专题01 一元一次不等式7大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题01 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、不等式的性质 题型二、求一元一次不等式的解集 题型三、列一元一次不等式 题型四、用一元一次不等式解决实际问题 题型五、求不等式组的解集 题型六、求一元一次不等式组的整数解 题型七、一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次不等式(组)的概念、性质、解法与实际应用 1.知识目标:准确理解和记忆不等式、一元一次不等式(组)的相关定义，掌握不等式的基本性质，能清晰区分等式与不等式的性质差异;理解一元一次不等式(组)的解、解集的含义，掌握解一元一次不等式(组)的一般步骤，理解解集在数轴上的表示规则。 2.技能目标:熟练运用不等式的基本性质完成不等式的等价变形，能规范书写步骤解一元一次不等式(组)，并在数轴上准确表示解集;能根据实际问题中的数量关系，精准列出一元一次不等式(组)，解决方案设计、最值求解等实际应用问题;能结合一元一次方程、几何图形等知识点，完成跨知识点综合计算与证明。 3.思维目标:培养数学建模思想，能将实际生活中的数量关系问题转化为不等式(组)模型;提升逻辑推理能力，在解不等式(组)的过程中，明确每一步变形的依据，能对解集的合理性进行检验;培养分类讨论思想，应对含参数的不等式(组)解集问题，提升综合分析、解决复杂问题的能力。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对不等式基本概念、性质的理解，一元一次不等式(组)的基础解法，以及解集在数轴上的规范表示，属于基础必考题，难度较低;解答题通常分为两类，一类是纯解不等式(组)的计算题，要求严格规范书写解题步骤，标注变形依据;另一类是结合购物、行程、工程等生活背景的应用题，或与方程、几何图形结合的综合题，重点考查学生的建模能力和综合运用知识的能力。 2.命题趋势:近年来，对一元一次不等式(组)的考查越来越注重实际应用，常以生活中的方案选择、最值优化、费用预算等场景为背景，要求学生通过列不等式(组)解决实际问题，贴合新课标对数学应用能力的要求;同时，对不等式性质的灵活运用、含参数的不等式(组)解集讨论，也成为考查热点，注重对学生逻辑推理能力和分类讨论思想的考查;另外，与元一次方程、二元一次方程组、几何图形的边长/面积计算结合的综合题出现频率持续升高，需要学生具备跨知识点综合运用的能力。 知识点01 不等式及其性质 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 示例：设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据不等式的性质，即可求解 【详解】解：∵， ∴（1）>； （2）>； （3）<； （4）>． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 知识点02一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 示例：下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 知识点03 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 知识点04 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 示例：解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： 知识点05 解一元一次不等式 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 示例：按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 知识点06 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 示例：不等式组： 【答案】 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 题型一 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 1.移项法则:不等式移项和方程一样变正负号，不等号方向不变。 2.同加同减:两边同时加、减同一个数，不等号永远不变向。 3.乘除判号:同乘除正数不变号;同乘除负数必须反转不等号。 4.含字母系数:先判断系数正、负、零，再决定要不要变号。 5.数轴辅助:解集、整数解、参数范围，画数轴快速判断端点和区间。 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 1.去分母时，常数项漏乘最小公倍数。 2.括号前是负号，去括号时里面各项忘记变号。 3.系数是负数，化1时忘记改变不等号方向。 4.数轴表示解集，空心、实心搞反，左右方向画反。 5.求整数解时，边界值取舍错误，多取或漏掉整数。 【典例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的基本性质是解题的关键．本题可通过对不等式进行移项、系数化为1等操作来求解．具体思路为：先将不等式中的常数项移到一边，含未知数的项留在另一边，然后将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式，解题的关键掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义得到，则，然后把b的值代入已知不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，则， ∴， 解得 ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 题型三 列一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 1.审题找关键词:大于、小于、不超过、至少、至多、不足、不少于，对应列出不等号。 2.先设未知数，再根据题意用含未知数的式子表示相关量。 3.找准不等关系，不是等量关系，按题意直接列不等式。 4.实际问题注意:人数、物品个数等取正整数。 5.解完不等式后，结合生活实际取舍答案，不能直接照搬解集。 【典例3】（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据与的3倍的和不大于10得出，即可作答． 【详解】解：∵与的3倍的和不大于10 ∴． 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 【答案】7 【分析】本题主要考查列不等式，根据用字母表示数或数量关系及书写规则即可求解． 【详解】解：∵7与y的积表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设满足条件的最小自然数为，根据三个连续自然数的和不小于21列出不等式即可． 【详解】解：设满足条件的最小自然数为， 根据题意得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的列法，熟悉掌握不等式的列式方法是解题的关键． 根据题意列出式子即可． 【详解】解：由题意可得：； 故答案为：． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 解｜题｜技｜巧 1.规范解题步骤 设未知数一找数量关系-列一元一次不等式求解集一结合实际取符合题意的答案。 2.隐含条件优先看 人数、物品数、房间数等只能是正整数;价格、数量不能为负数。 3.最值问题用法 求最多、最少，直接利用不等式解集的边界取值。 【典例4】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·上海金山·期末）小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 【答案】至少有61件 【分析】先计算单件进价，设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件，根据“盈利大于1000元”，总销售额减去总成本大于1000，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 100件衬衫总进价8000元， ∴每件衬衫进价为元， 设加价销售的衬衫有件，则剩余降价销售的衬衫为件， 加价销售单件售价为元，亏损销售单件售价为元， 根据题意得， 解得， 因为是衬衫件数，为正整数， 因此的最小值为61 即他加价销售的衬衫至少有61件． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 题型五 求不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 1.分别解出不等式组中每个不等式的解集。 2.数轴法:把两个解集画在同一条数轴上，公共重叠部分就是不等式组解集。 3.口诀速记:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。 4.求整数解:先定解集，再在范围内依次找出所有整数。 5.含参数题型:借助数轴看边界位置，判断参数取值范围。 【典例5】（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，一元一次不等式组，三角形三边关系的应用等．根据题意用含的代数式表示底边长，继而利用三角形三边关系列出一元一次不等式即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形周长为30，腰长为x， ∴底边为：， 由三角形的三边关系，得 ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2) 【分析】（1）先解不等式，然后把解集表示在数轴上即可； （2）先求出两边不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ； （2）， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 【答案】见解析，、、、0 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据数轴确定不等式组的解集及整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为， 则其整数解为、、、0． 【变式4】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为． 题型六 求一元一次不等式组的整数解 解｜题｜技｜巧 1.先分别解不等式组，求出完整解集。 2.画数轴标出解集范围，看清空心、实心边界。 3.在解集范围内，从小到大依次找出所有整数。 4.求最大、最小整数解，直接看解集靠近两端的整数。 【典例6】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）解不等式：，并求出它的最大整数解． 【答案】，不等式的最大整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题关键． 依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得出不等式的解集，再根据解集确定最大整数解． 【详解】解： 所以不等式的最大整数解为． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【答案】；；； 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则求出不等式的解集后解答即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：；；；． 题型七 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 1.审题找出两个及以上不等关系，分别列出不等式。 2.按步骤:设未知数列不等式组-解解集结合实际取整数解。 3.抓住关键词:至少、至多、不低于、不超过、不足、多于，准确选用不等号。 4.人数、物品、房间、车辆等只能取正整数，解集必须取整数。 【典例7】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：选项A：解不等式，两边同加2，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项B：解不等式，两边同减6，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项C：解不等式，两边同乘时，未改变不等号方向，错误．正确解法应为，符合题意． 选项D：解不等式，两边同除以时改变不等号方向，得，正确，不符合题意． 综上，错误的解法是C． 故选：C. 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）当满足________条件时，的值是负数. 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据负数小于0可得，再求出解集即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 所以当时，的值是负数． 4．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得出关于的不等式，据此进行计算即可．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【答案】小明至少要答对15道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 7．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列数中是不等式的解的是（） A．0 B．100 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式的解集． 求出不等式的解集判断即可． 【详解】解：解不等式得 因此，解集为所有大于3的数． 只有选项B符合条件． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据利润等于原价乘以折扣再进去进价列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 4．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋 (2)B规格香肠最多能采购30袋 (3)不能实现利润为1065元的目标，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可； （2）设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋，根据两种规格香肠总价格不超过1800元，列出不等式，解不等式即可； （3）根据利润为1065元，列出方程，求出m的值，然后再与（2）中m的范围进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋， 根据题意得：， 解得：． 答：A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋； （2）解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：B规格香肠最多能采购30袋； （3）解：在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不能实现利润为1065元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴不符合题意，舍去， ∴在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不实现利润为1065元的目标． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】，图见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示： 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）（1）解不等式；        （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】 （1） （2）， 【分析】本题主要考查解不等式，不等式组，掌握不等式的性质是关键． （1）先去括号，再根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法得到解集，结合题意即可求解． 【详解】解：（1）， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为：，． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【答案】(1)每个A种徽章的价格为元，每个B种徽章的价格为元 (2)购进A种徽章的个数是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格分别为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A种徽章的个数是． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、不等式的性质 题型二、求一元一次不等式的解集 题型三、列一元一次不等式 题型四、用一元一次不等式解决实际问题 题型五、求不等式组的解集 题型六、求一元一次不等式组的整数解 题型七、一元一次不等式组的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次不等式(组)的概念、性质、解法与实际应用 1.知识目标:准确理解和记忆不等式、一元一次不等式(组)的相关定义，掌握不等式的基本性质，能清晰区分等式与不等式的性质差异;理解一元一次不等式(组)的解、解集的含义，掌握解一元一次不等式(组)的一般步骤，理解解集在数轴上的表示规则。 2.技能目标:熟练运用不等式的基本性质完成不等式的等价变形，能规范书写步骤解一元一次不等式(组)，并在数轴上准确表示解集;能根据实际问题中的数量关系，精准列出一元一次不等式(组)，解决方案设计、最值求解等实际应用问题;能结合一元一次方程、几何图形等知识点，完成跨知识点综合计算与证明。 3.思维目标:培养数学建模思想，能将实际生活中的数量关系问题转化为不等式(组)模型;提升逻辑推理能力，在解不等式(组)的过程中，明确每一步变形的依据，能对解集的合理性进行检验;培养分类讨论思想，应对含参数的不等式(组)解集问题，提升综合分析、解决复杂问题的能力。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对不等式基本概念、性质的理解，一元一次不等式(组)的基础解法，以及解集在数轴上的规范表示，属于基础必考题，难度较低;解答题通常分为两类，一类是纯解不等式(组)的计算题，要求严格规范书写解题步骤，标注变形依据;另一类是结合购物、行程、工程等生活背景的应用题，或与方程、几何图形结合的综合题，重点考查学生的建模能力和综合运用知识的能力。 2.命题趋势:近年来，对一元一次不等式(组)的考查越来越注重实际应用，常以生活中的方案选择、最值优化、费用预算等场景为背景，要求学生通过列不等式(组)解决实际问题，贴合新课标对数学应用能力的要求;同时，对不等式性质的灵活运用、含参数的不等式(组)解集讨论，也成为考查热点，注重对学生逻辑推理能力和分类讨论思想的考查;另外，与元一次方程、二元一次方程组、几何图形的边长/面积计算结合的综合题出现频率持续升高，需要学生具备跨知识点综合运用的能力。 知识点01 不等式及其性质 用不等号＂＞＂＂＜＂＂＂＂＂连接的式子，叫作不等式，如等． 1.不等式性质1 对于任意给定的两个数，在三种情形中，有且仅有一种情形成立. 2．不等式性质2 如果，那么． 3．不等式性质3 不等式的两边同加或减一个数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 4．不等式性质4 不等式的两边同乘或除以一个正数，不等号的方向不变．比如，如果，那么． 5．不等式性质5 不等式的两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变．比如，如果，那么 示例：设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 方法总结 先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了怎样的变形得来的，然后再对照不等式的性质，决定是否改变不等号的方向. 知识点02一元一次不等式的定义 只含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式 示例：下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 不等式的解集的定义 一个不等式的解的全体叫作该不等式的解集.如x-1>2 的解集为x>3. 【特别注意】 不等式的解集是一个集合,是一个范围,而不是具体的某几个数. 【核心笔记】 项目 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某个值 满足不等式的未知数的所有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集中包含了不等式的每一个解 知识点04 不等式解集的表示方法 不等式的解集可以在数轴上表示出来,如表: 不等式的解集 图示 画法 在表示的点上画空心圆表示不包含在解集中 在表示的点上画实心圆表示包含在解集中 【特别提醒】 (1)数轴是表示不等式解集的重要工具，是数形结合的基础. (2)在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈. 示例：解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 知识点05 解一元一次不等式 (1)化简不等式(去分母、去括号、移项、合并同类项)成 的形式. ①去分母:在不等式两边乘分母的最小公倍数 ②去括号:把所有因式去括号展开; ③移项：把含有未知数的项移到不等号左边,常数项移到不等号右边; ④合并同类项:化为形式 (2)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 提醒 不等式两边同除以未知数的系数时,同学们一定要注意系数 的正负, 时,不等号的方向保持不变;时,不等号的方向改变. 示例：按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 知识点06 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4．由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 5．一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 示例：不等式组： 题型一 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 1.移项法则:不等式移项和方程一样变正负号，不等号方向不变。 2.同加同减:两边同时加、减同一个数，不等号永远不变向。 3.乘除判号:同乘除正数不变号;同乘除负数必须反转不等号。 4.含字母系数:先判断系数正、负、零，再决定要不要变号。 5.数轴辅助:解集、整数解、参数范围，画数轴快速判断端点和区间。 【典例1】（25-26七年级下·上海金山·期末）下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 题型二 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 1.去分母时，常数项漏乘最小公倍数。 2.括号前是负号，去括号时里面各项忘记变号。 3.系数是负数，化1时忘记改变不等号方向。 4.数轴表示解集，空心、实心搞反，左右方向画反。 5.求整数解时，边界值取舍错误，多取或漏掉整数。 【典例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是__________． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【变式3】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 题型三 列一元一次不等式 解｜题｜技｜巧 1.审题找关键词:大于、小于、不超过、至少、至多、不足、不少于，对应列出不等号。 2.先设未知数，再根据题意用含未知数的式子表示相关量。 3.找准不等关系，不是等量关系，按题意直接列不等式。 4.实际问题注意:人数、物品个数等取正整数。 5.解完不等式后，结合生活实际取舍答案，不能直接照搬解集。 【典例3】（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为___________． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”：______． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题 解｜题｜技｜巧 1.规范解题步骤 设未知数一找数量关系-列一元一次不等式求解集一结合实际取符合题意的答案。 2.隐含条件优先看 人数、物品数、房间数等只能是正整数;价格、数量不能为负数。 3.最值问题用法 求最多、最少，直接利用不等式解集的边界取值。 【典例4】（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【变式1】（25-26七年级下·上海金山·期末）小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元．销售时先每件加价20元销售，在销售了若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元．问：他加价销售的衬衫至少有多少件？ 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 题型五 求不等式组的解集 解｜题｜技｜巧 1.分别解出不等式组中每个不等式的解集。 2.数轴法:把两个解集画在同一条数轴上，公共重叠部分就是不等式组解集。 3.口诀速记:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。 4.求整数解:先定解集，再在范围内依次找出所有整数。 5.含参数题型:借助数轴看边界位置，判断参数取值范围。 【典例5】（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 【变式1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 【变式4】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）解不等式组 题型六 求一元一次不等式组的整数解 解｜题｜技｜巧 1.先分别解不等式组，求出完整解集。 2.画数轴标出解集范围，看清空心、实心边界。 3.在解集范围内，从小到大依次找出所有整数。 4.求最大、最小整数解，直接看解集靠近两端的整数。 【典例6】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）解不等式：，并求出它的最大整数解． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 题型七 一元一次不等式组的应用 解｜题｜技｜巧 1.审题找出两个及以上不等关系，分别列出不等式。 2.按步骤:设未知数列不等式组-解解集结合实际取整数解。 3.抓住关键词:至少、至多、不低于、不超过、不足、多于，准确选用不等号。 4.人数、物品、房间、车辆等只能取正整数，解集必须取整数。 【典例7】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）当满足________条件时，的值是负数. 4．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期末）解不等式：，并写出它的负整数解 7．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列数中是不等式的解的是（） A．0 B．100 C． D． 2．（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式______． 3．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 4．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）（1）解不等式；        （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个种徽章需元；购买4个A种徽章和5个种徽章需元． (1)每个A种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、两种徽章共个，已知购进的A种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $