第十九章 二次根式 单元检测 提高卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 人教版八年级下册第十九章二次根式单元检测提高卷，知识覆盖全面，梯度设计合理，通过基础巩固、能力提升与创新应用题，培养抽象能力、运算能力及推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|二次根式定义（1）、同类/最简二次根式（2、4）、估值（6）|规律探究（9）、多解法辨析（10）| |填空题|4题|代数式求值（13）、同类二次根式（15）、新定义运算（16）|抽象符号应用（14）| |解答题|10题|运算（17）、化简求值（18）、几何应用（12、22）、有理化（21、24）|分层设计，融合推理意识与创新意识（20、23）|

第十九章 二次根式 单元检测 提高卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册 一、单选题 1．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 2．下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式是化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式， ∴、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式． 3．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解得：， 故选：B． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中满足两个条件，是最简二次根式； ∵ 选项B中的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； ∵ 选项C中的分母含根号，不满足条件，不是最简二次根式； ∵ 选项D中的被开方数是能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． ∴ A符合题意． 5．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 6．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据二次根式的乘法化简式子，然后再估算结果的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在5到6之间． 故选：C． 7．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，求立方根，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：A．原式，故错误，不符合题意． B．原式，故正确，符合题意． C．原式，故错误，不符合题意． D．原式，故错误，不符合题意． 故选：B． 8．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再去掉绝对值符号，整理式子后即可得到所求结果． 【详解】∵二次根式有意义， ∴，即． ∴， ∴． ， 移项得， 两边同时平方得， 移项得． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别探究单项式的系数和字母a的次数的规律，归纳得出第n个单项式的一般形式即可． 【详解】解：第1个单项式：； 第2个单项式：； 第3个单项式：； 第4个单项式：； 第5个单项式：； … 归纳可得，第个单项式是 ． 10．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 11．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 12．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为、、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 二、填空题 13．已知，则的值为______． 【答案】2021 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：，即． ∴ ∴可化为， ∴ ∴ ∴． 故答案为：2021 14．已知，，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 15．已知最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得． 16．定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则________． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于对二次根式的化简能力； （1）利用二次根式的性质化简并计算即可． （2）利用二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．先化简再求值：当时，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握． 先用化简，再将时代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 19．若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根. 【答案】5 【分析】本题考查同类个次根式及二次根式的非负性应用，根据同类二次根式求出，再根据非负式子和为0，它们分别等于0即可得到答案； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，解得， ，即， ，， ，，解得，， ，的平方和为， ，平方和的算术平方根为5． 20．定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键． （1）可判断出，因此可用运算即可； （2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论． 【详解】（1）解：由题意知， ， ； （2）， 当，即时 ， 解得， ； 当，即时 解得， ， 综上所述：x的取值范围是． 21．形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 【答案】(1)是有理化因式 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式比较大小，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）可计算出，，据此可得答案； （3）可证明，由，可得． 【详解】（1）解：与是有理化因式，理由如下： ∵， ∴与是有理化因式； （2）解：∵， ∴的有理化因式为， ∵， ∴的有理化因式为； （3）解：， ， ∴， ∵， ∴． 22．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为． 23．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 24．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 25．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；② (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法以及二次根式的性质； （1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： ∴一个符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：① ② （3）解：① ②根据题意得：，故 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 单元检测 提高卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册 一、单选题 1．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 7．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 10．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 11．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 12．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，则的值为______． 14．已知，，则的值为_____． 15．已知最简二次根式与能合并，则__________． 16．定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．先化简再求值：当时，求的值． 19．若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根. 20．定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 21．形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式； (3)请比较与的大小． 22．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 23．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 24．分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 25．我们知道，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由算术平方根的意义，都是实数，二次根式也是实数，它满足实数的加、减、乘、除运算法则．二次根式的乘法法则是：．例如： ．反之 (1)若有意义，写出一个符合条件的的值_____； (2)计算：①，②． (3)化简：①，②． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $