2026年中考数学二轮复习：一次函数

**基本信息** 聚焦一次函数核心素养，通过20道题构建"概念-图象-应用"三阶训练体系，强化数形结合与模型思想 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|6题|待定系数法/符号判定法|从正比例函数到一次函数的概念延伸，系数与图象关系的推导| |图象应用|7题|交点分析法/分段函数建模|函数图象与方程、不等式的转化，动态问题中的变量关系| |综合探究|7题|几何变换/分类讨论|一次函数与几何图形、实际问题的综合应用，体现数学建模与逻辑推理|

2026年中考数学二轮复习：一次函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 2．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+b（b＞0）上的三个点，且x1＜x2＜x3，以下判断正确的是（　　） A．若x2x3＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＜0，则y1y2＞0 D．若x1x2＞0，则y1y3＞0 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，BC∥OA，BC＝OB，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6） 4．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙的速度为100米/分 C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD＝CB，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（﹣8，2） 6．甲、乙两辆摩托车分别从A、B两地出发相向而行，图中l1、l2分别表示甲、乙两辆摩托车与A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，则下列说法正确的有（　　） ①A、B两地相距24km； ②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时； ③甲车的速度比乙车慢8km/h； ④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①小数比小文先出发15秒； ②小文提速后的速度为30cm/s； ③n＝40； ④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D． 9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（13，y3）是直线y＝﹣x+b（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＜0，则y1y3＞0 B．若y1y2＜0，则y1y3＜0 C．若y1y2＞0，则y2y3＞0 D．若y1y2＞0，则y2y3＜0 10．2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距450dm的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲和乙行走的路程分别为y1（dm），y2（dm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①甲比乙先出发15秒； ②乙提速后的速度为30dm/s； ③n＝40； ④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距150dm． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 11．如图，y＝2x和y＝ax+b（a＜0）的图象相交于A（m，4），则不等式ax+b≤2x的解集为　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝3，则直线l的表达式是　 　 ． 13．如图，函数y＝kx+1和y＝﹣2x+6的图象交于点A，则方程组的解是　 　 ． 14．如图，对于函数y＝|2x+7|，当x＝　 　 时，y＝3． 15．在平面直角坐标系xOy中，点A是一次函数y＝﹣3x+6图象上一点，将线段OA绕点O顺时针方向旋转90°后，点A的对应点B恰好落在一次函数y＝﹣3x+6图象上，则点A的坐标是　 　 三．解答题（共5小题） 16．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点C（0，c），连接AC，，点B（b，0），连接BC，． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，点D在y轴负半轴上，连接AD，CD＝t，设△AOD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AD至点P，点P在直线PQ：y＝kx﹣15上，且点P的横坐标为t，过D作DF⊥AP，连接AF，∠FAB＝90°，连接PB并延长交FD的延长线于点E，连接BF并延长至点G，连接PG，使EF＝PG，若∠BAP+∠ABF+∠G＝90°，直线AP与BF相交于点K，连接QK，求tan∠AQK的值． 17．元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设小弘同学的采摘量为x（x＞0）千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出y1、y2关于x的函数表达式； （2）若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． （3）若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由． 18．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（﹣2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②当﹣2≤x≤4时，y1﹣y2＞﹣2都成立，求a的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为　 　 ； （3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为　 　 ． 20．小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度） A家用充电 3500 0.5 B公用充电 0 1.2 （1）请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式yA与yB（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）； （2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？ （3）已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由． 2026年中考数学二轮复习：一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【考点】正比例函数的图象． 【专题】函数及其图象． 【答案】D 【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c． 则b＞c＞a， 即a＜c＜b． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大 2．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+b（b＞0）上的三个点，且x1＜x2＜x3，以下判断正确的是（　　） A．若x2x3＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＜0，则y1y2＞0 D．若x1x2＞0，则y1y3＞0 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】由直线方程y＝﹣3x+b（b＞0）可知，k＝﹣3＜0，因此y随x增大而减小．由x1＜x2＜x3，得y1＞y2＞y3，再逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣3x+b（b＞0）上的三个点，且x1＜x2＜x3， ∵直线y＝﹣3x+b（b＞0），k＝﹣3＜0， ∴y随x增大而减小． ∵x1＜x2＜x3， ∴y1＞y2＞y3． A，若x2x3＞0，因为x2＜x3，所以0＜x2＜x3或x2＜x3＜0； 当0＜x2＜x3时，由于x2＜x2，无法确定y1和y3的符号，例如，若直线与x轴交点在x1和x3之间，则y1y3＜0，故不能确定y1y3的正负 故选项A不符合题意； B，若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若x2x3＜0， ∵x2＜x3， ∴x2＜0，x3＞0， 又∵x1＜x2， ∴x1＜0， ∴y1＝﹣3x1+b＞b＞0，y2＝﹣3x2+b＞b＞0， ∴y1y2＞0恒成立； 对于选项D，若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，BC∥OA，BC＝OB，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B（8，6），由勾股定理求得BO＝10，再由菱形的性质得到BC＝BO＝10，BC∥x轴，最后由平移即可求解． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D， 由条件可知，即BD＝6， ∴B（8，6）， ∵BD⊥x轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形AOBC是菱形， ∴BC＝BO＝10，BC∥x轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点C（﹣2，6）， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙的速度为100米/分 C．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【解答】解：由图知，10﹣4＝6（分）， ∴乙用6分钟追上甲， ∴A正确，不符合题意； 乙的速度为60×10÷（10﹣4）＝100（米/分），故B正确，不合题意； 乙到达终点所用的时间为3000÷100＝30（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为60×（30+4）＝2040（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为3000﹣2040＝960（米）， ∴C正确，不符合题意； ∵当乙到达终点时甲走的路程为2040米， ∴甲还需要（3000﹣2040）÷60＝16（分）到达终点， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了16分钟， ∴D错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD＝CB，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（﹣8，2） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出OB＝6，过点D作DE⊥AC于点E，证明△BCO≌△CDE，得CE＝BO＝6，CO＝DE，设点C（a，0），则E（a﹣6，0），DE＝﹣a，得出D（a﹣6，﹣a），代入，求出a的值即可． 【解答】解：∵，当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， 过点D作DE⊥AC于点E，如图， 则∠DEC＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， 由条件可知∠DCB＝90°， ∴∠BCO+∠DCE＝90°， ∴∠CDE＝∠BCO， 在△BCO与△CDE中， ， ∴△BCO≌△CDE（AAS）， ∴CE＝BO＝6，CO＝DE， 设点C（a，0），则E（a﹣6，0），DE＝﹣a， ∴D（a﹣6，﹣a）， 由条件可得， 解得a＝﹣2， ∴EO＝EC+CO＝6+2＝8，DE＝2， ∴点D的坐标为（﹣8，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 6．甲、乙两辆摩托车分别从A、B两地出发相向而行，图中l1、l2分别表示甲、乙两辆摩托车与A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，则下列说法正确的有（　　） ①A、B两地相距24km； ②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时； ③甲车的速度比乙车慢8km/h； ④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据纵坐标判断①正确，根据横轴计算判断出②正确，根据速度＝路程÷时间计算出甲乙两车的速度，判断出③正确，根据相遇问题的等量关系列式求解即可判断出④错误． 【解答】解：①x＝0时，S＝24，所以A、B两地相距24千米，故①正确； ②甲车比乙车行完全程多用了0.6﹣0.5＝0.1小时，故②正确； ③甲的速度为：24÷0.6＝40千米/小时， 乙的速度为：24÷0.5＝48千米/小时， 48﹣40＝8千米/小时， 所以，甲车的速度比乙车慢8千米/小时，故③正确； ④24÷（48+40）（小时）， 所以，两车出发后，经过小时相遇，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图获取必要的信息是解题的关键． 7．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①小数比小文先出发15秒； ②小文提速后的速度为30cm/s； ③n＝40； ④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 【解答】解：由题意可得：小数比小文早出发15秒，故①正确； 当x＝15s时，y2＝0，当x＝17s时，y2＝30cm， 则小文提速前的速度是， ∴小文提速后速度为30cm/s，故②正确； 故提速后小文行走所用时间为：， m＝17+14＝31s， ∴A（31，310）， ∴小数的速度为， ∴，故③错误； 当0≤x≤15时，小文和小数的距离逐渐增大， 当x＝15时达到最大为：10×15＝150（cm）， 当15＜x≤31时，小文和小数的距离先减小后增大， 当x＝31时达到最大为：450﹣310＝140（cm）， 当31＜x≤45时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ∵150＞140，故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 8．对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D． 【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，kb， ∴kb＜0， ∴k+bb＜0， ∴错误的是k+b＞0． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（13，y3）是直线y＝﹣x+b（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＜0，则y1y3＞0 B．若y1y2＜0，则y1y3＜0 C．若y1y2＞0，则y2y3＞0 D．若y1y2＞0，则y2y3＜0 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】A 【分析】根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为一次函数解析式为y＝﹣x+b， 所以y随x的增大而减小． 因为（﹣1，y1），（﹣2，y2），（13，y3）在直线y＝﹣x+b上，且﹣2＜﹣1＜13， 所以y2＞y1＞y3． 当y1y2＜0时， 则y1＜0，y2＞0， 所以y3＜0， 则y1y3＞0． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当y1y2＞0时， 则y1＞0，y2＞0或y1＜0，y2＜0． 当y1＞0，y2＞0时无法得出y3的正负， 所以无法得出y2y3的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．2025年成都非遗文化展上，展馆的机器人甲和乙从入口出发，准备给相距450dm的非遗手作展区送展示牌，甲比乙先出发，且速度保持不变，乙出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设甲行走的时间为x（s），甲和乙行走的路程分别为y1（dm），y2（dm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） ①甲比乙先出发15秒； ②乙提速后的速度为30dm/s； ③n＝40； ④从甲出发至送展示牌结束，甲和乙最远相距150dm． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】根据图象直接判断①即可； 根据“速度＝路程÷时间”求出乙提速前的速度，从而求出提速后的速度； 根据“速度×时间＝路程”求出m的值，根据“速度＝路程÷时间”求出甲的速度，再根据“时间＝路程÷速度”求出n的值即可； 当15＜x≤31时，甲和乙之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，根据“路程＝速度×时间”求出此时的最大值；当15＜x≤31时，甲和乙之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，求出此时的最大值，比较这两个最大值并选择较大的一个即可． 【解答】解：由图象可知，甲比乙先出发15秒， ∴①正确； 乙提速前的速度为30÷（17﹣15）＝15（dm/s），则提速后的速度为2×15＝30（dm/s）， ∴②正确； 根据“速度×时间＝路程”，得30（m﹣17）＝450﹣30，解得m＝31， 根据“速度＝路程÷时间”，得甲的速度为310÷31＝10（dm/s）， 根据“时间＝路程÷速度”，得甲到达展区的时间为450÷10＝45（s）， ∴n＝45， ∴③不正确； 由图象可知，当0≤x≤15时，甲和乙之间距离逐渐增大，当x＝15时两者距离达到最大，最大值为10×15＝150（dm）， 当15＜x≤31时，甲和乙之间距离先减小后增大，当x＝31时两者距离达到最大，最大值为450﹣310＝140（dm）， ∵150＞140， ∴甲和乙之间距离的最大值为150dm， ∴④正确． 故正确的是①②④， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，y＝2x和y＝ax+b（a＜0）的图象相交于A（m，4），则不等式ax+b≤2x的解集为x≥2　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】x≥2． 【分析】先求出交点A的坐标，再找到直线y＝ax+b（a＜0）的函数图象在直线y＝2x的函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【解答】解：y＝2x和y＝ax+b（a＜0）的图象相交于A（m，4）， 将A（m，4）代入y＝2x得，4＝2m， ∴m＝2，即A（2，4）， ∴由函数图象可知，不等式ax+b≤2x的解集为x≥2． 故答案为：x≥2． 【点评】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，正确进行计算是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝3，则直线l的表达式是y＝x或y＝﹣x ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】y＝x或y＝﹣x． 【分析】根据A点坐标得到OA长度，结合AP＝OP＝3，求出P 点坐标，进而求得函数表达式． 【解答】解：设过原点的直线表达式为y＝kx（k≠0）， ∵OP＝AP＝3， ∴点P在线段OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线，垂足为H，如图所示， ∵A（3，0）， ∴OA＝3， ∵PH垂直平分OA，且OA＝3， ∴∠PHO＝90°，OH，在RT△OPH中，由勾股定理得， PH， ∴P点坐标为（，）， 把P坐标代入y＝kx表达式， 得k， ∴k＝1， ∴直线表达式为y＝x， 同理可得，在x轴下方由对称性可知，过原点和二，四象限的直线表达式为y＝﹣x， 综上所述：直线表达式为y＝x或y＝﹣x， 故答案为：y＝x或y＝﹣x． 【点评】本题考查一次函数性质和解直角三角形，熟练掌握几何性质和函数性质是解题关键． 13．如图，函数y＝kx+1和y＝﹣2x+6的图象交于点A，则方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】先求出交点A的坐标，再根据两条直线的交点坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程组的解即可求解． 【解答】解：由条件可知a＝﹣2×2+6＝2， ∴A（2，2）， ∵点A是函数y＝kx+1和y＝﹣2x+6图象的交点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．如图，对于函数y＝|2x+7|，当x＝　﹣2或﹣5　 时，y＝3． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣2或﹣5． 【分析】将y＝3代入函数解析式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当y＝3时， |2x+7|＝3， 解得x＝﹣2或﹣5， 所以当x＝﹣2或﹣5时，y＝3． 故答案为：﹣2或﹣5． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 15．在平面直角坐标系xOy中，点A是一次函数y＝﹣3x+6图象上一点，将线段OA绕点O顺时针方向旋转90°后，点A的对应点B恰好落在一次函数y＝﹣3x+6图象上，则点A的坐标是　　 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】先设出点A的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点（x，y）绕原点顺时针旋转90°后的对应点坐标为（y，﹣x）得到点B的坐标，最后将B代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点A的坐标． 【解答】解：设点A的坐标为（a，﹣3a+6）， 则点A旋转后的对应点B的坐标为（﹣3a+6，﹣a）， 因为点B在一次函数y＝﹣3x+6的图象上， 所以﹣a＝﹣3（﹣3a+6）+6，解得， 将代入点A的纵坐标表达式，得， 故点A的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点C（0，c），连接AC，，点B（b，0），连接BC，． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，点D在y轴负半轴上，连接AD，CD＝t，设△AOD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AD至点P，点P在直线PQ：y＝kx﹣15上，且点P的横坐标为t，过D作DF⊥AP，连接AF，∠FAB＝90°，连接PB并延长交FD的延长线于点E，连接BF并延长至点G，连接PG，使EF＝PG，若∠BAP+∠ABF+∠G＝90°，直线AP与BF相交于点K，连接QK，求tan∠AQK的值． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；推理能力． 【答案】（1）b＝3； （2）S＝t﹣3； （3）． 【分析】（1）易求OC＝3，利用勾股定理求出OB即可得解； （2）先求OD长，再利用面积公式求解即可； （3）易证∠DFK＝∠G，延长BF到点H，使PG＝PH，证△BEF≌△BPH（AAS），可得点B为PE中点，进而得BD＝BP＝BEPE，过P作PM⊥x轴于点M，过E作EN⊥x轴于点N，证Rt△BOD≌Rt△PMB（HL），可得PM＝OB＝EN＝3，再利用tan∠QAP，求得t＝4，进而可得点E、P坐标，再求直线PQ解析式可得Q（5，0），过A作x轴垂线，过E作y轴垂线，两直线交于点J，易证CD是△EJF的中位线，可得点F坐标，再求直线AP、BF解析式，联立求出点K坐标，即可得解． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵tan∠OAC， ∴OCOA＝3， ∵BC＝3， ∴OB3， ∴B（3，0），即b＝3； （2）∵CD＝t，OC＝3， ∴OD＝CD﹣OC＝t﹣3， ∴SOA•OD＝t﹣3； （3）∵DF⊥AP， ∴∠FDK＝90°， ∴∠DFK+∠DKF＝90°， ∵∠DKF＝∠BAP+∠ABF， ∴∠DFK+∠BAP+∠ABF＝90°， ∵∠BAP+∠ABF+∠G＝90°， ∴∠DFK＝∠G， 如图，延长BF到点H，使PG＝PH， 则∠G＝∠H， ∴∠DFK＝∠H， ∵PG＝EF， ∴PH＝EF， 在△BEF和△BPH中， ， ∴△BEF≌△BPH（AAS）， ∴BE＝BP，即点B为PE中点， 连接BD，则BD＝BP＝BEPE， 过P作PM⊥x轴于点M，过E作EN⊥x轴于点N， ∵点P的横坐标为t， ∴OM＝t， ∴BM＝OM﹣OB＝t﹣3， ∵OD＝CD﹣OC＝t﹣3， ∴BM＝OD， 在Rt△BOD和Rt△PMB中， ， ∴Rt△BOD≌Rt△PMB（HL）， ∴PM＝OB＝3， ∴P（t，﹣3）； ∵tan∠QAP， ∴， 解得t＝4或t＝﹣3（舍去）， ∴P（4，﹣3）， ∵点P在直线PQ：y＝kx﹣15上， ∴﹣3＝4k﹣15， 解得k＝3， ∴直线PQ解析式为y＝3x﹣15， 令y＝0，得x＝5， ∴Q（5，0）， 在△BEN和△BPM中， ， ∴△BEN≌△BPM（AAS）， ∴BM＝BN＝t﹣3＝1，PM＝EN＝3， ∴ON＝2， ∴E（2，3）， 如图，过A作x轴垂线，过E作y轴垂线，两直线交于点J， 则CJ＝CE＝2， ∴CD是△EJF的中位线， ∴FJ＝2CD＝2t＝8， ∴AF＝5， ∴F（﹣2，﹣5）， 由B（3，0）、F（﹣2，﹣5）可得直线BF解析式为y＝x﹣3， 由A（﹣2，0）、P（4，﹣3）可得直线AP解析式为yx﹣1， 联立方程组，得， ∴K（，）， ∴tan∠AQK． 【点评】本题主要考查了一次函数综合，涉及一次函数解析式、直线交点问题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设小弘同学的采摘量为x（x＞0）千克，按甲方案所需总费用为y1元，按乙方案所需总费用为y2元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出y1、y2关于x的函数表达式； （2）若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． （3）若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由． 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）y1＝28x+30，y2＝20x+200； （2）选择甲方案更划算， 当x＝15时，y1＝28×15+30＝450， y2＝20×15+200＝500， ∵450＜500 ∴选择甲方案更划算； （3）选择方案取决于采摘量， 设y1＝y2，即28x+30＝20x+200， 解得x＝21.25， 0＜x≤10时，乙方案：y2'＝40x， 由图象可知： 当x＜21.25时，y1＜y2，选甲方案； 当x＞21.25时，y1＞y2，乙方案划算； 当x＝21.25时，y1＞y2，两种方案都可以． 【分析】（1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）当x＝15时，分别求出y1，y2，即可进行判断． （3）求出当y1＝y2时，x＝21.25，再结合图象即可求出优惠方案． 【解答】解：（1）由题意，当x＞10时， 甲方案：y1＝30+40×0.7x＝28x+30， 乙方案：y2＝40×10+40×0.5（x﹣10）＝400+20x﹣200＝20x+200， ∴y1＝28x+30，y2＝20x+200； （2）当x＝15时，y1＝28×15+30＝450， y2＝20×15+200＝500， ∵450＜500， ∴选择甲方案更划算； （3）设y1＝y2，即28x+30＝20x+200， 解得x＝21.25， 0＜x≤10时，乙方案：y2'＝40x， 由图象可知： 当x＜21.25时，y1＜y2，选甲方案； 当x＞21.25时，y1＞y2，乙方案划算； 当x＝21.25时，y1＞y2，两种方案都可以． 【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． 18．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（﹣2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②当﹣2≤x≤4时，y1﹣y2＞﹣2都成立，求a的取值范围． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）y1＝﹣x+1； （2）①把点（1，0）代入y1＝ax+b（a≠0）得： a+b＝0，即b＝﹣a， 由题意可得：， ∴bn+a＝am+b， ∴﹣an+a＝am﹣a， 整理得：am+an＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2；；②或． 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点（1，0）代入y1＝ax+b（a≠0）可得b＝﹣a，从而得到﹣an+a＝am﹣a，即可求解；②由①得b＝﹣a，则y1﹣y2＝2ax﹣2a，再分a＞0和a＜0两种情况讨论，求出y1﹣y2的最小值，再结合“当﹣2≤x≤4时，y1﹣y2＞﹣2都成立”，列出关于a的不等式，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得， ∴y1的表达式为y1＝﹣x+1； （2）①把点（1，0）代入y1＝ax+b（a≠0）得： a+b＝0，即b＝﹣a， 由题意可得：， ∴bn+a＝am+b， ∴﹣an+a＝am﹣a， 整理得：am+an＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②由①得，b＝﹣a， ∴a﹣b＝a﹣（﹣a）＝2a， ∴y1﹣y2＝ax+b﹣（bx+a）＝（a﹣b）x﹣（a﹣b）＝2ax﹣2a， 当a＞0时，则2a＞0， ∴y1﹣y2随着x的增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y1﹣y2有最小值2a×（﹣2）﹣2a＝﹣6a， ∵当﹣2≤x≤4时，y1﹣y2＞﹣2都成立， ∴﹣6a＞﹣2， 解得， ∴； 当a＜0时，则2a＜0， ∴y1﹣y2随着x的增大而减小， ∴当x＝4时，y1﹣y2有最小值2a×4﹣2a＝6a， ∵当﹣2≤x≤4时，y1﹣y2＞﹣2都成立， ∴6a＞﹣2， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，5）． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为　（6，3）　 ； （3）点P在x轴上，PB+PC的最小值为　10　 ． 【考点】一次函数综合题． 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C； （2）（6，3）； （3）10． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C； （2）根据等腰三角形的性质求C点坐标即可； （3）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'交x轴于点P，连接CP，BC'的长即为所求． 【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CBA， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴C点在AB的线段垂直平分线上， 作线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为C； （2）∵A（0，1）、B（0，5）， ∴C点坐标为3， ∴C（6，3）， 故答案为：（6，3）； （3）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'交x轴于点P，连接CP， ∴CP＝CP'， ∴PB+PC＝PB+PC'≥BC'， ∵C（6，3）， ∴C'（6，﹣3）， ∴BC'＝10， ∴PB+PC的最小值为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 20．小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度） A家用充电 3500 0.5 B公用充电 0 1.2 （1）请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式yA与yB（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）； （2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？ （3）已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由． 【考点】一次函数的应用． 【专题】函数思想；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）yA＝3500+0.5x（x≥0）； yB＝1.2x（x≥0）； （2）该车充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同； （3）选择A家用充电方案更合算． 理由：15×15000×6÷100＝13500（度）， 当x＝13500度时，yA＝3500+0.5×13500＝10250（元）； yB＝1.2×13500＝16200（元）． ∵10250＜16200， ∴选择A家用充电方案更合算． 【分析】（1）yA＝一次项安装费用+电费；yB＝电费； （2）联立（1）中得到的函数解析式，求得相应的x的值即可； （3）求得车辆6年需要的电的度数，代入（1）中得到的函数解析式，求得y的值，比较即可． 【解答】解：（1）yA＝3500+0.5x（x≥0）； yB＝1.2x（x≥0）； （2）3500+0.5x＝1.2x， 解得：x＝5000． 答：该车充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同； （3）选择A家用充电方案更合算． 理由：15×15000×6÷100＝13500（度）， 当x＝13500度时，yA＝3500+0.5×13500＝10250（元）； yB＝1.2×13500＝16200（元）． ∵10250＜16200， ∴选择A家用充电方案更合算． 【点评】本题考查一次函数的应用．判断出两种充电方式的函数表达式是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $