答案； （2）连接NP，CN，根据垂直平分线的性质得到PN=NC，可得PA2+AN2＝BC2+BN2，由此构建关系式求解即可； （3）证明△PRC是等腰直角三角形，即可得到PC＝2RM. 【详解】解：（1）如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠CMQ＝90°， ∴， ∵PM＝3CM， ∴CM＝， ∵MQ⊥CM， ∴∠CMQ＝90°， ∴∠MCQ＝∠MQC＝45°, ∴CM＝MQ＝， ∴CQ＝2， ∴BQ＝BC﹣CQ＝4﹣2＝2， ∴ ； 故答案为：1. (2)如图2中，连接NP，CN， ∵MN垂直平分线段PC， ∴PN＝NC， ∴PA2+AN2＝BC2+BN2， ∴(4﹣x)2+(4﹣y)2＝42+y2， ∴y＝x2﹣x+2(0≤x≤4)； (3)如图3中，结论：PC＝2MR， 理由：连接RP，RC，过点R作RE⊥CD于E，RF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠RDE＝∠RDF＝45°， ∵RE⊥CD，RF⊥AD， ∴RE＝RF， ∵RM垂直平分线段PC， ∴RQ＝RC， ∵∠REC＝∠RFP＝90°， ∴Rt△REC≌Rt△RFP(HL)， ∴∠ERC＝∠FRP， ∵∠RED＝∠RFD＝∠EDF＝90°， ∴∠ERF＝90°， ∴∠PRC＝∠ERF＝90°， ∴△PRC是等腰直角三角形， ∴PC＝2RM. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 63．如图，正方形在平面直角坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，． (1)求点坐标； (2)分别在上，连，，于F，设点横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，连并延长至，连交于，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，设，根据正方形的性质及勾股定理得，求解后即可得出答案； （2）如图，过作于，证明四边形是矩形，推出，再证明得，可得结论； （3）设与交于，过点作于点，且交的延长线于点，设，则，证明得，继而推出平分，得，进一步得到，，结合，，得，，可得，在中，可得，求出，得，最后利用待定系数法可得直线解析式． 【详解】（1）解：如图，设， ∵四边形是正方形，、分别在轴、轴的正半轴上，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； （2）如图，过作于， ∴， ∵四边形是正方形，点横坐标为，的长为， ∴，，， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴与的函数解析式为； （3）设与交于，过点作于点，且交的延长线于点，设，则， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 设直线解析式为，过点， ∴， ∴ ∴直线解析式为． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定，待定系数法确定函数解析式等知识点．证明是的平分线，进而得出，是解题的关键． 覆盖二十二 一次函数中的（特殊）平行四边形 64．如图1，平面直角坐标系中，的四个顶点坐标分别为，则有，且；即平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等．如图2，已知直线；点，；为直线与上的动点． (1)设的横坐标分别为，分别用含有的式子表示的纵坐标； (2)若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标． 【答案】(1)的纵坐标为的纵坐标为 (2)，或，或， 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，理解“平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等”是解题的关键． （1）把代入求出y，即可求出点M的纵坐标，把代入求出y，即可求出点N的纵坐标； （2）分三种情况：①以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，②以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，③以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，分别根据平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等，求解即可． 【详解】（1）解：∵为直线上的动点 ∴当时，， ∴点的纵坐标为； ∵N为直线上的动点， ∴当时，， ∴点N的纵坐标为． （2）解：分三种情况：①以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，如图， ∵，；，， ∴解得：， ∴，； ②以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，如图， ∵，；，， ∴解得：， ∴，； ③以点为顶点的四边形是平行四边形时 ，如图， ∵，；，， ∴解得：， ∴，； 综上，以点为顶点的四边形是平行四边形时，，或，或，． 65．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点． (1)请直接写出点，点的坐标，并求出的值； (2)点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）首先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可得答案； （2）表示出设，，得，根据，可得答案； （3）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （2）， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （3）点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， ， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 66．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 覆盖二十三 四边形的新定义 67．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 【答案】（1）或（2）；（3）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据图形可得两种情况，分别利用三角形内角和和四边形内角和推导即可； （2）由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为； （3）①由“边垂角”可证，再根据题干已知条件即可得证； ②由①全等推出，，然后证，得到，最后通过线段的和差即可得证． 【详解】（1）解：若是的“边垂角”，分两种情况： ①如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； ②如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； 综上，或． 故答案为：或； （2）解：由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为， 故答案为：； （3）证明：①是的“边垂角”， ，， ， ， ， ， ； ②证明：， ，， ， ， ， ， ， ． 点关于直线对称点为点， ， ， ． 68．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)-或或 【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可； （2）利用证明，得，可证明结论； （3）首先利用含角的直角三角形的性质求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；    （2）连接，    四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）作于， 四边形平行四边形， ，，， 平分， ，    ， ， 四边形是“等邻边四边形”， 当时，； 当时，作于，    ， 在中，由勾股定理得，， ； 当时，，，， ，    ， ， ， ， ， ， ， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 69．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 覆盖二十四 一次函数的新定义 70．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 71．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 72．【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 【答案】任务1：①，②，；任务2：；任务3：①见详解，②或 【分析】任务1：①由“纵横值”定义得，即可求解； ②设线段上任一点的坐标为，由“纵横值”定义即可求解； 任务2：由“纵横值”定义和得，即可求解； 任务3：①设，由“纵横点”和“纵横值”的定义得，根据要求画出图形，即可求解； ②设，，由“纵横点”求出，可得点为直线与直线的交点，由待定系数法求得直线的解析式为； 同理可求另一条直线，即可求解． 【详解】解：任务1： ①； 故答案为：； ②设线段上任一点的坐标为， ， ，， 当时， ， 即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 任务2： ， ， 整理得：， 故答案为：； 任务3：①设， “纵横点”坐标为，“纵横值”是8， ， 整理得：， 所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下： ②设，， ， ， 整理得：， ， 联立得， 解得， 点为直线与直线的交点， 由图得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为； 同理可求直线的解析式为； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义，待定系数法，理解新定义是解题的关键． 覆盖二十五 正方形的综合与实践 73．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)45，12，2 (2)， (3)或 【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长，交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，则可求出的长，由折叠的性质得出，∠DCF=∠GCF，则可得出答案； （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，证明，由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出b则可得出答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴的周长； ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45；12；2； （2）解：如图2，延长，交于点M， ∵平分， ∴∠2=∠4． 由折叠的性质可知，，． ∴， ∴． ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得． （3）解：分两种情况：①当时， 如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∴， 解得， ∴． ②当时， 如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为4或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 74．综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值． 【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长． 【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； [迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 75．综合与实践 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于正方形面积的，请给出证明． (2)如图2，连接．若正方形的顶点B在线段上，则线段，满足关系，请你给出证明． (3)如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明全等三角形； （2）连接，证明得出相等的角，得出是直角三角形，然后利用勾股定理证明； （3）连接，过点作于点，过点作于点，根据菱形的性质证明和，得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积正方形面积的； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 二次根式的运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1) (2) 覆盖二 一次函数的图象与性质 4．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)写出图象与轴、轴的交点的坐标． (3)求的面积． 5．已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 6．已知正比例函数． (1)若点和点为函数图象上的两点，且，求a的取值范围； (2)若函数的图象经过点． ①求此函数解析式； ②如果x的取值范围是，求y的取值范围． 覆盖三 数据的分析 7．开学初，刘老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐测试（满分为10分），根据测试成绩制作了下面两个统计图． (1)本次测试的学生中，得9分的学生人数是______人； (2)本次测试学生成绩的中位数是______，众数是______；并计算本次测试成绩的平均分； (3)经过一段时间的锻炼，刘老师对50名女生的仰卧起坐进行了第二次测试，测得成绩的最低分为8分，且得9分和10分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.9分，问第二次测试中得9分、10分的学生各有多少人？ 8．“寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 (1)上述图表中　，　　，　　； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 9．河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一，是中原地区规模最大的文物收藏、保护、研究与展示中心．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观完博物院的学生中随机抽取了20名，对《明清河南》和《国宝特展》两个专题陈列进行满意度打分（百分制，分数为整数）． 【数据收集与整理】 实践小组对随机抽取的20名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于85分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：），下面给出了部分信息： 《明清河南》专题陈列的20份打分如下：86，87，90，90，90，91，92，92，93，94，95，95，96，96，97，98，99，99，100，100． 《国宝特展》专题陈列的20份打分中，在B组的数据是：95，95，96，97，97，97． 两个专题陈列满意度打分统计表（部分） 专题陈列 平均数 众数 中位数 《明清河南》 94 a 94.5 《国宝特展》 95 98 b 请你根据上面的信息解答下列各题： (1)上述表中_____，_____，扇形统计图中D组所占圆心角的度数为_____； (2)关于这两个专题陈列满意度打分情况，下列结论一定正确的是_________；（填序号） ①中位数均在B组的取值范围内；②得分在94分以上的一样多；③满分一样多． (3)博物院计划根据此次调查，从这两个专题陈列中选择一个作为“中学生最喜爱的文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由． 覆盖四 平行四边形的证明 10．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 11．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 12．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 覆盖五 勾股定理的解决应用 13．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 14．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 15． 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 覆盖六 特殊平行四边形的证明 16．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 17．如图，在四边形中，，，，过点作，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长为36，，求四边形的面积． 18．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 覆盖七 一次函数的解决应用 19．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 20．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 21．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 覆盖八 二次根式的规律 22．小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律化简：． 23．【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 24．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 覆盖九 尺规作图 25．如图，在中，． (1)【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作边的中线； ②再作点关于点的对称点，并连接、； (2)【推理证明】求证：四边形是菱形． 26．如图，四边形是矩形． (1)实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由． 27．小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点． (1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ， ① ． ． ∵ ② ． ． 即：． 在和中， ， ． ． ∴ ④ ． ， ． ． ∴四边形是矩形． 覆盖十 勾股定理的证明 28．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 29．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 30．三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 覆盖十一 皮克定理 31．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 32．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． （3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形． 33．根据以下思考，探索完成任务． 皮克公式的探索与应用 问题 背景 在单位面积为1的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形． 素材1 如图，探索格点多边形的面积时，把多边形分割成小正方形和三角形，分别计算各个面积并相加，可求出多边形的面积． 素材2 奥地利数学家皮克证明格点多边形的面积公式，格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有关，面积公式可表示为（其中为常数）． 问题解决 任务1 探索皮克公式 在素材2中的两个网格图中，分别画出两个边长不同，且内部只含有4个格点的格点正方形，并根据所画的格点正方形，直接写出应满足的数量关系； 任务2 应用皮克公式 在单位面积为1的正方形网格纸（共110个格点）中，画一个内部有18个格点的格点多边形，满足格点多边形之外的格点数不少于该格点多边形边界上的格点数，求该格点多边形的最大面积． 覆盖十二 两个一次函数相交求解 34．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 36．如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 覆盖十三 勾股定理的新定义 37．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ (1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？ (2)在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． (3)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值． 38．定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)已知的三边长分别为4，5，6，则 “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 39．定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题； (2)如图1，若等腰是“和谐勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图2，在三角形中，，且． ①当时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明为“和谐勾股三角形” 覆盖十四 一次函数中的特殊三角形 40．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 41．如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 覆盖十五 一次函数中的绝对值 43．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为______； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当______时，函数有最大值，最大值为______； ②写出该函数的其它性质(写一条即可)______； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______． 44．在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得_______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 (3)写出函数的一条性质________________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于x的不等式的解集为________________． (5)若关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的m的取值范围． 45．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：    (1)化简函数解析式：当时，__________；当时，__________； (2)根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数的图象； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：__________； (4)结合函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，求实数的取值范围． 覆盖十六 根式有理化 46．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 47．阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： (1)若a是的小数部分，则的值为 ； (2)若，求的值； (3)计算： 48．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 覆盖十七 无刻度尺作图 49．按要求完成作图 (1)如图①，平行四边形中，，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作线段，垂足为． (2)如图②，点，分别在平行四边形的边上，．连接，请过点作的垂线，垂足为（仅用无刻度直尺作图）． 50．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使； (2)如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使． 51．如图，在中，为对角线，，是的中线．    (1)在图1中用无刻度的直尺画出的高； (2)在图2中用无刻度的直尺画出的高 覆盖十八 一次函数中的行程问题 52．某电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括型、型两种型号，如果生产2件型产品和3件型产品需成本21万元，如果生产5件型产品和4件型产品需成本35万元． (1)求生产一件型产品和一件型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件型产品售价为5万元，一件型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中型产品的件数是型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产型产品至少多少件？ (3)甲、乙两车为电机厂运输一批电机设备过程中，甲、乙两车分别从P、Q两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向P地行驶，甲车到达Q地后，立即按原路原速返回P地（甲车掉头的时间忽略不计），到达P地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距Q地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题： ①乙车的速度为______千米／时，在图中的括号内应填上的数是______． ②直接写出甲车从Q地返回P地的过程中，与的函数关系式． ③两车出发后______小时相距120千米时． 53．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 54．无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 覆盖十九 （特殊）平行四边形的动点求 55．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 56．如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)连结，当时，的长为________．当时，的长为________． (3)当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． (4)当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 57．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒（），连结，当点P运动到点D时，． (1)当______秒时，平分矩形的面积； (2)连结，当的面积为6时，求t的值； (3)如图2，作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，求t的值． 覆盖二十 矩形的折叠 58．综合与实践 主题：研究矩形背景下的一类折叠问题，且折痕过矩形的其中一个顶点． 已知矩形中，是上一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点落在矩形内或矩形的边上． 【特殊位置研究】 （1）如图1，若点恰好落在线段上，试求的度数． 【一般路径探索】 （2）如图2，已知，连接，试求的最小值． 【图形拓展深化】 （3）在（2）的条件下，连接，若是等腰三角形，试求的长． 59．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 60．【问题情境】 数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片沿折叠，折痕与边分别交于点E，F，点C的对应点记为，点D的对应点记为． 【特例探究】 （1）如图1，折叠使点C与点A重合，为判断四边形的形状，小明写出了以下证明过程，请帮忙补全： 证明：∵四边形是矩形，∴，∴， 由折叠的性质得：， ，∴，∴ ， ∴，∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是 ． （2）如图2，若点F为的中点，延长交于点P．判断与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，点F在上，且，若，，当点E为的三等分点时，直接写出的值． 覆盖二十一 几何中的函数表达、解析式 61．如图1，在正方形中，点在的延长线上，连结，过点作于点，分别交对角线和边于点． (1)求证：． (2)如图2，连结，已知，设． ①求关于的函数表达式． ②当时，求四边形的面积． 62．已知正方形ABCD，AB＝4，点P在边AD上运动，点M是线段CP上一动点． （1）如图1，当点P在A点时，若PM＝3CM，过点M作CM的垂线交BC于点Q，则＝_______； （2）如图2，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交AB于点N，记DP＝x，BN＝y，试求y关于x的函数表达式； （3）如图3，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交正方形对角线BD于点R，试判断MR和CP的数量关系，并说明理由． 63．如图，正方形在平面直角坐标系中，、分别在轴、轴的正半轴上，． (1)求点坐标； (2)分别在上，连，，于F，设点横坐标为，的长为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，连并延长至，连交于，若，，求直线的解析式． 覆盖二十二 一次函数中的（特殊）平行四边形 64．如图1，平面直角坐标系中，的四个顶点坐标分别为，则有，且；即平行四边形对角顶点横，纵坐标的和分别相等．如图2，已知直线；点，；为直线与上的动点． (1)设的横坐标分别为，分别用含有的式子表示的纵坐标； (2)若以点为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标． 65．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点． (1)请直接写出点，点的坐标，并求出的值； (2)点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 66．如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 覆盖二十三 四边形的新定义 67．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 68．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．    (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上． (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度． 69．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    覆盖二十四 一次函数的新定义 70．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 71．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 72．【材料：学习理解】 定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”． 定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标． 分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为． 【任务1：特值感悟】若坐标为， ①到的“纵横值” （直接写出）； ②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）； 【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）； 【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上， ①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形； ②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ． 覆盖二十五 正方形的综合与实践 73．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 74．综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值． 75．综合与实践 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于正方形面积的，请给出证明． (2)如图2，连接．若正方形的顶点B在线段上，则线段，满足关系，请你给出证明． (3)如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $