精品解析：2026年河南周口市涡北中学等学校九年级模拟考试数学试卷

2026年河南周口市涡北中学等学校九年级模拟考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意． 3. 非遗“滚灯”是宋代便已盛行的经典民间表演技艺，作为承载千年民俗记忆的文化瑰宝，以“灯滚不熄、形转韵生”的独特表演形式，彰显着中华传统文化的深厚底蕴与艺术魅力．在小型滚灯的精细制作中，其灯芯灯丝的直径参考实际非遗手作工艺数据，约为．将这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此即可解答． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 【详解】由图知， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再判断选项中不满足范围的值即可．用到一元二次方程有实根时判别式非负的性质． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 方程中，，，代入得：， 整理得， 解得， ∵四个选项中只有，不满足取值范围． ∴k的值不能为3． 7. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选A 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 9. 如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 10. 甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中的函数关系，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据图像，可得甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，故①正确； 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误； 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，故③正确； 当温度为时，甲、乙的溶解度相同，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据图象得到信息，学会看图是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个过点，且函数值随自变量的增大而增大的一次函数的解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，可得出，，任取一个大于0的值即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为， 函数图象过点，且随的增大而增大， ，；取，得一次函数解析式为； 故答案为（答案不唯一）； 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数．根据众数为42，可知，再将所有数据按从小到大排序，由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值，解答即可． 【详解】解：除了a，这组数据包含两个47，两个42， ∵这组数据的众数为42， ∴． 故数据从小到大排序后：42，42，42，44，46，47，47，48． ∵一共有8个数据， ∴中位数为第4和第5个数的平均值，即． 故答案为：45． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再分别求出和扇形的面积，相减即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握是解题关键． 15. 图形定义：若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”．如图，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，此时的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，作，并延长交于点K，再根据矩形的性质说明，可知，进而设，根据勾股定理求出，然后设，可得，接下来说明，根据对应边成比例得出，即可得出答案；当时，作，根据，设，再根据勾股定理求出，则，然后说明，进而得出，接下来设，根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：当时，过点E作，交于点H，并延长交于点K， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，则四边形是矩形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 设，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ∴， 则． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 如图所示，当时，过点D作，交于点H， ∴． ∵， ∴， ∴，则． 设，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴，则． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 在中，， ∴． 设，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 所以的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，再计算； （2）根据单项式乘以多项式法则计算，同时根据完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 【答案】（1）7；8 （2）估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人 （3）乙款手机实用性的满意度更高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查统计图表，中位数，众数以及利用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． （1）将数据排序后，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数，得到a的值，找到出现次数最多的数据，得到b的值； （2）利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例，进行计算即可得出结果； （3）结合表格数据进行分析即可． 【小问1详解】 解：乙款手机具体评分情况（单位：分）如下： 6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9， ∴，， 故答案为：7，8； 【小问2详解】 解：由题意得，（人），（人）， 答：估计这两款手机的受益人数为甲为2600人，乙为3750人； 【小问3详解】 解：乙款手机实用性的满意度更高，理由如下： 甲款手机的受益人数的百分比为， 乙款手机的受益人数的百分比为， ∴乙款手机实用性的满意度更高． 18. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】对于（1），分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧，交于两点，过两点作直线，交反比例函数于一点，即为所求作； 对于（2）①，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理求出，可知，根据矩形的性质求出点，进而得出答案； ②先求出，进而表示出点，点，可得关于a的方程，求出解，可得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 如图所示，点即为所求． 【小问2详解】 ①如图，设线段的垂直平分线交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵点的坐标为， ∴． 如图，过点作轴，于点，连接．则四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ②∵， ∴． 设点，则点． ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，求反比例函数关系式，矩形的性质，勾股定理等，理解反比例函数图像上的点即满足反比例函数关系式是解题的关键． 19. 如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． （1）真空管上端到水平线的距离； （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度． 【答案】（1）真空管上端到的距离约为米 （2）安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形中三角函数的应用以及矩形的性质． （1）过作于，通过作垂线构造直角三角形，利用正弦函数定义求出真空管上端到水平线的距离即可解答； （2）先在直角三角形中求出相关线段长度，再根据矩形性质得到线段间的关系，最后通过线段的和差即可求出水平横管的长度． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中，， 则（米）， 答：真空管上端到的距离约为米； 【小问2详解】 在中，， 则（米）， ，，， 四边形是矩形， ，， 米， 米， 在中，， 则（米）， （米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 20. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】（1）玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 （2）， （3）在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【解析】 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． （1）当时，求的值； （2）若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； （3）当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查含参数的二次函数综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入二次函数表达式求值即可； （2）先求出、的表达式，再结合，均为负数，得出与相关的不等式，最后求解即可 （3）由于函数顶点横坐标未确定，故对的取值分三种情况进行讨论，对每种情况下的进行求解，并检查是否符合讨论的前提，最终得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故的值为． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵，均为负数， ∴， 解得； ∴， 解得； 故的取值范围为． 【小问3详解】 解：函数对称轴为直线， 结合以及对称轴为直线，进行分类讨论： 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得，不满足，故舍去； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得或（不满足，故舍去）； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得； 综上，或． 22. 木质风车作为一种农具在我国有着悠久的历史，其基本构造是顶部有个梯形的入料仓，下面有一个漏斗是出大米的，右面是圆形的风箱部分，侧面有一个小漏斗是出细米、瘪粒的，尾部是出谷壳的，其实物图如图1所示．爱动脑筋的东东对风车进行了探究和测量，并画出了风箱部分的简易示意图（如图2），为的直径，B是上的一点，过点B作交于点C，交于点D（点D在点O下方），地面上的点F在的延长线上，连接，测得，． （1）求证：是与切线； （2）求风车中心O到地面F的距离． 【答案】（1）见解析 （2）风车中心O到地面F的距离为 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点G，连接，根据圆周角定理求出，进而求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，则，根据相似三角形的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 证明：如图2，连接并延长交于点G，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵为的直径，，， ∴， 设的半径为， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴风车中心O到地面F的距离为． 【点睛】此题考查了圆周角定理的应用，切线的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记切线的判定与性质是解题的关键． 23. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转，这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1）如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2）如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上，矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3）将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中，当构成直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明求得，再证明，求得，即可解答； （3）分类讨论，分别为直角时，画出图形，逐一解答即可． 【详解】（1）解：将矩形绕点C旋转到矩形， ,， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， ， 根据旋转可得，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得，经检验是原方程的解， ； （3）①如图，点在上时，， . ，， ， ； ②如图，点在延长线上时，， ， 此时， ； ③如图，当时，过点作于点， ， ， 四边形为矩形， ， 根据勾股定理可得， ； ④如图，当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南周口市涡北中学等学校九年级模拟考试数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 非遗“滚灯”是宋代便已盛行的经典民间表演技艺，作为承载千年民俗记忆的文化瑰宝，以“灯滚不熄、形转韵生”的独特表演形式，彰显着中华传统文化的深厚底蕴与艺术魅力．在小型滚灯的精细制作中，其灯芯灯丝的直径参考实际非遗手作工艺数据，约为．将这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 10. 甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个过点，且函数值随自变量的增大而增大的一次函数的解析式：__________． 12. 某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为________． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 14. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 图形定义：若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”．如图，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，此时的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 随着智能手机和互联网的普及，手机（手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了迅速发展，某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群，相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示； 乙款手机具体评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 甲、乙两款手机评分统计情况如表所示： 手机统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 甲 8 13 乙 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计该两款手机的受益人数； （3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由． 18. 如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．的垂直平分线交反比例函数图象于点． （1）在图中用直尺和圆规作出点．（保留作图痕迹，不写画法） （2）连接．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式． ②连接，当时，求的长． 19. 如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． （1）真空管上端到水平线的距离； （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度． 20. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ （2）张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． （1）当时，求的值； （2）若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； （3）当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 22. 木质风车作为一种农具在我国有着悠久的历史，其基本构造是顶部有个梯形的入料仓，下面有一个漏斗是出大米的，右面是圆形的风箱部分，侧面有一个小漏斗是出细米、瘪粒的，尾部是出谷壳的，其实物图如图1所示．爱动脑筋的东东对风车进行了探究和测量，并画出了风箱部分的简易示意图（如图2），为的直径，B是上的一点，过点B作交于点C，交于点D（点D在点O下方），地面上的点F在的延长线上，连接，测得，． （1）求证：是与切线； （2）求风车中心O到地面F的距离． 23. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转，这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1）如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2）如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上，矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3）将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中，当构成直角三角形时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $