2026年中考数学二轮复习：四边形

**基本信息** 以四边形性质为核心，通过3类20题系统整合全等、勾股、旋转等知识，突出动态几何与最值问题的解题策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|15题|辅助线构造（如垂线、对称）、动态问题分类讨论、轨迹思想（如第3题圆轨迹）|四边形性质→三角形全等/相似→勾股定理→几何变换（旋转/对称）| |解答题|5题|模型应用（四点共圆、中位线）、综合题分步转化（如第18题旋转多解）|定义新四边形→性质证明→实际应用→拓展延伸|

2026年中考数学二轮复习：四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，两条宽度均为2cm的矩形长纸条，相交成角α，则重叠部分的面积为（　　） A．4sinαcm2 B． C．4tanαcm2 D． 2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，点G是CD上一点，连接EG、AG，满足∠EAG＝45°．点F是EG中点，点H是AG中点，连接EH、AF，EH与AF相交于点I．则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若，BF＝4，则正方形的边长为（　　） A．12 B．8 C． D． 5．如图，在正方形ABCD中，△CDE是等边三角形，CG⊥DE于点F，交BE延长线于G．若CD＝1，则△EGC的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，点P在BC上，则DP+AP的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，设BC＝a，CE＝b，分别以BC、CE为边向外作正方形，面积分别是S1和S2，若S1+S2＝40，BG＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 8．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F，若CF＝3，则AB的长为（　　） A．8 B．9 C．12 D． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC＝a，CD＝b，a＞b，则EO的长可以表示为（　　） A．a﹣b B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是直线BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30度角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值　 　 ． 12．如图，矩形纸片ABCD中，点E在线段AD的延长线上，连接BE，交线段CD于点M，点F是线段BE的中点，过点F作GH⊥BE，分别交AD、BC于点G和点H．给出以下结论：①连接BG、HE，则四边形BGEH是菱形；②若AE＝3DE，则CM＝2DM；③连接HE，交CD于点Q，则S△DEM＝S△EMQ；④当AD＝2AB，点H与点C重合时，∠AEB＝15°．上述结论中正确的有　 　 ．（填序号） 13．长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点，P从A出发沿A→B→C→E运动，速度为2cm/秒，设点P的运动时间为t秒，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值＝　 　 ． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）．且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H． 有如下几个结论： ①△AED≌△DFB；②∠BGE的大小为定值；③GC平分∠BGD；． 以上结论中，正确结论的序号是 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，点D为BC中点，E为直线AC上一动点，以DE为边向下作正方形DEFG，当CF＝2时，则C、E两点间的距离为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　 　 ． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由． 17．如图，在长方形ABCD，AB＝8cm，BE＝10cm，点E是边AD上的一点，AE，DE分别长为a厘米和b厘米，且满足（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0．动点P从B点出发，以每秒2cm的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）EP把四边形BCDE的周长平分，求t的值？ （3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.　 　 时，三角形EPQ的面积等于12cm2． 18．综合与探究 问题情境：已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是射线AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转α得到△B'CD'，点B，D的对应点分别为B'，D'． 初步探究：（1）如图1，点D在AB边上，点A恰好在D′B′的延长线上，试判断四边形ABCB'的形状，并说明理由； 深入探究：（2）如图2，点D在AB边上，当点B'落在AC边上时，D'B'的延长线恰好经过点D，求∠B′CD的度数； 拓展延伸：（3）在△BCD绕点C顺时针旋转的过程中，当D，B′，D'三点共线时，若BC＝3，∠DCD'＝60°，请直接写出AD的长． 19．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长． 20．定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC，∠C＝2∠ABD，求证：四边形ABCD是平等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形EFGH为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段FG的长． 2026年中考数学二轮复习：四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，两条宽度均为2cm的矩形长纸条，相交成角α，则重叠部分的面积为（　　） A．4sinαcm2 B． C．4tanαcm2 D． 【考点】矩形的性质；解直角三角形；菱形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，AE＝2cm，∠ABC＝α＝∠ADC，然后根据三角函数可得，进而问题可求解． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E， 由题意得：AD∥BC，AB∥CD， ∴AE＝2cm，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC＝α， ∴， 同理可得， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，点G是CD上一点，连接EG、AG，满足∠EAG＝45°．点F是EG中点，点H是AG中点，连接EH、AF，EH与AF相交于点I．则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】A 【分析】连接FH，延长CD，截取DM＝BE，连接AM，取GM的中点N，连接AN，取AD的中点K，连接KH，EK，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，则DM＝BE＝EC＝a，证明△ABE≌△ADM，得出AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，证明△EAG≌△MAG，得出EG＝GM，设DG＝x，则EG＝GM＝GD+DM＝x+a，CG＝2a﹣x，根据勾股定理得出a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，求出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，证明E、H、K三点在同一直线上，求出，证明△IFH∽△IAE，得出，求出，，，最后求出结果即可． 【解答】解：连接FH，延长CD，截取DM＝BE，连接AM，取GM的中点N，连接AN，取AD的中点K，连接KH，EK，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD，BC∥AD， ∵E为BC的中点， ∴， 设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，则DM＝BE＝EC＝a， ∵∠ADM＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠ADM＝∠ABE， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠EAD+∠DAM＝∠EAD+∠BAE＝90°， ∵∠EAG＝45°， ∴∠GAM＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴∠GAM＝∠EAG， 在△EAG和△MAG中， ， ∴△EAG≌△MAG（SAS）， ∴EG＝GM， 设DG＝x，则EG＝GM＝GD+DM＝x+a，CG＝2a﹣x， 在Rt△CEG中，根据勾股定理得：CE2+CG2＝EG2， ∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2， 解得：， ∴， ∵F为EG的中点，N为GM的中点，△EAG≌△MAG， ∴，AF＝AN， ∴， 在Rt△ADN中，根据勾股定理得：， ∵K为AD的中点， ∴， ∴KD＝EC＝a， ∵KD∥EC， ∴四边形EKDC为平行四边形， ∴EK＝CD＝2a，EK∥CD， ∵H为AG的中点，K为AD的中点， ∴，EK∥CD， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴E、H、K三点在同一直线上， ∴， ∵F为EG的中点，H为AG的中点， ∴FH∥AE，， ∴△IFH∽△IAE， ∴， ∴， ，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，关键是相关定理的熟练掌握． 3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质；圆周角定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为1，AE⊥BF，垂足为P，则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，连接AC、BD，交于点P′，此时，CP的值最小， ∴BC＝AB＝1，∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， 当C、P、A三点共线时，CP最小， ∴CP的最小值为：， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若，BF＝4，则正方形的边长为（　　） A．12 B．8 C． D． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】A 【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，根据正方形的性质可得∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，根据矩形的判定和性质可得EM＝CN，EN＝MC，根据等角对等边可得EC＝EF，设MC＝x，AG＝y，则CF＝2x，BM＝x+4，AB＝BC＝2x+4，根据全等三角形的判定和性质可得AE＝EC＝EF，根据等腰三角形的判定可得△EAF为等腰三角形，△BEM为等腰直角三角形，根据勾股定理推得y2＝x2+4x+8①，y2＝2x2+8x﹣24②，联立方程求得x＝4，求得AB＝12． 【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，如图： 则∠EMC＝∠ENC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN为矩形， ∴EM＝CN，EN＝MC， ∵∠ECF＝∠EFC， ∴EC＝EF， 又EM⊥BC， ∴MC＝MF， 设MC＝x，AG＝y， ∴MF＝MC＝x， ∴CF＝MC+MF＝2x，BM＝BF+MF＝x+4，AB＝BC＝BF+CF＝2x+4， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝EC＝EF， 即△EAF为等腰三角形， 又EG⊥AF， ∴AG＝GF＝y，则AF＝AG+GF＝2y， 在Rt△ABF中，AF＝2y，AB＝2x+4，BF＝4， 则AF2＝AB2+BF2， 即：（2y）2＝（2x+4）2+42， 整理得：y2＝x2+4x+8①， ∵∠CBD＝45°，EM⊥BC， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴EM＝BM＝4+x， 在Rt△EMF中，EM＝4+x，MF＝x， 由勾股定理得：EF2＝EM2+MF2＝（4+x）2+x2＝2x2+8x+16， 在Rt△EGF中，，GF＝y， 由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2＝40+y2， ∴40+y2＝2x2+8x+16， 整理得：y2＝2x2+8x﹣24②， 由①②得：2x2+8x﹣24＝x2+4x+8， 整理得：x2+4x﹣32＝0， 解得：x＝4，或x＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴AB＝2x+4＝12． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，理解正方形的性质和矩形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解答此题的关键． 5．如图，在正方形ABCD中，△CDE是等边三角形，CG⊥DE于点F，交BE延长线于G．若CD＝1，则△EGC的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】连接GD，根据正方形和等边三角形性质得CE＝CD＝DE＝1，∠ECD＝∠CED＝60°，根据CG⊥DE得DF＝EF，CB＝CE＝CD＝1，进而得CF，CG是线段DE的垂直平分线，则GE＝GD，再证明∠GDE＝∠GED＝45°得△GED是等腰直角三角形，继而得GF＝EF＝DF，由此得CG，然后根据三角形的面积公式即可得出△EGC的面积． 【解答】解：连接GD，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且CD＝1 ∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝1， ∵△CDE是等边三角形， ∴CE＝CD＝DE＝1，∠ECD＝∠CED＝60°， ∵CG⊥DE于点F， ∴DF＝EFDE，CB＝CE＝CD＝1， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF， ∵CG⊥DE于点F，DF＝EF， ∴CG是线段DE的垂直平分线， ∴GE＝GD， 在△CBE中，CB＝CE＝1，∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝30°， ∴∠CEB＝∠CBE（180°﹣∠BCE）＝75°， ∴∠GED＝180°﹣（∠CEB+∠CED）＝180°﹣（75°+60°）＝45°， 在△GED中，GE＝GD， ∴∠GDE＝∠GED＝45°， ∴∠EGD＝180°﹣（∠GDE+∠GED）＝90°， ∴△GED是等腰直角三角形， ∵CG⊥DE于点F， ∴GF＝EF＝DFDE， ∴CG＝GF+CF， ∴S△EGCCG×EF． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 6．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，点P在BC上，则DP+AP的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】作点D关于直线BC的对称点D'，连接AD'交CB的延长线于点Q，连接D'P，连接DD'交CB于点E，当点P与点Q重合时，DP+AP的值最小． 【解答】解：作点D关于直线BC的对称点D'，连接AD'交CB的延长线于点Q，连接D'P，连接DD'交CB于点E， 则DP＝D'P，DD′⊥CB，DE＝D'E， ∴DP+AP＝D'P+AP≥AD'， ∴当点P与点Q重合时，DP+AP的值最小， ∵四边形ABCD为菱形，A（2，0），B（0，1）， ∴C（﹣2，0），D（0，﹣1）， ∴AC＝4，BD＝2， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称—最短路线问题等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，设BC＝a，CE＝b，分别以BC、CE为边向外作正方形，面积分别是S1和S2，若S1+S2＝40，BG＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 【考点】正方形的性质；三角形的面积． 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得S1＝a2，S2＝b2，CE＝CG＝b，则a+b＝BG＝8，a2+b2＝40，再求出ab＝12，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC＝a，CE＝b， ∴S1＝a2，S2＝b2，CE＝CG＝b， ∵BG＝8， ∴a+b＝BG＝8， ∵S1+S2＝40， ∴a2+b2＝40， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∵∠BCE＝90°， ∴阴影部分的面积ab12＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 8．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F，若CF＝3，则AB的长为（　　） A．8 B．9 C．12 D． 【考点】正方形的性质；切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】取CD的中点O，连接AO、EO，由三角形全等易得∠OEA＝90°，即AE是半圆O的切线，则EF＝CF＝3；设AB＝a，在Rt△ABF中利用勾股定理建立方程即可求解． 【解答】解：如图，取CD的中点O，连接AO、EO， 则OD＝OE＝OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠ADO＝∠BCD＝90°， 在△ADO和△AEO中， ， ∴△ADO≌△AEO（SSS）， ∴∠OEA＝∠ADO＝90°， 即AE是半圆O的切线， ∵∠BCD＝90°， ∴CF是半圆O的切线， ∴EF＝CF＝3； 设AB＝a，则BF＝BC﹣CF＝a﹣3， ∵AE＝AB＝a， ∴AF＝AE+EF＝a+3， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：a2+（a﹣3）2＝（a+3）2， 解得：a1＝12，a2＝0（不合题意，舍去）， 即AB的长为12， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（　　） A． B．2.5 C． D． 【考点】矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】连接OP，勾股定理求出BD的长，等积法求出PE+PF的值即可． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴，， ∴， 连接OP， ∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积．熟练掌握矩形的性质，利用等积法求线段的长，是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC＝a，CD＝b，a＞b，则EO的长可以表示为（　　） A．a﹣b B． C． D． 【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定；三角形中位线定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平行四边形性质得AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD，由此得∠AFB＝∠CBF，再根据∠ABC的平分线交AD于点F得∠CBF＝∠ABF，进而得∠AFB＝∠ABF，则AF＝AB＝b，继而得DF＝a﹣b，证明EO是△BDF的中位线得EODF，据此即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，且BC＝a，CD＝b， ∴AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵∠ABC的平分线交AD于点F， ∴∠CBF＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB＝b， ∴DF＝AD﹣AF＝a﹣b， ∵E为BF的中点，OB＝OD， ∴EO是△BDF的中位线， ∴EODF， ∴EO的长可以表示为． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，理解平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是直线BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30度角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值　2　 ． 【考点】菱形的性质；解直角三角形；四点共圆；垂线段最短． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】2． 【分析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点M作MH⊥AB于点M．解直角三角形求出HM，再证明MG∥AB，根据垂线段最短求出最小值即可． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点M作MH⊥AB于点H． 在Rt△EBM中，∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°， ∴BMBE＝4， 在Rt△BMH中，MH＝BM•sin60°＝2， ∵∠EMF＝∠EGF＝90°， ∴∠EMF+∠EGF＝180°， ∴E，M，F，G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°． ∴∠BEM＝∠EMG＝30°， ∴GM∥AB， ∴当EG⊥GM时，EG的值最小，此时EG的最小值＝HM＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 12．如图，矩形纸片ABCD中，点E在线段AD的延长线上，连接BE，交线段CD于点M，点F是线段BE的中点，过点F作GH⊥BE，分别交AD、BC于点G和点H．给出以下结论：①连接BG、HE，则四边形BGEH是菱形；②若AE＝3DE，则CM＝2DM；③连接HE，交CD于点Q，则S△DEM＝S△EMQ；④当AD＝2AB，点H与点C重合时，∠AEB＝15°．上述结论中正确的有　①②④　 ．（填序号） 【考点】矩形的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】①②④． 【分析】先说明GH是BE的垂直平分线可得BG＝EG，BH＝EH，再根据矩形的性质说明△EFG≌△BFH，即可得出EG＝BG＝BH＝EH，然后根据“四边相等的四边形是菱形”解答①；先证明△EDM∽△BCM，可得，再根据AE＝3DE，可得AD＝BC＝2DE，即可判断②；接下来根据不确定DM，MQ之间是否相等判断③；先根据菱形的性质得出，再根据特殊角的三角函数得出∠AGB＝30°，然后根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质判断④即可． 【解答】解：如图， ∵点F是BE的中点，且GH⊥BE， ∴BF＝EF，GH是BE的垂直平分线，∠EFG＝∠BFH＝90°， ∴BG＝EG，BH＝EH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EGF＝∠BHF， 在△EFG和△BFH中， ， ∴△EFG≌△BFH（AAS）， ∴EG＝BH（全等三角形的对应边相等）， ∴EG＝BG＝BH＝EH， ∴四边形BGEH是菱形，则①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠E＝∠CBM． ∵∠EMD＝∠BMC ∴△EDM∽△BCM， ∴（相似三角形的对应边成比例）． ∵AE＝3DE， ∴AD＝BC＝2DE，即， ∴CM＝2DM，则②正确； ∵， 不确定DM，MQ之间是否相等， ∴S△DEM，S△EMQ不一定相等，则③不正确； 由上述可知BGEH是菱形， ∴BC＝BG＝AD＝EG， ∴． 在Rt△ABG中，， ∴∠AGB＝30°． ∵∠AGB是△BEG的外角，且BG＝EG， ∴， 即∠AEB＝15°，则④正确． ∴正确的有①②④． 【点评】本题考查矩形和菱形，掌握矩形和菱形的判定和性质是解题的关键． 13．长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点，P从A出发沿A→B→C→E运动，速度为2cm/秒，设点P的运动时间为t秒，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值＝　3或5.5　 ． 【考点】矩形的性质；三角形的面积． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】3或5.5． 【分析】分情况讨论：当点P在AB上，即0＜t≤4或当点P在BC上，即4＜t≤7或当点P在CE上，即7＜t≤9时，根据三角形的面积，列方程求解即可． 【解答】解：由于AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点， ∴点P运动到B点的时间为：8÷2＝4（秒）， 点P运动到C点的时间为：（8+6）÷2＝7（秒）， 点P运动到E点的时间为：（8+6+4）÷2＝9（秒）， ①当点P在AB上，即0＜t≤4时，AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝6cm， 则， 解得t＝3； ②当点P在BC上，即4＜t≤7时， 由于E是CD边的中点， 则DE＝CE＝4，BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t， ∴， 解得t＝5.5； ③当点P在CE上，即7＜t≤9时，PE＝18﹣2t， 则， 解得t＝6＜7（不符合题意，舍去）； 综上，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值为3或5.5， 故答案为：3或5.5． 【点评】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）．且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H． 有如下几个结论： ①△AED≌△DFB；②∠BGE的大小为定值；③GC平分∠BGD；． 以上结论中，正确结论的序号是 　①②③　 ． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】①②③． 【分析】先证明△ABD是等边三角形，利用SAS可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝90°，根据四边形的内角和360°可推导出∠BCD＝∠A＝60°，然后证△DCN≌△BCM（AAS）和Rt△CNG≌Rt△CMG（HL）得到∠CGN＝∠CGM，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得S△DCN＝S△BCM，进而得S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝BD， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠BCD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD，∠A＝∠ADB＝60°， 在△AED和△DFB中， ， ∴△AED≌△DFB（SAS）， 故结论①正确； ∴∠ADE＝∠DBF， ∴∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠ADE＝∠ADB＝60°， 即∠BGE的大小为定值， 故结论②正确； 过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝∠CMB＝90°， ∵∠BGN＝180°﹣∠BGE＝120°， ∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， 又∵∠BCD＝∠A＝60°， ∴∠DCN＝∠BCM＝60°﹣∠MCD， 在△DCN和△BCM中， ， ∴△DCN≌△BCM（AAS）， ∴CN＝CM， 又∵∠CNG＝∠CMG＝90°，CG＝CG， ∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL）， ∴∠CGN＝∠CGM， 即GC平分∠BGD， 故结论③正确； ∴，则∠GCN＝90°﹣60°＝30°， ∴，， ∵△DCN≌△BCM， ∴S△DCN＝S△BCM， ∴S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG， ∴， 故结论④错误， 综上所述，正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，点D为BC中点，E为直线AC上一动点，以DE为边向下作正方形DEFG，当CF＝2时，则C、E两点间的距离为　0或．　 ． 【考点】四边形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】CE＝0或． 【分析】连接FH，作直线HK，过点D作DM⊥AC交于点M，过点F作FN⊥AC交于N，证明△MDE≌△NEF，得到ME＝NF，设ME＝NF＝x，证明NF＝HN，得到△HNF为等腰直角三角形，∠FHN＝45°，推出点F的轨迹，进而分类讨论求解． 【解答】解：由题意知，∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴，AB2， 如图，当点E与AC边的中点M重合时，有DM为△ABC的中位线，DMAB， ∵四边形DMFG为正方形，， 另记此时点F所在的位置为点H， 则； 如图，当点E在线段AC上时，连接FH，作直线HK，过点D作DM⊥AC交于点M，过点F作FN⊥AC交于N， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEM+∠FEN＝90°， ∵∠DEM+∠EDM＝90°， ∴∠FEN＝∠EDM， 在△MDE和△NEF中， ， ∴△MDE≌△NEF（AAS）， ∴ME＝NF，， 设ME＝NF＝x，则， ∴， ∴HN＝MN﹣MC﹣CH＝（x）﹣1﹣（1）＝x， ∵NF＝HN， ∴△HNF为等腰直角三角形，∠FHN＝45°， ∴点F在直线HK上运动，其中∠KHA＝45°， ∴当CF＝2时，有以下两种情况：①当点E和点C重合时，，此时CE＝0； ②当点E在CA延长线上时，CF＝CD＝2，GF＝GD，则GC垂直平分DF， ∵DF为正方形的对角线，此时D、M、F三点共线， ∴EG＝DF＝2DM＝2， ∴CE＝CM+EM＝CMEG＝1； 综上所述，当CF＝2时，CE＝0或． 故答案为：CE＝0或． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　　 ． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由． 【考点】四边形综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；CN＝42m． 【分析】（1）过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD，先根据同弧所对的圆周角相等得出∠ANB＝∠ADB，根据三角形外角的性质得出∠ADB＞∠AQB，从而得出∠ANB＞∠AQB，说明当点P在点N处时∠APB最大，求出此时点N的坐标，即可得出点P的坐标； （2）过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，证明四边形ABFE为矩形，得出EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°，解直角三角形求出，然后再求出AG＝4×12＝48（m），说明点A到CD的距离为48m，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，求出OA+OE′＝30+18＝48（m），说明当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上，延长BA，CD，交于点P，解直角三角形求出BP＝104m，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出PE＝64m，最后求出结果即可． 【解答】解：（1）如图1，过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD， ∵， ∴∠ANB＝∠ADB， ∵∠ADB为△BDQ的外角， ∴∠ADB＞∠AQB， ∴∠ANB＞∠AQB， ∴当点P在点N处时，∠APB最大， ∵A（2，0），B（4，0）， ∴AB＝4﹣2＝2，OA＝2， ∵MC⊥AB， ∴，∠MCO＝90°， ∴OC＝OA+AC＝3， ∵⊙M与y轴相切于点N， ∴MN⊥y轴， ∴∠MNO＝90°， ∵∠MCO＝∠MNO＝∠CON＝90°， ∴四边形OCMN为矩形， ∴MN＝OC＝3，ON＝MC， ∴MA＝MN＝3， 在直角三角形ACM中，由勾股定理得：， ∴， ∴点N的坐标为， 即当∠APB最大时，点P的坐标为， 故答案为：； （2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；理由如下： 如图2，∠B＝90°，过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则∠AGE＝∠BAE＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝78﹣18＝60（m）， ∴AE＝BF＝60m， ∵∠AEG+∠CEF＝∠CEF+∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠C， ∴， 设AG＝4xm，则EG＝3xm， 在直角三角形AEG中，由勾股定理得： m， ∴5x＝60， 解得：x＝12， ∴AG＝4×12＝48（m）； ∴点A到CD的距离为48m， 如图3，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，则OM＝ON， ∴，， ∵， ∴， ∴∠MOE′＝∠MAN， ∵∠MAN＝∠C， ∴∠MOE′＝∠C， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形OE′M中，由勾股定理得：， ∴OA+OE′＝30+18＝48（m）， ∵点A到CD的距离为48m， ∴当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上， 如图4，延长BA，CD，交于点P， ∵， ∴BP＝104m， 在直角三角形BCP中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：PE＝64（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∵OE⊥MN， ∴， ∴CN＝PC﹣PE﹣EN＝42m． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，解题关键是熟练运用勾股定理解决问题． 17．如图，在长方形ABCD，AB＝8cm，BE＝10cm，点E是边AD上的一点，AE，DE分别长为a厘米和b厘米，且满足（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0．动点P从B点出发，以每秒2cm的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒． （1）a＝　6　 ，b＝　6　 ． （2）EP把四边形BCDE的周长平分，求t的值？ （3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.　4或或10　 时，三角形EPQ的面积等于12cm2． 【考点】矩形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形的面积． 【专题】分类讨论；应用意识． 【答案】（1）6，6； （2）t的值为3； （3）4或或10． 【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0解答即可； （2）把周长平分，则BP＝6，列方程求解即可； （3）根据P，Q的位置分类探讨三角形EPQ的面积即可． 【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0， ∴， 解得：， 故答案为：6，6； （2）∵a＝6cm，b＝6cm， ∴AD＝6+6＝12cm， ∵四边形ABCD是长方形，AB＝8cm， ∴CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm， ∵EP把四边形BCDE的周长平分， ∴BP＝6， ∴2t＝6， ∴t＝3． 答：t的值为3； （3）①当点P在BC上，点Q在ED上时， 由题意得：EQ＝tcm， ∵三角形EPQ的面积等于12cm2， ∴t×8＝12， 解得：t＝4； ②当点P和Q都在CD上两点相遇前时， 由题意得：PQ＝12+8+6﹣2t﹣t＝（26﹣3t）cm， ∴6×（26﹣3t）＝12， 解得：t； ③当点P和Q都在CD上两点相遇后时， PQ＝（3t﹣26）cm， ∴6×（3t﹣26）＝12， 解得：t＝10． 故答案为：4或或10． 【点评】本题考查矩形的相关性质．根据P，Q的位置分类探讨三角形EPQ的面积是解决本题的难点． 18．综合与探究 问题情境：已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是射线AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转α得到△B'CD'，点B，D的对应点分别为B'，D'． 初步探究：（1）如图1，点D在AB边上，点A恰好在D′B′的延长线上，试判断四边形ABCB'的形状，并说明理由； 深入探究：（2）如图2，点D在AB边上，当点B'落在AC边上时，D'B'的延长线恰好经过点D，求∠B′CD的度数； 拓展延伸：（3）在△BCD绕点C顺时针旋转的过程中，当D，B′，D'三点共线时，若BC＝3，∠DCD'＝60°，请直接写出AD的长． 【考点】四边形综合题． 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）四边形ABCB'是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得B'C＝BC，∠CB'D'＝∠CBD＝90°， ∴∠CB'A＝90°， ∵AB＝BC， ∴AB＝B'C， 在Rt△ABC和Rt△CB′A中，AC＝CA，AB＝CB'， ∴Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL）． ∴AB′＝CB． ∴AB＝BC＝CB'＝AB'， ∴四边形ABCB'是菱形． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCB'是正方形； （2）22.5°； （3）或． 【分析】（1）证Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL），可得AB＝BC＝CB'＝AB'，则四边形ABCB'是菱形，即可得证； （2）先得α＝45°，进而很容易得解； （3）分两种情况讨论：当点D在AB边上或AB延长线上，依次画出图形求解即可． 【解答】解：（1）四边形ABCB'是正方形．理由如下： 由旋转的性质，得B'C＝BC，∠CB'D'＝∠CBD＝90°， ∴∠CB'A＝90°， ∵AB＝BC， ∴AB＝B'C， 在Rt△ABC和Rt△CB′A中，AC＝CA，AB＝CB'， ∴Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL）． ∴AB′＝CB． ∴AB＝BC＝CB'＝AB'， ∴四边形ABCB'是菱形． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCB'是正方形． （2）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB＝45°． ∵点B'落在AC边上， ∴α＝45°， 由旋转的性质，得∠DCD'＝45°，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，CD'＝CD， ∴． （3）或． 分为两种情况：①如图1，当点D在AB边上时． 由旋转的性质，得B'C＝BC＝3，CD'＝CD，B'D'＝BD，∠CB'D'＝∠CBD＝90°， ∵∠DCD'＝60°， ∴∠DCB'＝∠D'CB'＝30°， ∴． ∴． ∵AB＝BC＝3， ∴． ②如图2，当点D在AB的延长线上时． 由旋转的性质，得B'C＝BC＝3，CD'＝CD，B'D'＝BD，∠CB'D'＝∠CBD＝90°， ∵∠DCD'＝60°， ∴∠DCB'＝∠D'CB'＝30°， ∴B'D'B'C， ∴BD， ∵AB＝BC＝3， ∴AD＝AB+BD＝3． 综上，AD的长为3或3． 【点评】本题主要考查了正方形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长． 【考点】四边形综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）145°； （2）∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠ACD＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠A＝90°， ∵DE⊥CD， ∴∠CED+∠BCD＝90°， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACE＝90°，∠ADE＞90°， ∴∠ACE≠ADE， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）对角线AC的长为． 【分析】（1）利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2）先判断出∠ACD＝∠A，进而判断出∠CED＝∠A，最后判断出∠ACE≠ADE，即可得出结论； （3）先构造直角三角形求出AB和BC，最后用勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝∠C，∠B≠∠D， ∴∠C＝∠A， ∵∠A＝60°， ∴∠C＝60°， ∵∠D＝95°， ∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝145°； （2）证明：∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠ACD＝∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠A＝90°， ∵DE⊥CD， ∴∠CED+∠BCD＝90°， ∴∠CED＝∠A， ∵∠ACE＝90°，∠ADE＞90°， ∴∠ACE≠ADE， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：对角线AC的长为；理由如下： 已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，如图 3，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∴∠ADE＝30°， ∴AEAD＝2， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE2， ∴BE＝AB﹣AE＝3， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠B＝90°， ∴∠DFB＝∠DEB＝∠B＝90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝2， 在Rt△DCF中，∠BCD＝60°， ∴∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF， 由勾股定理得：CD2﹣CF2＝DF2， ∴（2CF）2﹣CF2＝32， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解答本题的关键． 20．定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC，∠C＝2∠ABD，求证：四边形ABCD是平等四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形EFGH为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段FG的长． 【考点】四边形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α， ∵DB平分∠ADC， ∴∠CDB＝∠ADB＝β， ∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣2α﹣β， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠DBC＝180°﹣α﹣β， ∵∠A＝90°， ∴α+β＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝∠BDC， ∴BC＝DC， ∴四边形ABCD是平等四边形； （2）2或或或或4． 【分析】（1）设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α，∠CDB＝∠ADB＝β，根据三角形内角和定理求出∠DBC＝180°﹣2α﹣β，α+β＝90°，根据角的和差关系求出∠ABC＝180°﹣α﹣β，可得∠A+∠ABC＝180°，证明AD∥BC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出∠DBC＝∠ADB＝∠BDC，根据等角对等边得出BC＝DC，最后根据平等四边形的定义即可得证； （2）分GH∥EF，GF∥EH两种情况讨论，根据网格的特征，勾股定理等知识求解即可． 【解答】（1）证明：设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α， ∵DB平分∠ADC， ∴∠CDB＝∠ADB＝β， ∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣2α﹣β， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠DBC＝180°﹣α﹣β， ∵∠A＝90°， ∴α+β＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB＝∠BDC， ∴BC＝DC， ∴四边形ABCD是平等四边形； （2）解：当GH∥EF时，如图， 此时， ∴四边形EFGH为平等四边形， 此时； 或如图， 此时EH＝GH， ∴四边形EFGH为平等四边形， 此时FG＝2； 或如图， 此时FG＝GH， ∴四边形EFGH为平等四边形， 此时； 或如图， 此时FG＝FE＝2， ∴四边形EFGH为平等四边形， 此时； 当GF∥EH时，如图， 此时FG＝GH＝4， ∴四边形EFGH为平等四边形； 综上，线段FG的长为2或或或或4． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了作图﹣应用与设计作图，新定义平等四边形，角平分线的定义，平行线的性质，分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $