专题01一元一次不等式期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题01一元一次不等式期末复习讲义 学习目标 能力目标 应试目标 1.分清不等式、一元一次不等式、解与解集相关概念 2.熟记不等式三条基本性质，牢记乘除负数不等号变向 3.掌握不等式、不等式组解法，会用数轴规范表示解集 4.区分整数解、正整数解等特殊解含义 1.熟练按步骤解不等式与不等式组，运算准确不出错 2.借助数轴数形分析，快速判定解集范围 3.会分析含参数题型，依据解集反推参数取值 4.能从实际题意提炼不等关系，列式求解应用问题 5.自查纠错，规避解题常见逻辑与格式错误 1.选择填空基础题稳拿分，快速判断性质、解集、特殊解 2.计算题书写规范，步骤完整，避免格式扣分 3.吃透参数求解、整数解限定等重难点题型 4.熟练解决方案、最值类不等式应用题 5.规避符号变换、数轴标点、解集判断等高频失分点 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求一元一次不等式整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.一元一次不等式组的定义 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.不等式组的解集求参数 题型16.不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式 题型19.不等式组的应用 题型20.不等式组的其他应用 知识点01:不等式 1. 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。不等号的读法及其意义： 2. 不等式的解 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式有无数个解。 3. 不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集。 4. 不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示. 知识点02:一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点03:解一元一次不等式 1. 不等式的性质（重点） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 若 a＞b，则 a±c ＞ b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若 a＞b，c＞0，则 ac ＞ bc，＞ 。。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若 a＞b，c＜0，则 ac ＜ bc， ＜ 。 易错点：两边乘除负数时，一定要变号！ 2. 解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母（注意：分母为负，不等号要变向） 2.去括号 3.移项（移项要变号） 4.合并同类项 5.系数化为 1（除以负数，不等号变向） 知识点04:一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为 2 个），形式如： 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、≥2 个不等式 知识点05:解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；乘 / 除负数，不等号必变向） 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：⩾、⩽（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集 / 判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点06:四种基本解集规律（已知 ab） 知识点07:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型01.不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 3．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 题型02.不等式的性质 4．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 6．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型03.一元一次不等式的定义 7．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 8．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 9．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型04不等式的解集 10．已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 11．如果关于的方程是一元一次方程，则______． 12．在，6，0，，5中，是不等式的解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 题型05.求一元一次不等式的解集 14．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．在，，，，0，，中，能使不等式成立的个数为__________． 16．已知实数x，y，z满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．解不等式：． 题型06.数轴上表述不等式解集 18．关于的不等式的解集如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C．3 D．4 19．如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 20．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 21．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 题型07.求一元一次不等式整数解 22．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 24．已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．求不等式的最小整数解． 题型08.求一元一次不等式解的最值 26．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 27．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 28．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 题型09.列一元一次不等式. 29．下面由文字叙述列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”可表示成 B．“不大于9”可表示成 C．“与4的差是负数”可表示成 D．“与2的和是非负数”可表示成 30．我们在公路上常看到如图的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则可以用不等式_______来表示图中不等量关系． 31．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则(    ) A． B． C． D． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 32．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（    ） A．13题 B．14题 C．15题 D．16题 33．小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为_____________m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 34．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 35．当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 题型11.一元一次不等式解决几何问题 36．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 37．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    38．如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 题型12.一元一次不等式组的定义 39．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 41．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 题型13.求不等式组的解集 42．关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 43．若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为__________ ． 44．解下列不等式或不等式组 (1) (2) 45．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 题型14.求不等式组的整数解 46．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 47．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 48．已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 49．解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出它的非负整数解． 题型15.不等式组的解集求参数 50．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是____________． 52．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 54．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 题型16.不等式组解集的情况求参数 55．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 56．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 57．若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 58．若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 60．关于，的方程组的解满足，则的取值范围是______． 61．不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 62．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 63．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 题型18.列一元一次不等式 64．的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为________． 65．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 66．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 题型19.不等式组的应用 67．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 68．为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 69．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 70．在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． (1)求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； (2)若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ (3)若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 71．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 72．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 73．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 题型20.不等式组的其他应用 74．春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少10，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少5，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数） (1)求x，y的关系式． (2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值． 75．君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 76．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 77．为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）． 第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）： (1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？ (2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表： 第三小组活动记录表 天平左边 天平右边 状态 币值 壹元 伍角 壹元 伍角 平衡 枚数 ________ ________ ________ ________ (3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元一次不等式期末复习讲义 学习目标 能力目标 应试目标 1.分清不等式、一元一次不等式、解与解集相关概念 2.熟记不等式三条基本性质，牢记乘除负数不等号变向 3.掌握不等式、不等式组解法，会用数轴规范表示解集 4.区分整数解、正整数解等特殊解含义 1.熟练按步骤解不等式与不等式组，运算准确不出错 2.借助数轴数形分析，快速判定解集范围 3.会分析含参数题型，依据解集反推参数取值 4.能从实际题意提炼不等关系，列式求解应用问题 5.自查纠错，规避解题常见逻辑与格式错误 1.选择填空基础题稳拿分，快速判断性质、解集、特殊解 2.计算题书写规范，步骤完整，避免格式扣分 3.吃透参数求解、整数解限定等重难点题型 4.熟练解决方案、最值类不等式应用题 5.规避符号变换、数轴标点、解集判断等高频失分点 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求一元一次不等式整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.一元一次不等式组的定义 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.不等式组的解集求参数 题型16.不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式 题型19.不等式组的应用 题型20.不等式组的其他应用 知识点01:不等式 1. 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。不等号的读法及其意义： 2. 不等式的解 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个不等式有无数个解。 3. 不等式的解集 一个不等式的所有解的全体，叫做不等式的解集。 4. 不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示. 知识点02:一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 知识点03:解一元一次不等式 1. 不等式的性质（重点） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 若 a＞b，则 a±c ＞ b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若 a＞b，c＞0，则 ac ＞ bc，＞ 。。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若 a＞b，c＜0，则 ac ＜ bc， ＜ 。 易错点：两边乘除负数时，一定要变号！ 2. 解一元一次不等式的一般步骤 1.去分母（注意：分母为负，不等号要变向） 2.去括号 3.移项（移项要变号） 4.合并同类项 5.系数化为 1（除以负数，不等号变向） 知识点04:一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合而成（通常为 2 个），形式如： 关键：同一未知数、每个都是一元一次不等式、≥2 个不等式 知识点05:解一元一次不等式组（标准步骤） 1.分别求解：逐个解出每个一元一次不等式（步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1；乘 / 除负数，不等号必变向） 2.数轴表示：在同一条数轴上画出所有解集 空心圈：>、<（不包含端点） 实心点：⩾、⩽（包含端点） 方向：大于向右，小于向左 3.找公共部分：观察重叠区域，确定解集 4.写解集 / 判无解：写出公共解集；无重叠则无解 知识点06:四种基本解集规律（已知 ab） 知识点07:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型01.不等式的定义 1．下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 3．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 题型02.不等式的性质 4．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质分析求解即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误，符合题意； B、由于，则，那么由可得，故B正确，不符合题意； C、，则，则，故C正确，不符合题意； D、由得到，故D正确，不符合题意． 5．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴根据不等式的性质可得：， ∴． 6．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 题型03.一元一次不等式的定义 7．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式需要满足：是不等式，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不含未知数，不符合要求； B、含有两个未知数，且的最高次数为2，不符合要求； C、是不等式，只含一个未知数，且的最高次数为1，符合要求； D、是代数式，不是不等式，不符合要求． 8．若不等式是关于x的一元一次不等式，则________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式， ∴且， 即且或， ∴ 9．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 题型04不等式的解集 10．已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，根据不等式的解集即可解答，掌握不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值应该小于， 四个选项中只有小于， 故选：D． 11．如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数次数为，一次项系数不为这两个条件，列等式和不等式求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解，得，即或， 由，得， 综上，． 12．在，6，0，，5中，是不等式的解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再找出符合的数即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项中是不等式的解有，0，，5，共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式、不等式的解和不等式的解集等知识点，能理解不等式的解的定义是解本题的关键． 13．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 题型05.求一元一次不等式的解集 14．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得 两边同时除以2，得 15．在，，，，0，，中，能使不等式成立的个数为__________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了不等式的解集，正确解不等式是解题关键． 直接解不等式，然后判断给定数中满足条件的个数． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 两边乘以得 ． 在，，，，，， 中， 满足的有，，，共个． 故答案为：． 16．已知实数x，y，z满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意易得，代入可得，然后根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 代入得：，解得：，故排除C，D选项； ∵， ∴， ∴， 综上所述：B选项符合题意． 17．解不等式：． 【答案】． 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 题型06.数轴上表述不等式解集 18．关于的不等式的解集如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：． 19．如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴表示不等式组解集的方法可得答案．本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 【详解】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为， 故答案为：． 20．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法是解题关键．用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一定边界点，二定方向．在定边界点时，若符号是“≤”或“≥”，边界点为实心点；若符号是“＜”或“＞”，边界点为空心圆圈．在定方向时，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”． 先通过移项、合并同类项求出不等式的解集，再将一元一次不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， ， ， 在数轴上表示不等式的解集为： 故选：B． 21．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 解集在数轴上表示如下： 题型07.求一元一次不等式整数解 22．不等式的正整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 ∵小于的正整数只有 ∴不等式的正整数解共有个 23．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 【答案】9 【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴x的整数解是9． 24．已知是不等式的解，若a的最大整数为m，则中b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式的解集．解不等式，得，由是不等式的解，求得，由a的最大整数为m，求得，据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 解得， ∵是不等式的解， ∴， 解得， ∵a的最大整数为m， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．求不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 根据一元一次不等式的性质计算，得到x的取值范围；再根据整数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解： ∴不等式的最小整数解是． 题型08.求一元一次不等式解的最值 26．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 27．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 28．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 题型09.列一元一次不等式. 29．下面由文字叙述列出的不等式中，正确的是（    ） A．“不是负数”可表示成 B．“不大于9”可表示成 C．“与4的差是负数”可表示成 D．“与2的和是非负数”可表示成 【答案】C 【分析】分别列出对应的不等式，进行判断即可. 【详解】解：A、“不是负数”可表示成，原表示错误； B、“不大于9”可表示成，原表示错误； C、“与4的差是负数”可表示成，正确； D、“与2的和是非负数”可表示成，原表示错误. 30．我们在公路上常看到如图的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则可以用不等式_______来表示图中不等量关系． 【答案】 【分析】本题考查不等式的实际应用，解题的关键是理解限高含义并转化为不等式． 限高3.5米意味着车辆高度不能超过3.5米，据此列不等式． 【详解】“限高3.5米”表示通行车辆的高度米要小于等于3.5米， 所以用不等式表示为． 故答案为：． 31．一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答错了道题，则答对了道题，根据总分答对题目数答错题目数结合、总分超过80分，即可得出关于的一元一次不等式整理即可得出结论． 【详解】解：设小聪答错了x道题，则答对了道题， 依题意得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 32．某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有20道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于140分，那么他至少要答对（    ） A．13题 B．14题 C．15题 D．16题 【答案】D 【分析】设答对题数为未知数，根据题目给定的得分规则列出不等式，求解后取符合题意的最小整数即可得到结果． 【详解】解：设小亮答对x道题，则答错或不答的题数为道，由题意得： ， 解得：， ∴小亮至少要答对16题． 33．小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为_____________m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用（行程问题），掌握根据实际问题中的不等关系列不等式求解是解题的关键． 设骑车的平均速度为，先计算公交车速度及堵塞前行驶的路程，得到剩余骑行路程；再确定骑车的最长可用时间，根据骑行路程≥剩余路程列不等式，求解不等式得到最小骑行速度． 【详解】解：设骑车的平均速度为 ∵公交车全程，计划20分钟到达， ∴公交车速度为；   ∵8：00 到 8：14 共行驶 14 分钟， ∴已行驶路程为，剩余路程为； ∵8：22到8：30共 8分钟，骑车时间≤8分钟， ∴骑行路程为； ∵要在8：30前到达，需满足骑行路程≥剩余路程， ∴， 解得：． 故答案为：． 34．把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 35．当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【答案】(1)选择线上方案更省钱，省了元 (2)当时，线下方案比线上方案更省钱 (3)原价的最大值为元 【分析】（1）分别计算两种方案对应的花费，即可解得； （2）先根据两种优惠规则计算不同情况下的实际花费，再列不等式求解即可； （3）分类讨论求x的最大值即可解答． 【详解】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 题型11.一元一次不等式解决几何问题 36．一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形三边长是、、，由三角形三边关系定理得到，则，得到，即可得到答案．解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边．也考查了一元一次不等式的应用． 【详解】解：设三角形三边长是、、， ∴， ∵三角形周长是， ∴， ∴， ∴三角形的最长的边有可能是． 故选：A． 37．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 38．如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 【答案】(1)80° (2) (3)或或 【分析】（1）根据当t＝5时，求出，即可求出； （2）先求出，当旋转到时的时间，并且此时，再求出当开始返回时的时间，即可得出射线返回时的时间返回； （3）先求出第一次重合时的时间，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的几种情况进行求解． 【详解】（1）解：当t＝5时，， ， 故答案为：； （2）解：， 当旋转到时，（秒）， 此时， 开始返回：(秒)， 射线返回时，， 即； （3）解：， 第一次重合时，(秒)， ① 返回前，，重合前，，（秒）， 即 ②，重合后，，（秒）， 即时， ③返回后到秒停止，时， （秒）， 即当时， 综上所述：或或，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、不等式的应用、角的和差倍分关系，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型12.一元一次不等式组的定义 39．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 40．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 41．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 题型13.求不等式组的解集 42．关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的解集在数轴上表示为： 43．若关于整数的不等式组的解集为，则的最大值为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解不等式组是解题的关键． 由条件确定的范围，结合不等式性质求的最大值． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由已知可得， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 故答案为：． 44．解下列不等式或不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴． 45．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解：去分母可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 在数轴上表示为： ； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 题型14.求不等式组的整数解 46．不等式组的正整数解是（    ） A．0，1 B．1 C．，0，1 D．1，0， 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． ∴正整数解是1． 47．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 48．已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由条件且，，设，则，为整数. 结合为整数，求满足条件的，再求和，最后计算． 【详解】解：∵，设， ∴，为整数，即可取至， ∵为整数，， ∴被整除， ∵为整数，， ∴被整除， 检验至： 被整除时，， 被整除时，仅满足（被整除）， ∴， 代入：，，， 代入：，，， ∴， 故选：D． 49．解不等式组，把解集表示在数轴上，并写出它的非负整数解． 【答案】解集为，数轴见解析，非负整数解为0，1，2，3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，解题的关键是掌握不等式组的求解口诀． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 可得不等式的解集为：， 数轴表示为： 则不等式解集的非负整数解为：0，1，2，3 题型15.不等式组的解集求参数 50．不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 51．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值．先解出不等式组的解，然后确定x的取值范围，根据整数解的个数可知a的取值． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴． ∵原不等式组有6个整数解， ∴x可取3，2，1，0，，， ∴， 解得． 故答案为：． 52．如果不等式组只有一个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②得：． 则不等式组的解集是：． ∵不等式组只有一个整数解，则． 故选：A． 53．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 54．如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 题型16.不等式组解集的情况求参数 55．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定a的取值范围，在这个范围任取一个数即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴得， 取满足题意． 56．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 57．若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到建立关于m的不等式求解． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， ∴． 58．若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 这个整数解为，，， ， 由，得：， 由，得：， ． 59．若关于不等式组恰有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据“恰有两个整数解”确定整数解，进而得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组的解集为 ∵不等式组恰有两个整数解 ∴满足条件的整数解为 ∴ 解得 题型17.不等式组和方程组结合的问题 60．关于，的方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减得到，再结合，可得，问题得解． 【详解】解：， 由得， 又∵， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与二元一次不等式综合的问题．掌握整体代入思想是解决该题的关键所在． 61．不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x，得到方程组，求出a和b的值． 【详解】，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x， ∵不等式组的解集是0＜x＜2， ∴，解得， ∴a+b＝2﹣1＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公共部分就是不等式组的解集． 62．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：， 则， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 63．已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】先通过可得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵， 得，， ， 又∵， ， ∴， ∴， 解得． 题型18.列一元一次不等式 64．的倍与的和大于，且的倍是非负数，列不等式组为________． 【答案】 【分析】根据题意可得不等式，，再联立两个不等式即可． 【详解】解：根据题意， 可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题关键是理解题意，抓住题目中的关键词语． 65．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键． 66．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 题型19.不等式组的应用 67．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得. 检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得 解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 68．为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 (2)共有7种购买方案 (3)在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． 69．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 70．在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元． (1)求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； (2)若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ (3)若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少． 【答案】(1)甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元 (2)购买乙种书柜至少有14个 (3)共有3种购买方案，购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时花费最少 【分析】(1) 根据两种购买情况列二元一次方程组求解单价． (2) 根据预算全部用完列方程，结合甲种书柜不超过10个且个数为非负整数，求乙种书柜的最小值． (3) 根据总数24个、乙不少于甲、不超出预算列不等式组确定甲种书柜的取值范围，再计算各方案花费进行比较． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元， 由题意得：， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 将代入，得：， 答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元． （2）设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数， 由题意得：， 化简，得：， 变形，得：， ， 要使最小，需取最大值， 将代入，得：， 答：购买乙种书柜至少有14个． （3）解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜个，为非负整数， 由题意得：， 解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， ， 不等式组的解集为， 为整数， 的取值为10，11，12，对应共有种购买方案， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， ∵ ， ∴ 当时花费最少， 答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少． 71．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 72．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【详解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 73．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 题型20.不等式组的其他应用 74．春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少10，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少5，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数） (1)求x，y的关系式． (2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题． （1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，根据题意列出三个方程，再求出关系式； （2）先根据题意得出不等式组，并结合（1）结论可得解集，进而得出答案． 【详解】（1）解：设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元， 根据题意，得， 整理，得， 即， 所以x，y的关系式为； （2）解：依题意有，且， 解得， 由y是整数得，从而得， 所以x的值为76，y的值为 55． 75．君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 【答案】(1)甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品 (2)方案一：购买A种产品34件，B种产品46件；方案二：购买A种产品33件，B种产品47件；方案三：购买A种产品32件，B种产品48件；方案四：购买A种产品31件，B种产品49件 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据等关系列出方程，根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据等量关系：甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件．根据青扬公司按出厂价购买 A、B 两种产品的费用超过15000元而不超过15080元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品． （2）解：设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件，根据题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴或47或48或49， ∴青扬公司设计购买方案为： 方案一：购买A种产品34件，B种产品46件； 方案二：购买A种产品33件，B种产品47件； 方案三：购买A种产品32件，B种产品48件； 方案四：购买A种产品31件，B种产品49件． 76．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． (1)根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ (2)在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2种 (2)购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； （2）选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 77．为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）． 第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）： (1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？ (2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表： 第三小组活动记录表 天平左边 天平右边 状态 币值 壹元 伍角 壹元 伍角 平衡 枚数 ________ ________ ________ ________ (3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）． 【答案】(1)1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克； (2)天平左边壹元2枚，伍角3枚；天平右边壹元1枚，伍角2枚； (3)149元或148.5元 【分析】（1）设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据题意先求出一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币的总质量，进而即可求解； （3）设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚，根据题意列出不等式组，结合m是正整数，是正整数，即可求解 【详解】（1）解：设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克． 由题意可得 解之得 答：1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克． （2）解：，， 天平左边壹元2枚，伍角3枚：， 天平右边壹元1枚，伍角2枚：， （3）解：设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚， 由题意得： 解得：， ∵m是正整数，是正整数 ∴，或，， ∴（元）或（元） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $