第8章 《四边形》期末综合复习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以四边形概念体系为核心，覆盖特殊四边形判定与性质、最值及综合探究，通过江苏多地期末真题构建从基础到应用的训练链条，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|10题|选择/填空/解答|从边、角、对角线判定切入，结合性质计算与证明| |矩形|10题|选择/填空/解答|基于平行四边形，突出对角线相等及直角性质应用| |菱形|10题|选择/填空/解答|聚焦四边相等及对角线垂直特性，涉及折叠与面积| |梯形|7题|选择/填空/解答|以等腰梯形为重点，考查边、角关系及判定| |正方形|11题|选择/填空/解答|综合矩形与菱形性质，涉及旋转、中点及新定义问题| |最值问题|13题|选择/填空|结合动点、中点、折叠，运用转化思想求线段/面积最值| |综合探究|9题|解答题|融合旋转、翻折等变换，探究图形关系与计算，发展创新意识|

苏科版八年级下学期期末《四边形》专题复习巩固 平行四边形的判定与性质 考点1 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，已知，则的周长是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，，则四边形的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在▱中，若，则的度数是______． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平行四边形中，平分，，，则______． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，的平分线交于点E，．                                           （备用图） (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 10．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 矩形的判定与性质 考点2 11．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 12．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 13．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 15．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，，，则矩形的周长为______． 17．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①为的中点，②，③中，选择一个合适的选项作为条件，使为矩形．    (1)你选择的条件是______（填序号），并证明为矩形； (2)若，求矩形的面积． 20．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，是菱形对角线与的交点，，；过点作，过点作，与相交于点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形； (3)求矩形的面积． 菱形的判定与性质 考点3 21．（24-25八年级下·江苏·期末）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是                               （    ） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边相等 22．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是菱形 D．若，则是菱形 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（    ） A．① B．② C．①③ D．②③ 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·江苏·期末）如图、在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（　　）    A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 27．（24-25八年级下·江苏·期末）已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是__________． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 30．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 梯形的判定与性质 考点4 31．（24-25八年级下·江苏·期末）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 32．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 33．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 34．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 35．（24-25八年级下·江苏·期末）三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是_____． 36．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 37．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 正方形的判定与性质 考点5 38．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 39．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 40．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 41．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 42．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到正方形的位置，使得点落在对角线上，与相交于点，则的长为（   ）    A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·江苏·期末）将正方形与正方形按如图方式放置，点、、在同一直线上．已知，，连接．是的中点，连接，则的长是_____． 44．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在中，，分别以为边长向外侧作正方形，正方形，正方形，连接．若正方的面积为9，正方形的面积为16，则六边形的面积为______．    45．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 46．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，四边形是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段为边作正方形，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点E在线段上，，，求的长． 47．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 48．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 四边形中的最值问题 考点6 49．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 51．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 53．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 54．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 55．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 57．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 58．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 59．（24-25八年级下·江苏·期末）菱形的对角线相交于点O，，点P为边上一点，且点P不与点A，B重合。过点P作于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 60．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 61．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 四边形的综合探究 考点7 62．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 63．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 64．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 65．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 66．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 67．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 68．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 69．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 70．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版八年级下学期期末《四边形》专题复习巩固 平行四边形的判定与性质 考点1 1．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，已知，则的周长是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴的周长是：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，，再结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据平行四边形的判定方法求解即可． 【详解】解：已知， A、添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； B、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴， 又，不能用“边边角”证明三角形全等， ∴不能确定的数量关系，不能确定的位置关系， ∴不能判定四边形一定是平行四边形； 同理连接亦是如此，故B选项符合题意； C、添加，根据两组对边平行的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； D、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； 故选：B ． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，，则四边形的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．根据平行四边形的对边相等得：，，，，再根据平行四边形的性质可以证明．根据全等三角形的性质，得，，再利用线段的和差求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 故四边形的周长为． 故选：D． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）在▱中，若，则的度数是______． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平行四边形中，平分，，，则______． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，的平分线交于点E，．                                           （备用图） (1)求的长； (2)仅用无刻度的直尺，在上作点F，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，，即可求解； （2）结合平行四边形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵为的平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求 10．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 矩形的判定与性质 考点2 11．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 12．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（    ） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】连接交于点，利用勾股定理得到，利用折叠的性质可知于点，，进而得到，设，则，利用勾股定理建立等式求解，得到，再利用勾股定理算出，即可得到折痕的长． 【详解】解：连接交于点， 四边形为矩形，， ，，， ， ， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，于点， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ， ． 故选：C． 13．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的性质是解本题的关键．先证明，，再结合三角形的外角的性质是解本题的关键． 【详解】解：矩形中，对角线与相交于点， ，， 是的一个外角， ， ． 故选：B． 14．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 15．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，矩形的对角线、相交于点O，，，则矩形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质及勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质．根据矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长为：． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，设，则，证明是等腰直角三角形得，，再证明是等腰直角三角形得，由此即可得出矩形的周长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的周长为：． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，交于点，连接，先证明，进而推出四边形为菱形，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，，，， ∴即： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点在的边上，，请从以下三个选项：①为的中点，②，③中，选择一个合适的选项作为条件，使为矩形．    (1)你选择的条件是______（填序号），并证明为矩形； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）选择的条件是①，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证；选择的条件是②，由平行四边形的性质得出，，推出，利用证明，得出，即可得证； （2）分别求出、的长，再由矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：选择的条件是①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择的条件是②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为． 20．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，是菱形对角线与的交点，，；过点作，过点作，与相交于点．    (1)求的长； (2)求证：四边形为矩形； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理等等： （1）利用菱形的性质得到，在直角中，利用勾股定理即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （3）利用矩形的面积公式即可直接求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 直角中，； （2）证明：，， 四边形为平行四边形， 又，即， 平行四边形为矩形； （3）解：， ． 菱形的判定与性质 考点3 21．（24-25八年级下·江苏·期末）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是                               （    ） A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边相等 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形，菱形的性质，理解并识记它们的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质“对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分”，菱形的性质除了具备平行四边形的性质，还具有“四条边长度相等；对角线垂直且平分”，由此进行分析判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形、菱形都具备对角线互相平分，不符合题意； B、平行四边形、菱形都具备两组对角相等，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定垂直、菱形的对角线互相垂直，符合题意； D、平行四边形、菱形都具备两组对边相等，不符合题意； 故选：C ． 22．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．若，则是矩形 B．若，则是菱形 C．若，则是菱形 D．若，则是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定的判定定理逐项判断即可求解，掌握矩形和菱形的判定的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法错误，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法错误，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是矩形，故说法错误，不合题意； ∵四边形是平行四边形，若，则是菱形，故说法正确，符合题意； 故选：． 23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（    ） A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】因为四条边都相等的四边形是菱形，所以通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，可判断方法①可行；因为四个角都相等的四边形是矩形，但不一定是菱形，所以方法②不可行；由对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，可判断方法③不可行，于是得到问题的答案． 【详解】解：四条边都相等的四边形是菱形， 通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形， 故方法①可行； 四个角都相等的四边形，它的四个角都是直角， 这样的四边形是矩形，但不一定是菱形， 通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法②不可行； 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形， 通过检测框架对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形， 故方法③不可行． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的判定定理等知识，正确理解菱形的判定定理是解题的关键． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 25．（24-25八年级下·江苏·期末）如图、在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查菱形的折叠问题，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点及勾股定理的应用．连接，，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ， ， 由折叠可得， ， ， ， 故选：B．    26．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，先根据菱形的面积求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】由题意得：，解得： ∵ ∴ 故答案为：2． 27．（24-25八年级下·江苏·期末）已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．当两张纸片叠合成如图1的正方形时面积最小，根据正方形的面积公式计算即可；当两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，先证得出，设，在中根据勾股定理即可求出的值，再根据菱形的面积公式计算即可，从而得出的取值范围． 【详解】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形的面积最小， 此时菱形为正方形， 矩形的宽是， ， 正方形的面积为； 当两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大， 矩形和矩形全等， ，， 又， ， ， 设 ， 则 ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即， ， 的取值范围是， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 边长为的两个全等的菱形、菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 两个菱形重叠部分的面积四边形的面积， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得即可． 【详解】（1）证明：连接，， 四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的边长为． 30．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 梯形的判定与性质 考点4 31．（24-25八年级下·江苏·期末）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 32．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 33．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 34．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 35．（24-25八年级下·江苏·期末）三条边长分别为2，3，8的等腰梯形的周长是_____． 【答案】 【分析】在等腰梯形中作出一腰的平行线，将求梯形的周长问题转化为三角形的三边关系进行解答． 【详解】解：如图所示， 在等腰梯形中，过点作腰的平行线，交于点．则四边形是平行四边形． 在等腰梯形中， （1）若腰长，则，． 那么．故不成立． （2）若腰长，则，． 那么．故不成立． （3）若腰长，则，． 符合三角形的两边之和大于第三边． 所以等腰梯形的周长． 故答案为：． 36．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质求得，，，推出，即可证明四边形是等腰梯形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 37．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 正方形的判定与性质 考点5 38．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转、等边三角形的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角线长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转得到的， ， ∴是等边三角形， ， 在中，， ， 故选：C． 39．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 40．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 41．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 42．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到正方形的位置，使得点落在对角线上，与相交于点，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，根据正方形性质以及勾股定理得到，，再根据求解，即可解题． 【详解】解：正方形边长为， 正方形边长为，为对角线， ，，， 点落在对角线上，与相交于点， ， ， ， 故选：B． 43．（24-25八年级下·江苏·期末）将正方形与正方形按如图方式放置，点、、在同一直线上．已知，，连接．是的中点，连接，则的长是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作辅助线推理是解题的关键．延长交于点，根据正方形的性质、平行线的性质，推出、，利用证明，得出，求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵将正方形与正方形按如图方式放置，点、、在同一直线上，，， ∴，，，， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在中，，分别以为边长向外侧作正方形，正方形，正方形，连接．若正方的面积为9，正方形的面积为16，则六边形的面积为______．    【答案】74 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由正方形面积计算公式和勾股定理得到，正方形的面积为25，；如图所示，过点E作交延长线于M，过点D作交延长线于N，证明，，则，，据此根据六边形面积等于三个正方形面积加上四个三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方的面积为9，正方形的面积为16， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即正方形的面积为25， ∴； 如图所示，过点E作交延长线于M，过点D作交延长线于N， 由正方形的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：．    45．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，即可． （2）先证明，得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 46．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，四边形是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段为边作正方形，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点E在线段上，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形性质求出，求出，根据推出即可； （2）作于H，根据勾股定理求出求出，根据全等得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在△AGD和△AEB中， ， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，． 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 47．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵把沿折叠得到， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：∵把沿折叠得到， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， ∴， 设， ∵正方形边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即线段的长． 48．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 四边形中的最值问题 考点6 49．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，由正方形的性质得，，，求得，，，则，作点关于直线的对称点，连接，由旋转得，，因为垂直平分，所以，则，所以，可证明，得，作于点，作交的延长线于点，可证明，得，因为四边形是矩形，所以，由，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、交于点， 四边形是边长为的正方形， ，，， ，，， ， 作点关于直线的对称点，连接， 把线段绕点逆时针旋转到线段， ，， 垂直平分， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 作于点，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， ， 四边形是矩形， ， ， ， 线段的最小值为， 故选：B． 50．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，点、分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为4，则菱形的边长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，两点之间线段最短的知识，理解动点与线段最值的计算，菱形的性质是关键． 如图所示，连接，过点作延长线于点，当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 如图所示，连接，过点作延长线于点， 当点重合，点重合时，是最大值，最大值为，当时，是最小值，最小值为， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴菱形的边长为， 故选：D ． 51．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 故选：C． 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形中，E，F分别是边上的动点（E，F不与菱形的顶点重合），连接，G，H分别为的中点，连接．若，的最小值是，则菱形的边长是（　　） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得，当时，有最小值，此时也是最小，利用菱形的性质求出，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵G，H分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，此时有最小值， ∴此时， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 53．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接，则，由平行四边形的性质得，因为，所以，则，求得，则，所以，由，得，因为H是的中点，E为边的中点，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 54．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 55．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解∶过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选∶D． 56．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 57．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点D，点E分别是，边上的动点，连接，点F，点M分别是，的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，过点作于,根据三角形中位线定理得到,根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可. 【详解】解：如图，连接，过点作于， 点，点分别是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 当时，最小，此时， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识． 首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，即可． 【详解】解：过P作于点N，交于点M， 由题意，， ∴， ∵点P是CE的中点， ∴， ∴， ∴， 则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上 过点D作于点F， 则此时点D和F关于直线l对称， 连交直线l于点H，连， 则， 当点P与点H重合时，的值最小， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 59．（24-25八年级下·江苏·期末）菱形的对角线相交于点O，，点P为边上一点，且点P不与点A，B重合。过点P作于点E，于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 连接，作于点H，由菱形的性质及勾股定理计算出，用面积法计算出，再证四边形是矩形，推出，由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：如图，连接，作于点H， 四边形是菱形，， ，，， ． ， ． ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值， 的最小值为． 故答案为：． 60．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再求出 ，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 61．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为___________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，连接．证明是的中位线，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接，延长交于点，连接。 四边形是菱形，， ，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 当时，的值最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 四边形的综合探究 考点7 62．（25-26八年级上·江苏盐城·期末） 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)当时，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若四边形为矩形，求t的值； (3)若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． （3）解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 63．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)2或或4 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，由（1）知：，则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1； （2）证明：过Q作于H，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； （3）解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， 由②知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形． 64．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图1，正方形的边长为4，连接，点为线段上任意一点（点不与，重合），过点作分别交于点．点为的中点，连接． (1)若，则________，________； (2)如图2，连接，．求证：且； (3)如图3，在（2）的条件下，设交于点，延长交于点，连接． ①探究之间的数量关系，并说明理由； ②若，则________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 根据等腰直角三角形的性质得出； 可证得，从而，进而得出结论； 连接，延长至，使，可证得，从而，进而证得，从而，进一步得出结论； 设，则，，在中，由勾股定理得方程，求得的值，可证得． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 四边形是矩形，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：； （2）证明：在正方形和矩形中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：：如图， ，理由如下： 连接，延长至，使， 由知，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 由知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 65．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． 66．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在菱形中，，，连接，交于点． (1)求菱形的面积； (2)如图2，将菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形，点，，，的对应点分别为，，，． ①当点落在上时，判断与的位置关系，并说明理由； ②连接，当平行于菱形ABCD一边时，求出的值； (3)在（2）的条件下，连接，当垂直于菱形的一边时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①垂直，见解析；②或 (3)或 【分析】（1）由菱形的性质可得：，，，，，进而得到：，推出，，即可求解； （2）①可得出，从而得出，从而，进一步得出结论； ②当时，可得出，从而得出，，当时，，从而； （3）当时，点在的上方时，设延长线交于，则，可得出，，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，当点在下方时，同样得出结果；当时，根据勾股定理得出结果． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，，， ， ，， ， ； （2）①，理由如下： 如图1，由（1）知，， 菱形绕着点逆时针旋转，得到菱形， ， ， ， 四边形和四边形是菱形， ，， ； ②如图2， 当时， ， 由旋转性质得，， ， ，， 当时图中)， 同理可得，， ， 综上所述：或； （3）如图2， 当时，设延长线交于， 则， ，， ， ， ， 当时， 则， 当时， ， 综上所述：的长为或． 67．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）①2；②见解析；（2）小明的发现正确，理由见解析；（3） 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点F作于点G，利用面积法可得，证明，可得结论； （2）如图4，连接，由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形，先证明，则，，再证明四边形是平行四边形，，即可解答； （3）如图5，连接，先证明，由面积法可得，设，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形， ∴， 由图1和图2可得：，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明：如图3，连接，过点F作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：小明的发现正确，理由如下： 如图4，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴C，A，B三点共线； （3）解：如图5，连接， 由（2）知：C，A，B三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 68．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 【答案】（1）（2）①；②见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）可得，由折叠知，得； （2）①由中点定义得,由折叠知，得，由，得，解得；②可得，得，可得，得,得四边形是平行四边形，由，得是菱形； （3）由折叠知，，可得，，得，得，由，得，可得，即得; （4）由，得，可得，得,设，得，由，得，解得，即得． 【详解】解（1）∵点落在线段上，且， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，点恰好为的中点， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； ②当时，∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （3）由折叠知，， ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 69．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． （2）已知正方形，直线与正方形相邻的两边都相交，且所截得的直角三角形的周长等于正方形周长的一半．求作：经过点P的一条直线． ①如图②，当点P在正方形的边上时； ②如图③，当点P在正方形的外部时． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）①见解析；②12．（2）①见解析②见解析 【分析】（1）①根据折叠的全等性质，结合有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可； ②根据三角形全等的性质，结合三角形的周长解答即可． （2）①根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半，以此作图即可； ②（a）以A为圆心，以为半径作；（b）连接，作的垂直平分线交于点O；（c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q；作直线即可． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． ②解：根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为6， ∴的周长为， 故答案为：12． （2）①解：当点P在正方形的边上时 根据（1）的证明，得到的周长为正方形周长的一半， 连接，再作，最后作的平分线， 作直线， 则直线即为所求的直线； ②解：当点P在正方形的外部时 （a）以A为圆心，以为半径作； （b）连接，作的垂直平分线交于点O； （c）以O为圆心，以为半径作与交于点Q； 作直线， 则直线即为所求直线．理由如下： 设直线与交于点G，交于点H， 根据作图，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， 于是可得， 符合了问题1的条件，结论自然成立， 则即为所求． 70．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $