湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习专题1（三角函数的图像与性质）

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，通过辨析、计算、应用题型系统覆盖对称性、单调性、周期性及实际建模，强化知识逻辑与解题迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像性质辨析|4题|对称性/单调性/图像变换判断|从概念（对称中心、对称轴）到性质（单调区间）的推理| |参数求解与变换|6题|ω/φ求解及平移伸缩应用|由图像特征推导参数，体现性质与解析式的关联| |综合应用与建模|4题|解析式确定与实际问题建模|从数学模型（水车、潮汐）抽象数量关系，发展模型观念|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学 期末 复习专题1 （三角函数的图像与性质） 一、多选题 1．已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，函数， 由，得， 则函数的图象关于点对称，即， 当时，；当时，，BD是， 不存在整数，使得，AC不是. 2．函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判断选项D. 【详解】由图像可知，函数最小值为，且，因此. 由图可得：函数过点和，代入得： ，结合，得； ，结合五点法作图可得，解得， 由，可得，， 所以当时， 故，A正确. 选项B：代入，得， 函数关于中心对称，B错误. 选项C：令， 解得：单调递增区间为. 当时，增区间为，而，区间包含递减部分，因此在该区间不是单调递增，C错误. 选项D：向左平移个单位， 可得，D正确. 3.关于函数，有以下命题，正确的是（ CD  ） A．函数的对称中心是， B．函数的定义域是 C．直线与函数的图像的相邻两个交点间的距离为定值 D．的一个单调递增区间为 4.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的（ ACD   ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 二、填空题 5．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得. 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 6．已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 【答案】 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性与最值特征，根据给定区间的最大值条件求解参数。 【详解】因为， 所以， 当时，， 若在区间上的最大值为， 则，， 则，即得. 7．已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出取得最小值，再根据正弦函数的对称性求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即，所以当时，正数取得最小值， 此时．令，则， 故所求函数的图象的对称轴方程是． 8．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． () 9.若函数在上有4个最值，则______． 10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 【答案】 【分析】先通过阴影部分的面积平移和拼接可得一个长为宽为的矩形，从而可得， 再根据是的最大值点及是的一个对称中心，结合五点作图法可得. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 所以. 因为图中阴影部分的面积为，根据对称性可得阴影部分的面积可以平移拼接为一个宽为长为的矩形,如图： 所以. 又因为在处取得最大值，在处的值为，根据五点作图法， ，，得，代入得. 所以，. 三、解答题 11．已知函数的最大值为1，最小值为，试确定的单调减区间． 【详解】，，解得，即， 当时，， 令，， 得． 当时，， 令， 得， ∴当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为． 12．已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数且图象上相邻两个最高点的距离为，函数的最小正周期为，则， 又关于点中心对称，， 则，而，所以， ． 当时，，当，即时，取得最小值1． 要使恒成立，则的取值范围是． （2）由题意，函数． ，要使函数有且仅有4个零点， 则，解得，所以的取值范围是． 13．已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式和单调区间； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为：单调递减区间为： (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，进而求出，再根据正弦型函数的单调性求出的单调区间； （2）先求出在区间内的值域，运用换元法转化已知条件为恒成立，进而利用二次函数的性质构造不等式组求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数图象相邻对称轴之间的距离是， ，故， ，解得， ， 将的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象， 函数为偶函数， ， ， ，故， 令，解得； 令，解得． 函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）， ，故， 令，则恒成立， 等价于恒成立， 函数是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点， 由二次函数图象的性质，要使恒成立， 需满足，解得， 实数的取值范围为． 14．潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学 期末 复习专题1 （三角函数的图像与性质） 一、多选题 1．已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 2．函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 3.关于函数，有以下命题，正确的是（ ） A．函数的对称中心是， B．函数的定义域是 C．直线与函数的图像的相邻两个交点间的距离为定值 D．的一个单调递增区间为 4.水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的（   ） A． B． C．当时， D．当时，点到水面的距离的最大值为2 二、填空题 5．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 6．已知函数．若在区间上的最大值为，则___________． 7．已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 8．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 9.若函数在上有4个最值，则______ 10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 三、解答题 11．已知函数的最大值为1，最小值为，试确定的单调减区间． 12．已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 13．已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式和单调区间； (2)若，都有，求实数的取值范围． 14．潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 学科网（北京）股份有限公司 $