专题08 期末压轴题（7大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

**基本信息** 湖北多地名校高一下期末压轴题汇编，聚焦平面向量、三角函数与解三角形、立体几何、统计四大高频考点，融合数学文化（如奔驰定理、费马点、秦九韶公式）与动态几何问题，提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|15题|平面向量（奔驰定理、费马点）、立体几何（阿基米德多面体）|结合数学史与跨情境应用| |填空|1题|三棱锥体积与距离最值|动态几何与空间想象| |解答题|12题|三角函数（秦九韶公式、布洛卡点）、统计（协方差计算）|多问分层设计，强调逻辑推理与创新应用|

专题08 期末压轴题 4大高频考点概览 考点01平面向量 考点02三角函数与解三角形 考点03立体几何 考点04统计 ( 地 城 考点01 平面向量 ) 1．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，求出其取值范围，再进行判断即可. 【详解】如图： 设，，因为，，，， 所以可取，，由题意点在第四象限，设，，则. 所以. 因为，所以，所以. 所以， 所以. 故选：B 2．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 3．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且 (1)求角C； (2)求； (3)已知在中，若点P为平面上任意一点，求的最小值； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得； （2）由题设、，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得； （3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得. 【详解】（1）因为，又， 所以，又大于0，故，所以， 又，结合三角形内角性质，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：，整理得， 则； （3）在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 由题意知，当点为的费马点时，取最小值， 在等腰中，，，， 因此，的最小值为. ( 地 城 考点02 三角函数与解三角形 ) 4．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 5．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)已知的内角． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若是边上的一点，当最大时，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，坐标代入，利用半角公式化简可得，利用两角和差余弦公式展开可得，即可求解； （2）根据，结合（1），再利用基本不等式即可得到的范围，从而得到的取值范围； （3）当最大时，，然后利用正弦定理结合正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1），， 即，， 则，即． 化简得：． （2）在中，． 由（1）知，且是的内角， ． 当且仅当时等号成立． ． ，当且仅当时等号成立．． （3）当最大时，， 由，可得， ，当与和点重合时，， 当与和点不重合时，． 在中，由正弦定理，， 即， 又，． 综上，的长的取值范围是． 6．(24-25高一下·湖北荆门·期末)我们知道：函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象关于成中心对称图形. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明： (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）奇函数的定义列出等式，求解m即可； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意得出是奇函数，且在上单调递减，根据条件计算不等式即可. 【详解】（1）因为关于对称，所以是奇函数， 则，即， 即， 对定义域内任意实数成立. 即. （2）在上单调递减， 任取，且 ， 因为，则，则， 故在上单调递减. （3）因为关于对称，所以是奇函数，且在上单调递减， 由 所以， 所以 所以， 即对任意都成立， 由于，其中， 所以，即最小值为，所以， 即，解得. 故实数的取值范围为. 7．(24-25高一下·湖北黄石·期末)（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】BCD 【分析】A选项，C为锐角，但不确定A，B是否是锐角；B选项，由正弦定理和同角三角函数关系得到，所以，B正确；C选项，由正弦定理和大角对大边得到C正确；D选项，变形得到，令，得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】A选项，，故C为锐角，但不确定A，B是否是锐角，A错误； B选项，，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以，B正确； C选项，，由大角对大边得，由正弦定理得， 故，C正确； D选项，， ， 故， 故， 为锐角三角形，故，所以， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BCD 8．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； (2)对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量运算可得，再借助向量平方与结合余弦定理计算可得，最后利用面积公式及基本不等式计算即可得； （2）先假设，，，由题意可得，，，则，不符；则可设，可得，则三个内角中的最小值为. 【详解】（1）（ⅰ）证明：因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以，所以是等腰三角形； （ⅱ）因为点D满足， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得，又， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以线段的最小值为； （2）若，则或， 若，，，由， 所以，此时， 与矛盾，不符合题意； 不防设，由，所以， 所以，又，， 所以，解得，即三个内角中的最大值为， 余弦函数在上是单调递减函数，所以三个内角中的最小值为. 9．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)若，求； (2)已知角所对的边分别为，且，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为6，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）设，由余弦定理得，表达出其他各角，在两个三角形中分别由正弦定理得，，得到方程，解得； （2）在和中，分别使用正弦定理得到方程组，两边相乘得； （3）由题意有，利用向量数量积公式和余弦定理得到，结合基本不等式和三角形边的关系，求出，单调递减，从而求出的值域. 【详解】（1）设，由时，得， 由余弦定理得， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 又由题干知，在中，由正弦定理得， 解得， 所以，即， 即，解得． （2）由，则，， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， ， 由正弦定理得，，得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘得； （3）由题意有， 则 ， 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减， ， 所以的值域为． 10．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． (1)用公式证明“三斜求积”公式； (2)若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； (3)在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，． 【分析】（1）由三角形的面积公式结合余弦定理以及同角的三角函数关系可得； （2）由面积新定义结合二次函数的性质可得； （3）将三棱锥补形成与其共外接球的长方体，方法一：结合余弦定理，正弦定理，基本不等式运算可得；方法二：由面积新定义结合正弦定理，三角形的面积公式计算出，然后化简，基本不等式运算可得. 【详解】（1）    因为，由余弦定理得， 所以 所以 所以得证． （2）的面积是的面积的2倍，     设，，所以      所以当时，面积的最大值为． （3）由题意，将三棱锥补形成与其共外接球的长方体， 设其三条边长为，，，则，    设等腰四面体的外接球半径为， 所以，所以，     在中，由余弦定理得， 所以 设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以     所以 因为 所以      因为          所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．     法二： 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式得，， 所以， 所以 因为 所以      因为          所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． ( 地 城 考点0 3 立体几何 ) 11．(24-25高一下·湖北宜昌葛洲坝中学·期末)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．直线与的夹角为60° D．平面 【答案】D 【分析】将二十四等边体补全成一个棱长为的一个正方体，进而逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，二十四等边体是由6个边长为2的正方形和8个边长为2的等边三角形围成， 所以表面积为，A正确； 对于B，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，则该正方体的体积为 ，其中每个小三棱锥的体积为， 所以该二十四面体的体积为，所以B正确； 对于C，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，如图， 易知，与所成角为，所以直线与的夹角为，C正确； 对于D，由正方体易知：， 所成角为，所以所成角为， 又在平面内， 所以平面不成立，故D错误； 故选：D 12．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知三棱锥，侧棱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥体积为___________；D为内切圆（含圆内）上一动点，设D到平面的距离为m，D到平面距离为n，则的最大值为___________． 【答案】 96 / 【分析】第一空，可由三棱锥的边长关系得出全等，从而得出为三棱锥的高，得出三棱锥的体积；第二空，建立空间直角坐标系，根据题意条件设出点坐标，利用空间点面距公式分别用表示，可得，进而利用函数单调性求最小值. 【详解】如图所示，取中点， 在等腰中，， 则， 等腰直角中，， 又，又，为公共边， 所以全等， 故，又，平面， 故平面. 因此三棱锥的体积 ； 设的内切圆半径为，其面积， 周长， 由，则，解得. 如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,,,，， 内切圆圆心， 则，，； 在平面内，直线，即； 直线，即， 设，由D为内切圆（含圆内）上一动点， 则，可得， 且，， 且. 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 所以. 设，则在上单调递减； 故，即时,等号成立， 故当且仅当点与中点重合时，取最大值，最大值为. 故答案为：96；.    13．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)（多选）如图所示，在正方体中，O为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A．O、M、三点共线 B．平面 C．直线与直线是相交关系 D．二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由点线面的位置关系说明即可；对于B，说明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；对于C，由异面直线的定义说明即可；对于D，由二面角的定义说明二面角的平面角为，再结合余弦定理验算即可. 【详解】对于A，如图所示，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面的交线为， 又平面，平面， 所以，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 而平面，从而， 不妨设正方体棱长为1，则， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以，， 所以，所以， 又因为，平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，因为是相交的关系，是平行关系，所以直线与直线是异面关系，故C错误； 对于D，如图所示， 设正方体棱长为1，则三角形是边长为的等边三角形，三角形是腰长为1的等腰直角三角形， 取中点，所以平面，平面， 所以二面角的平面角为， 过点作，又因为面面，面， 所以面， 又因为面，所以， 而， 从而， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 14．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)如图，四棱锥中，平面平面． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；（ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【详解】（1）（i）证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． （2）由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 15．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（多选）如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（   ） （注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先证明最小角定理与最大角定理，从而得，由此判断AC；再举例建系求解，说明BD项大小关系可能成立. 【详解】①证明：（最小角定理）线面角是平面内的一条斜线与该平面内的直线所成角中的最小角. 如图，是平面的一条斜线，点在平面内的射影为，直线是平面过点除外的任意一条直线. 下面先证明. 过作，垂足为，由平面，平面， 则，又，且平面， 故平面，平面，则， 故都是直角三角形， 则， 从而，又， 故，而即为与平面所成的角. 又由直线所成角定义可知，直线经过平移后不改变所成角， 故最小角定理得证. 由最小角定理，本题中可得，故C大小关系不可能成立； ②证明：（最大角定理）两平面的夹角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角. 如图，为锐二面角的棱，为棱上一点，，且，是上异于点的任一点. 下面先证明. 由题意可知，是锐二面角的平面角，即平面的夹角. 由，，则， 则都是直角三角形， 则. 从而，由题意又， 则，即最大角定理得证. 由最大角定理，在本题中可得，故A大小关系不可能成立； B项，举例如下：如图，在四面体ABCD中，及都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上的中点，N是棱上的中点（不与四面体的顶点重合）. 如图，取中点，由可得，且. 平面平面， 又平面平面，平面， 则平面，同理，平面. 由得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故B项大小关系可能成立； D项，举例如下： 如图，在四面体中，与都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上靠近的五等分点（）， N是棱上的靠近的四等分点（），（不与四面体的顶点重合）. 由题意可知，又平面平面， 且平面平面，平面， 则平面. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故D项大小关系可能成立； 综上，大小关系不成立的是AC. 故选：AC. 16．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使得直线平面 B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可判断ABC的正误，利用展开法，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，过点与平面平行的直线都在过点与平面平行的平面内， 易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图 所示的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点， 由于，平面，平面， ∴平面与直线平行，∴平面与线段没有公共点， 即点在平面外，点在平面内，所以不存在点， 使得平面平面，故A错误； 对于B，∵正方体的对面互相平行，∴过三点的平面截正方体的 对面所得的截线互相平行，又∵点为线段的中点， ∴截面交于其中点，连接，则四边形即为所求截面， 显然为等腰梯形，且， 梯形的高， 面积为，故B正确； 对于C，∵，平面，， ∴平面，又∵，∴点到平面的距离为定值， 又∵的面积为定值，∴当点在线段上运动时， 三棱锥的体积不变，当点与点重合时， ， 故C正确； 对于D，将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图所示， ， 当共线时取等号，故D错误. 故选：BC. 17．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（    ） A．当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．存在某个位置，使 C．当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D．当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点， 连接，可得，又因为，， 所以平面，因为平面，所以，必有， 但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误； 对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，此时四棱锥体积最大， 点到平面的距离为，所以C正确； 对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角， 当二面角—DE—B的大小为时，即 ， 因为，所以为等边三角形，可得， 又由，所以异面直线与所成得的角， 即为直线与所成得的角，即， 则，所以D正确． 故选：ACD. 18．(24-25高一下·湖北黄石·期末)（多选）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点，CD，AB分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（   ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．直线EF与圆台下底面所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，研究轴截面，设内切圆半径为，利用等面积法求出腰长，即为母线长；对于B选项,利用侧面积公式直接计算铁桶侧面积即可；对于C选项，过点作于点，说明所求为，结合解三角形知识即可验算；对于D选项，在轴截面ABCD中，通过相似三角形求得另一个球半径最大值. 【详解】对于选项A，如图所示， 由题，铁桶的轴截面是上底为4,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故铁桶的母线长为3，A正确； 对于选项B，侧面积公式为，故B正确； 对于选项C，如图所示，过点作于点， 由图可知，其中， 而母线长为3，所以点为线段的靠近点的三等分点， 由A可知，，所以，， 由于垂直底面圆， 所以垂直底面圆， 如图所示， 所以直线EF与圆台下底面所成角为， 因为，，所以 所以，故C错误； 对于选项D，当球与球、桶盖、桶壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得另一个球半径的最大值为. 故选：ABD. 19．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）在中，，点是的中点，点满足，将沿直线向上翻折至，得到四棱锥，下列说法正确的是（   ） A．，//平面 B． C．若，则翻折过程中线段扫过的曲面面积为 D．若点在平面上的射影恰好落在线段上，则与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据线面平行的判定定理判断A的真假；根据线面垂直的判定定理得到平面，再根据线面垂直的概念可得线线垂直，可判断B的真假；先确定线段扫过的曲面的形状，再求其面积，可判断C的真假；找出直线与平面所成的角，分析何时所成角的正弦值最大，并求最大值，可判断D的真假. 【详解】在中，由余弦定理可得： ，所以. 所以是等腰三角形，腰长为2，底角为，顶角为. 对A：如图： 当时，为中点，又为中点，所以， 平面，平面，所以平面.故A正确； 对B，如图： 过作，垂直为，连接，，根据翻折的性质可知， 又平面，，所以平面. 又平面，所以.故B正确； 对C：当时，. 在中，由余弦定理可得： ， 因为， 所以时以为直角顶点的直角三角形. 所以所扫过的曲面是圆锥的一部分. 在中，，，由余弦定理可得： ， 所以. 所以所扫过的曲面面积为：，故C错误； 对D：如图： 因为点在平面的射影恰好落在线段上，设为，则平面. 设与平面所成的角就是，记为，则. 而当时，有最小值，为， 所以， 所以.故D正确. 故选：ABD 20．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图，点是边长为2的等边内部（不包括边）任意一点，绕点逆时针旋转得到．    (1)若，求； (2)若，求的周长； (3)求面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理直接计算,即为； （2）根据已知可以判定点轨迹为一段圆弧，然后建立合适的坐标系，利用坐标方法求得点的坐标，进而求得,然后利用几何分析得到所求； （3）先设定,由于为等边三角形，可得与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，然后进行几何分析，再结合基本不等式求得. 【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得到，∴绕点逆时针旋转得到，∴为等边三角形． . （2）∵ ，∴的外接圆半径, 设外接圆心,以为原点，射线为轴,建立直角坐标系，如图所示:    设与轴正方向所成的角为,点轨迹为圆弧（不含端点）. ， , 解得,∴, ∴点坐标为,由于,所以点在圆弧（不含端点）上，符合题意. 由于∴为等边三角形，∴, ∵绕点逆时针旋转得到，∴, ∴求的周长即为求. 当点坐标为时, ， 所求的周长. 当点坐标为时,同理可得所求的周长. ∴所求的周长. （3）设,由于为等边三角形， 设，垂足为,则, ∴与以为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，切点为. 如图所示：    设弧与交点为,,垂足为 则,当且仅当重合时，重合，此时, ∴ ． 当且,即恰好为中心时取到“等号”， ∴面积最大值为． 21．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点B到达点P的位置． (1)求三棱锥体积的最大值； (2)当二面角的平面角为时，求三棱锥外接球的表面积； (3)在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据当平面平面ACD时，最大，计算即可； （2）补全图形为三棱柱，计算外接圆半径，然后根据外接球半径，最后利用球的表面积公式计算即可. （3）作出图形，得到点B关于点A对称点，然后得到，依据，最后计算即可. 【详解】（1）∵点P到平面ACD的距离， ∴当平面平面ACD时，最大，． （2）如图，将三棱锥补成正三棱柱， 则为二面角的平面角，AP=2， 设与外接圆圆心分别为，，则球心O为的中点， ，设外接圆半径为，由，所以， 则外接球半径，所以外接球的表面积． （3）如图，设点与点B关于点A对称，则， 翻折中点P在以A为圆心、半径为2的圆周上运动，四边形为正方形，且， ∴异面直线PD与AC所成角为，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围为． 22．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图所示，已知六面体中，四边形是边长为2的正方形，且，平面，直线与平面所成角为． (1)求证：平面平面； (2)已知，求平面和平面夹角的余弦值； (3)平面和平面的夹角为，且，求六面体体积最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理得到，可得平面，最后根据面面垂直的判定定理可得结论. （2）构造二面角的平面角，利用解三角形的方法求二面角平面角的余弦. （3）用表示出六面体中各线段长度，借助三角函数的性质求体积的最大值. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，又， 平面，，所以平面. 又平面，平面，平面平面， 所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）如图： 易证，所以四边形为平行四边形，且， 作平面平面，分别交，于点，，则，. 因为平面平面，所以就是直线与平面所成的角，所以. 又平面，平面， 所以，，所以即为平面与平面所成锐二面角的平面角， 也就是平面与平面的夹角. 在中，由正弦定理可得：，所以. 即平面和平面夹角的余弦值为. （3）因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面，， 所以平面平面. 又，且平面. 所以六面体为直四棱柱. 因为平面和平面的夹角为，即. 在中，由正弦定理可得：， 即，所以，. 所以四边形的面积为： . 又六面体体积为： （当时取等号）. 即六面体体积的最大值为：. 23．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)类比于二维向量，维空间向量用n元有序数组表示，记为，，且n维空间向量满足，，，． (1)设和是两个n维空间向量． ①求； ②设与的夹角为θ，求； (2)对于一个n元向量，若，称为n维信号向量．规定．已知k个两两垂直的120维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都相同，证明：． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】（1）①先得到，然后再根据公式计算即可；②按照n维空间向量夹角公式计算即可. （2）根据定义可知，然后根据，最后得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， ①． ②因为，， 所以． （2），， 则，， 则，设，，…，的第i个分量之和为， 又因为，故， 所以， 又，所以， 即，所以． 24．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：． （2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明： ①若，则（如图2）； ②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据三点共线的推论可得，，进而列式求证即可； （2）①根据线面平行的性质，由可得，再结合E为AB的中点，可得G为BC中点，进而得到，进而求证即可；②结合（1）可得，由E，F分别为AB，CD中点可得，连接EF，ED，进而结合棱锥的体积公式求证即可. 【详解】（1），由知， 又P，Q，R三点共线，①， 由知②， 不共线， 由①②及平面向量基本定理有， ，化简得，得证； （2）①，平面ACB经过AC且与平面相交于EG， ，又E为AB的中点，G为BC中点， F为CD中点，， ，，得证； ②由已知有AC，EG，TF三线相交于点K， 由（1）有， E，F分别为AB，CD中点，， 记，四面体ABCD的体积为V，多面体的体积为， 连接EF，ED，则有， ， ， 即平面平分四面体ABCD的体积，得证. 25．(24-25高一下·湖北荆门·期末)如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，为的中点，点在平面内的射影为点，且. (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若记，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）证明出，且，从而得到线面垂直，得到； （2）作出辅助线，得到平面，点到平面的距离即为，对于平行四边形，建立平面直角坐标系，根据，得到，即，则，求出各边长，求出点到平面的距离； （3）表达出，求出，由余弦定理可得，由正弦定理得到的外接圆半径，设三棱锥的外接球半径为，则，结合二次函数性质求出最值，求出. 【详解】（1）因为平面平面， 则， 且平面， 所以平面， 且平面，所以 （2）作，垂足为，连接，过点作， 若为等边三角形，则为中点， 因为平面平面，则，且， 且平面，可得平面， 又平面，则平面平面， 又平面平面，平面， 则平面， 点到平面的距离即为， 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得， 即， 因为为中点，可知：，则， 即，则， 可知三棱锥的高， 在中，， 故由等面积法知：， 所以点到平面的距离为. （3）， 由题意可知：，由（2）可知：点在直线上， 结合（2）中数据可得：， 在中，由余弦定理可得 ， 设的外接圆半径为，则， 设三棱锥的外接球半径为， 则 ， 且，可知当时，即时，取到最小值， 即外接球表面积取到最小值，此时. 26．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点. (1)求的解析式； (2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线与平面所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由图有先求周期，进而求，最后代点求出即可； （2）（i）法一：如图①，设在平面上的射影为，连接、，在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，由在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，在计算即可；法二：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）法一：取线段的中点，线段的中点为，连，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点的圆，计算圆的半径，同理可得，球被平面所截的图形也是半径相同的圆，最后利用球缺和球的体积公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系， 设线段的中点为，在平面上的射影为，计算以为球心，半径为的球被半平面和平面所截所截的图形为圆的半径，最后利用球缺和球的体积公式即可求解. 【详解】（1）由图可得，，周期，所以， 由，得，所以， 所以，因为，所以当时，， 所以； （2）（i）法一 如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，. 在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，， 因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为， ，所以和平面所成角的正弦值为. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②， 设在平面上的射影为，则，，，，，， 平面的法向量为 设直线和平面所成角为，则 （ii）法一 由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线 取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴 设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面 ，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得， 球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则 因为，得球缺的高，故，，故. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示 设线段的中点为，在平面上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为 以为球心，半径为的球被半平面所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则， 即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则 因为，得球缺的高，故 ，故. ( 地 城 考点0 4 统计 ) 27．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（多选）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 28．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【详解】（1） 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： （2）解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：                      甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩：                  由甲、乙同学成绩数据可知： （3）欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式     …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题08 期末压轴题 ☆4大高频考点概览 考点01平面向量 考点02三角函数与解三角形 考点03立体几何 考点04统计 目目 考点01 平面向量 1.(2425高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知平面内三个不同的单位向量ā，五，c,满 足a.b>0,ic=0,bc<0, 则a+6+d可能的取值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高一下，湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知0是ABC内的一点，若△B0C、△AOC、 A0B的面积分别记为S、S2、S,则S·0A+S,·0B+S,·0C=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美 的结论，这个定理对应的图形与“奔驰轿车的1ogo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知0是 ABC的垂心，且20A+30B+40C=0,则tanA=() 0 A.6 B.6 C.3v6 D.√6 4 2 3.(24-25高一下·湖北武汉常青联合体期末)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费 马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点托里拆利确定费马点的方法如下： ①当ABC的三个内角均小于120°时，满足∠A0B=∠B0C=LC0A=120°的点O为费马点； ②当ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点 请用以上知识解决下面的问题： 己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M为ABC的费马点，c=1且 sin B=sin C cos B sin A 1/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1)求角C; (2 MA.MB+MB.MC+MA.MC (3)已知在ABC中，若点P为ABC平面上任意一点，求AP-AB+AP-AC+AP+AC的最小值： 目目 考点02 三角函数与解三角形 4.(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学期末)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8且 C sin B tan 若ABC面积为4，则tanC=() 2 2-cos B 1 A.2 B:2 4 D. 3 5.(24-25高一下湖北恩施州期末)已知ABC的内角A,B,C,m= (I)求tan A tan B的值； (2)求C的取值范围； (3)若M是边AB上的一点，当∠ACB最大时，MC=(-L,V3),求AC的长. 6.(24-25高一下·湖北荆门期末)我们知道：函数y=∫(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函 数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=∫(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的 要条件是函数y=x+a-b为奇函数已知函数t十的图象关于Q叫成中心对称图形 (1)求m的值； (2)判断∫(x)的单调性，并用定义证明： (3)如果对任意xeR,不等式fa2+cos2x)+f(2sinx-3a)>2恒成立，求实数a的取值范围. 7.(24-25高一下湖北黄石期末)（多选）己知ABC的内角A,B,C的对边分别为α，b,c,则() A.若a2+b2>c2,则ABC为锐角三角形 B.若bcosA=acosB,则ABC为等腰三角形 C.若A>B,则sinA>sinB D.若ABC为锐角三角形，且sinA=2 sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值为8 8.(24-25高一下.】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,C. 2/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (1 (sin C-sin A)(c+a)=2bsin(C-A), (i)求证：ABC是等腰三角形； (i)已知ABC的面积为18，点D满足CD=2DB,求线段AD的最小值； (2)对于ABC,若存在△MNP,使得sinA=cosM,sinB=cosN,sinC=cosP,则称△MNP为ABC的 伴随三角形，若ABC存在伴随三角形，求出△MNP三个内角中的最小值 9.(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，若ABC内一点P满足∠PAB=LPBC=LPCA=a, 则称P为ABC的布洛卡点，为布洛卡角.某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确 的结论，比如LAPC=π-∠BAC,若下列问题中的点P为ABC的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： )若AB=AC,∠BAC,求anQ (2)已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且∠ABP=LPBC=a,求证：b2=ac: (3)在(2)的条件下，若ABC的周长为6，试把BA.BC表示为b的函数∫(b),并求f(b)的值域. 10.(24-25高一下·湖北襄阳·期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个 题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几 何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为 实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的三斜求积”公式.若ABC的内角A,B,C的对应边 分别为a,b,c,面积为S,则三斜求积公式为S -c V4 2 (用S=nC公式证明三斜求积公式： (2)若等腰三角形ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD=2,求ABC面积的最大值； (3)在三棱锥E-FGH中，FG=EH=a,FH=EG=b,EF=HG=c,其外接球的表面积为S,△FGH的 外接圆面积为S,试用。，人表示受，并求司 的最大值 S, 参考公式： (a2+b2+c2)(a+b+cl(a+b-cl(a+c-bj(b+c-a)=8a2b'c2+(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)(b2+c2-a2） 目目 考点03 立体几何 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25高一下湖北宜昌葛洲坝中学期末)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形 面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米 德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论 中，错误的是（) B A.该石凳的表面积为24+83 B.该石凳的体积为40√2 3 C.直线LH与BC的夹角为60° D.DH⊥平面LEI 12.(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学期末)已知三棱锥S-ABC,侧棱SA=SB=SC=10,底面ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AC=12,则该三棱锥体积为 ;D为△SAC内切圆（含圆 内)上一动点，设D到平面SBC的距离为m,D到平面SAB距离为n,则m+n的最大值为 13.(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)（多选）如图所示，在正方体 ABCD-A,B,C,D,中，O为DB的中点，直线AC交平面BDC,于点M,则下列结论正确的是() D B A D A.O、M、G三点共线 B.A,C⊥平面BDC C.直线AC与直线DD是相交关系 D.二面角B-DC-D的平面角的余弦值为- 3 14.(24-25高一下·湖北恩施州期末)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面 ABCD,PA=PB=AB=BC AD =2. 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P C 若∠BAD=AB=CD,记三棱锥P-A8C外接球的球心为O (i)求证：OD/1平面PAB; (i)求三棱锥P-ABC外接球的表面积. ②证∠a1D0.0e0} 当∠ABC=元+日时，求三棱锥P-BCD体积的最大值， 15.(24-25高一下·湖北部分重点高中期末)（多选）如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱 CD上的动点(M、N不与四面体的顶点重合).记BN与DM所成的角为p,BN与平面MCD的所成的角为O, 平面MCD与平面BCD的夹角为B,则o,0,B的大小关系不可能是() B (注：平面与平面B相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面B的夹角) A.9>0>BB.0>B>0 C.B>0> D.B>0>0 16.(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中， E为线段CC,的中点，F为线段A,B上的动点（含端点），则下列结论正确的有() A B E A A.存在点F,使得直线EFI∥平面AD,C B.过4D,E三点的平面截正方体ABCD-48,CD,所得的截面的面积为号 5/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.当F在线段4B上运动时，三棱锥C-AD,F的体积为定值，且定值为号 D.FA+FC的最小值为2V2+V万 17.(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E为边AB的中 点，将ADE沿直线DE翻折成△A,DE(AE平面BCDE),若M在线段A,C上（点M与A,C不重合）， 则在ADE翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有() D B A.当M为AC的中点时，与平面ADE垂直的直线必与直线MB垂直 B.存在某个位置，使DE⊥AC C.当四棱锥A-BCDE体积最大时，点4到平面BCDE的距离为2 D.当二面角4DE=B的大小为时，异面直线4D与E所成角的余弦值为 18.(24-25高一下湖北黄石期末)（多选）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶 壁的厚度忽略不计)，其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E 为该球与母线BC的切点，CD,AB分别为铁桶上，下底面的直径，且AB/ICD,AB=2CD=4,F为AB 的中点，则() A.铁桶的母线长为3 B.铁桶的侧面积为9元 6/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.直线F与圆台下底面所成角的正切值为V26 D.桶中另一个球的半径的最大值为22-√6 19.(24-25高一下湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)（多选）在ABC中， 4C=2,6C=2C-石，点M是4C的中点，点N满足N=20<1<,将&4Mv沿直线MN向上 翻折至△A'MN,得到四棱锥A'-MNBC,下列说法正确的是() A.元=2BC/平面MN B.MN⊥AA C若入-子4从=5，则鞋折过程中线段仙扫过的由面面积为： 2 D.若点A在平面ABC上的射影恰好落在线段BC上，则A'M与平面ABC所成角的正弦值的最大值为 3 2 20.(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)如图，点P是边长为2的等边ABC内部（不 包括边)任意一点，△PBC绕点B逆时针转骨得到AO84. P B C ()若PC= 2,∠PCB=,求O, 6 2)若PA=221∠BPC=3，求△AP巴的周长， (3)求△APQ面积最大值. 21.(24-25高一下·湖北咸宁期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=2,AB⊥AC,将aBAC沿 AC翻折，使点B到达点P的位置. 7/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (1)求三棱锥P-ACD体积的最大值： (2)当二面角P-AC-D的平面角为时，求三棱锥P-ACD外接球的表面积； (3)在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围， 22.(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)如图所示，己知六面体ABCD-A,B,CD中， 四边形ABCD是边长为2的正方形，且AA,∥BB,∥CC,∥DD,BC1/平面AB,CD,BC⊥AA,直线AA与 平面AB,C,D,所成角为60°. B D A B (I)求证：平面A,B,C,D,⊥平面ABB,A,: (2)已知AA,=3,BB,=2,求平面ABCD和平面A,B,C,D夹角的余弦值； (阁平面48CD和平面48CD的夹角为0，且盟-号mx0。求入面体48CD-8CD体积设大值. 23.(24-25高一下，湖北咸宁期末)类比于二维向量，nn≥3，n∈N)维空间向量a用n元有序数组 (a,a2,,an)表示，记为a=(a1,a2,…,an),b=(b,b2,…,bn),且n维空间向量满足 a±i=(a,±b,a,±b,…,a,±b.),l园=Va+a5+aG++a,=V6+b吲+b+…+b, a.i=l5lcos(a,6）=ah+a,b+a,b+…+a,b. (1)设d=（-1,1,1,1…,1和阝=(1，-1,11，…，1是两个n维空间向量. ①求a+: 8/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ②设a与a+B的夹角为0，求cos0; (2)对于一个n元向量d=a,a2,…,an,若a,=1(i=1,2,…,n),称d为n维信号向量.规定 a·阝=0台G⊥阝.己知k个两两垂直的120维信号向量，瓦2，，满足它们的前m个分量都相同， 证明：√km<11. 24.(2425高一下·湖北部分重点高中期末)(1)如图1，直线1与△M0N的三边所在直线分别相交于P, Q,R三点.若Op=mPM,M⑨=nQN,NR=tRO,证明：mnt=-l. (2)四面体ABCD中，E,F分别为棱AB,CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC,DA相交于点G, T(不与项点重合)，证明： ①若AC∥a,则BDIa(如图2)； ②平面a始终平分四面体ABCD的体积请仅就AC与平面α相交于点K时（如图3）证明此结论 图1 图2 图3 25.(24-25高一下·湖北荆门期末)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且 AB=3,AD=4,∠D1B=号M为BC的中点，点P在平面4BCD肉的射影为点H,且4H1DM B (1)求证：PA⊥DM; (②)当△PAB为等边三角形时，求点H到平面PAB的距离； (3)若记PA=m>5,∠PAH=0,记三棱锥P-ABH的外接球表面积f(O),当函数f(0)取最小值时，求AH 的长 26.(24-25高一下湖北荆州·期末)已知函数f(x)=V3sin(ox+p)(o>0,0<p<元)的部分图象如图1所示， 9/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A,B分别为图象的最高点和最低点， 过同作x的垂线，交x于成，点c传0 为该部分图象 与x轴的交点， (1)求f(x)的解析式： (②将绘有函数川部分图象的纸片滑x维折城否的二面角，如图2所示 (i)求直线AB与平面OBC所成的角的正弦值： ()求以线段AB的中点为球心，半径为3的球与二面角所围成的几何体的体积 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被 截下的线段长叫球缺的高设球的半径为R，球缺的高为h,则球缺的体积公式为'球铁=πh(3R-) R B 图1 图2 图3 目目 考点04 统计 27.(24-25高一下湖北部分重点高中期末)（多选）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为x,方 差记为，下列说法错误的是() A.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于x B.去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C.去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于% D.去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于% 28.(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学期末)统计学中，协方差Co(x,y)用来描述两组数据 x:,,,X,和y:,,…,.之间的总体的误差.定义：协方差C0,)=之x-y-列.已知 甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 10/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 数学成绩x 1 2 5 物理成绩y 1 3 3 5 xi+yi 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩x 3 3 5 物理成绩y: 3 3 4 4 x+y 6 7 0 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差Cov(x,y),Cov(x,y)2; (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩x,的方差S,z，以及物理成绩y,的方差S,S2,并计算他们数学物 理总成绩，+y,的方差S,牌，S2·根据计算结果，猜想一般情况下S,S+S和Co(化，)之间的等量关 系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：S·S≥(Cov(x,y)2. 11/11