第十九章 二次根式 单元练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次根式，覆盖概念、运算及应用，通过基础选择、填空与综合解答题，分层考查运算能力、几何直观与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|最简二次根式、同类二次根式、运算性质|基础概念辨析，如第1题考查同类二次根式| |填空题|5小题|化简、有意义条件、几何应用|结合数轴（第11题）与正方形面积（第15题）| |解答题|5小题|混合运算、几何综合、规律探究|分层设计，如第16题几何应用，第20题规律探究培养推理意识|

第十九章：二次根式 一．选择题（共10小题） 1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．27 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C．a3•（﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a6 4．下列各式计算正确的是（　　） A． B．﹣（x﹣1）＝﹣x+1 C．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+1 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算等于（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 7．下列计算正确的是（　　） A．a3•4a2＝4a6 B． C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C．（﹣a）3•a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a6 9．使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．，且x≠1 B． C．，且x≠﹣1 D．，且x≠1 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 二．填空题（共5小题） 11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|　 　 ． 12．计算的结果是　 　 ． 13．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　 　 ． 14．计算：的结果为　 　 ． 15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加，宽边AB增加，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上． （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积； （3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 17．计算： （1）24； （2）． 18．若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值． 19．小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的： ， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求3a2﹣12a+1的值； ②求2a3﹣10a2+6a+3的值． 20．观察下列等式，解答问题： 第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4；… （1）请直接写出第6个等式　 　 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列二次根式中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【考点】同类二次根式；最简二次根式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答． 【解答】解：因为2，2，2，2， 所以化为最简二次根式后能与合并的是． 故选：D． 【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义． 2．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．27 【考点】二次根式的定义． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】先将化简，再根据结果为整数的条件确定n的最小值． 【解答】解：根据题意可知，3， 又∵是整数，n是正整数， ∴必须是整数，即3n为完全平方数， ∴n最小为3时，3n＝9是完全平方数， ∴n的最小值是3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是关键． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C．a3•（﹣a）2＝a4 D．（﹣a2）3＝a6 【考点】二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】二次根式；推理能力． 【答案】B 【分析】分别根据二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则逐一计算即可． 【解答】解；A、a，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、a3•（﹣a）2＝a3•a2＝a3+2＝a5≠a4，原计算错误，不符合题意； D、（﹣a2）3＝﹣a6≠a6，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，立方根的定义，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键． 4．下列各式计算正确的是（　　） A． B．﹣（x﹣1）＝﹣x+1 C．2x﹣x＝1 D．（x+1）2＝x2+1 【考点】二次根式的性质与化简；整式的加减；完全平方公式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】B 【分析】运用最基本的运算知识即可解决． 【解答】解：根据二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式逐项分析判断如下： A、，原计算错误，不符合题意； B、﹣（x﹣1）＝﹣x+1，原计算正确，符合题意； C、2x﹣x＝x，原计算错误，不符合题意； D、（x+1）2＝x2+2x+1．原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、整式的加减运算法则、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式2，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6．计算等于（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝10﹣3 ＝7． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 7．下列计算正确的是（　　） A．a3•4a2＝4a6 B． C．x2+x3＝2x6 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 【考点】二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行判断． 【解答】解：A、a3•4a2＝4a3+2＝4a5≠4a6，选项计算错误，不符合题意； B、，而、无意义，选项计算错误，不符合题意； C、x2与x3不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2ab2）3＝（﹣2）3a3•（b2）3＝﹣8a3b6，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C．（﹣a）3•a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a6 【考点】二次根式的性质与化简；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，立方根的性质，幂的运算法则，逐个计算各选项，即可判断正误． 【解答】解：A、∵a2≥0，且二次根式中被开方数非负，﹣a2≥0， ∴a2＝0， ∴a＝0， 结论仅当a＝0成立，对任意非零a不成立，选项计算错误，不符合题意； B、（a≠0时），选项计算错误，不符合题意； C、（﹣a）3•a2＝﹣a3•a2＝﹣a3+2＝﹣a5≠a5，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣a3）2＝（﹣1）2•（a3）2＝1•a3×2＝a6，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 9．使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．，且x≠1 B． C．，且x≠﹣1 D．，且x≠1 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到x的取值范围． 【解答】解：根据题意可知，， 解不等式2x+1≥0，移项得2x≥﹣1，系数化为1得， 解不等式x﹣1≠0，得x≠1， ∴x的取值范围是，且x≠1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．3或﹣5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【考点】同类二次根式；最简二次根式． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】B 【分析】因为最简二次根式与是同类二次根式，所以它们的被开方数相等，即：a2+3a＝a+15，因式分解，求出a即可． 【解答】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以a2+3a＝a+15， 即a2+2a﹣15＝0， 即（a﹣3）（a+5）＝0， 所以a﹣3＝0或a+5＝0， 得：a＝3或a＝﹣5． 当a＝3时，不是最简二次根式，故舍去． 故选：B． 【点评】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，解决本题的关键正确理解最简二次根式． 二．填空题（共5小题） 11．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|　2b﹣2a ． 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】2b﹣2a． 【分析】先由图得a＜0＜b，则b﹣a＞0，a﹣b＜0，再根据绝对值和算术平方根的性质化简即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＜0＜b， ∴b﹣a＞0，a﹣b＜0， ∴原式＝b﹣a+b﹣a＝2b﹣2a． 故答案为：2b﹣2a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 12．计算的结果是　　 ． 【考点】二次根式的混合运算；分母有理化． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】． 【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可． 【解答】解：原式＝2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　1（答案不唯一）　 ． 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】1（答案不唯一）． 【分析】二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负的；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知，x≥0且x﹣2≠0， 即x≥0且x≠2， ∴写出一个使在实数范围内有意义的x的值是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键． 14．计算：的结果为　　 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】． 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 15．如图，将矩形ABCD的长边AD增加，宽边AB增加，得到一个面积为147的正方形AEFG．则原矩形ABCD的面积是　18　 ． 【考点】二次根式的应用． 【专题】二次根式；运算能力；应用意识． 【答案】18． 【分析】求出正方形AEFG的边长为7，再求出AD、AB的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，正方形AEFG的边长为7， ∴AD＝76，AB＝76， ∴原矩形ABCD的面积＝AD•AB＝618， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，长方形ABCD内有两个相邻的大小不同的正方形，面积为13的正方形EFGH，面积为16的正方形MNCD，其中E点和F点都在边AB上，H点和G点都在边MN上． （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数比较接近？（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积； （3）若小正方形边长的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近； （2）413； （3）﹣27． 【分析】（1）利用9＜13＜16得到34，从而可判断小正方形的边长在哪两个连续的整数之间，与哪个整数比较接近； （2）先确定正方形MNCD的边长为4，然后利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH进行计算； （3）先利用34得到x＝3，y3，然后把它们分别代入所求的代数式值进行乘方运算即可． 【解答】解：（1）∵正方形EFGH的面积为13， ∴正方形EFGH的边长， ∵9＜13＜16， ∴34， ∴小正方形的边长在整数3与4之间，与整数4比较接近； （2）∵正方形MNCD的面积为16， ∴正方形MNCD的边长为4， ∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABNM﹣S正方形EFGH＝413； （3）∵34， ∴小正方形边长的整数部分为3，小数部分为3， 即x＝3，y3， ∴（3）3＝（﹣3）3＝﹣27． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了无理数的估算． 17．计算： （1）24； （2）． 【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）3； （2）6． 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可； （2）利用二次根式的乘除法则，平方差公式计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝24 3； （2）原式2﹣3 ＝3+4+2﹣3 ＝6． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．若x，y是实数，且，求（6x）﹣（4y）的值． 【考点】二次根式的化简求值；二次根式有意义的条件． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据二次根式有意义的条件求得x，y的值，然后将原式化简后代入数值计算即可． 【解答】解：若x，y是实数，且， ∵6x﹣1≥0，1﹣6x≥0， ∴6x﹣1＝0， 解得：x， 则y＝0+0+48＝48， 原式＝（6x）﹣（4y） ＝6346 ＝﹣2． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19．小鹏在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值时，他是这样分析与解决的： ， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题： （1）计算：； （2）若， ①求3a2﹣12a+1的值； ②求2a3﹣10a2+6a+3的值． 【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）1； （2）①4； ②1． 【分析】（1）先分母有理化，再算加减法即可； （2）①仿照例题解答即可； ②将所求式子变形，再计算即可． 【解答】解：（1） 1 1； （2）①∵a2， ∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴3a2﹣12a+1＝3（a2﹣4a）+1＝3×1+1＝4； ②由①知，a2﹣4a＝1， ∴2a3﹣10a2+6a+3 ＝2a（a2﹣4a）﹣2（a2﹣4a）﹣2a+3 ＝2a×1﹣2×1﹣2a+3 ＝2a﹣2﹣2a+3 ＝1． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．观察下列等式，解答问题： 第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4；… （1）请直接写出第6个等式　　 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：． 【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）； （2）第n个等式：， 证明：∵n为正整数， ∴ ， ∴； （3）2026． 【分析】（1）观察已知条件中的等式，找出等式中数字的变化规律，写出答案即可； （2）根据（1）中发现的规律，用含n的式子表示第n个等式，然后通过对左边进行化简证明等式成立即可； （3）利用（2）中得出的规律对所求式子进行化简，然后计算即可． 【解答】解：（1）∵第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 故答案为：； （2）∵第1个等式：2； 第2个等式：3； 第3个等式：4； …， ∴第n个等式：， 证明：∵n为正整数， ∴ ， ∴； （3） ＝1011+1015 ＝2026． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是根据已知等式，找出等式中数字的变化规律． 学科网（北京）股份有限公司 $