1.3.2 空间向量运算的坐标表示（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，通过3D游戏建模、商场扶梯三维位移情境导入，类比平面向量坐标运算推导空间向量加、减、数乘、数量积公式，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过逻辑推导（如数量积公式证明）发展数学思维，用坐标法解决正方体中垂直证明、线段长度计算等问题强化数学语言表达。题型训练结合真题，表格化小结梳理知识，助力学生掌握空间观念与推理能力，教师可依托标准化流程提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何1.3.2 空间向量运算的坐标表示 ·选择性必修第一册· 学习目标 1.类比平面向量坐标运算，自主推导空间向量加、减、数乘、数量积坐标公式，熟练进行坐标混合运算。 2.掌握空间两点向量坐标求法（终点坐标减起点坐标），能快速写出几何体棱、对角线向量坐标。 3.掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件，会利用坐标关系求解参数。 4.熟记向量模、空间两点距离、向量夹角坐标公式，规范求解线段长度、异面直线夹角。 5.掌握坐标法解决立体几何平行、垂直证明与度量计算的标准化流程，体会数形结合、类比迁移思想。 目录 CATALOG 01.空间向量运算的坐标表示 03.应用新知 02.空间向量的坐标运算 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 01 空间向量运算 的坐标表示 导入新知1：3D游戏建模三维坐标情境 当下热门3D闯关游戏里，设计师搭建正方体闯关地图，玩家操控的角色出生点在立方体左上角顶点，通关传送门在对角顶点。游戏后台需要通过数字精准锁定角色、道具、关卡机关的空间位置，才能实现人物移动、碰撞判定、远程攻击等功能。如果只给平面横、纵坐标，游戏角色会直接卡在地面，无法实现跳跃、高空坠落、立体穿墙的三维动作。 提问1:只给x、y两个平面数字，为什么游戏程序没法让角色飞到空中传送门？ 提问2:游戏后台会给每个点位标注一组(x,y,z)三个数字，两点之间的角色位移、远程武器的攻击轨迹都能用这三组数字计算，这种带三个分量的有方向、有长度的量是什么？ 导入新知2：商场立体扶梯三维位移情境 大型综合商场分为地下车库、一楼商铺、三楼影院，顾客从地下车库入口，乘坐斜向扶梯直达三楼影院，这段移动不是平面内的左右行走，同时包含水平前后、水平左右、垂直向上三层位移。工作人员规划扶梯运力时，需要精准计算顾客整体移动的空间位移向量。 提问1：只说“顾客向前移动20米”，能确定顾客准确到达影院位置吗？为什么？ 提问2：如果分别记录顾客东西走向、南北走向、垂直升降的三段移动距离，组合成一组三维数字，就能完整描述全程扶梯位移，这一组数字就是空间向量的坐标。大家回忆一下平面里两点位移坐标怎么计算，立体空间里楼层两点的位移坐标计算规则会发生变化吗？ 新课探究 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念及向量的表示吗？ 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 探究1 新课探究 根据同学们刚刚的回顾与类比，即可完成下列表格 新课探究 设 设 加法运算 减法运算 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 数乘运算 数量积运算 有向线段的向量坐标表示 线性运算 新课探究 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设 为空间的一个单位正交基底， 则 所以 因为 所以 新课探究 我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题. 探究2 空间向量的坐标运算是否也可以解决 空间中平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题？ 新课探究 yOz平面 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 平面向量的特殊位置之平行 平面向量的特殊位置关系之平行 设 当 时， 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量平行的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用向量垂直求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量垂直的坐标表示 02 空间向量的 坐标运算 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 当 时， 设 能否表示为 ？ ? 新课探究 至少一个不为0. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 例如：当 与平面 平行时， .此时 无意义. 因此，只有 均不为0时， 特殊地， 与任意向量平行. 当 时， 新课探究 yOz平面 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 设 当 时， 当 时， 设 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量垂直的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量模长的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 新课探究 yOz平面 如何用空间向量的坐标表示长度和夹角？ 平面向量的长度和夹角 空间向量的长度和夹角 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 设 则 设 设 设 则 思考 新课探究 你能证明空间两点间的距离公式吗？ 设 ， 是空间中任意两点， 如图，建立空间直角坐标系， 于是 所以 这就是空间两点间的距离公式. 则 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用向量垂直求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 03 应用新知 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 应用新知 例2 证明 应用新知 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 例3 应用新知 解析 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 应用新知 解析 O A B C x y 图1.3-9 D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 z 应用新知 规律方法 1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 04 题型强化训练 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 例题 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 解析 重要题型专练 题型一 空间向量的坐标运算之根据平行关系求参 解析 重要题型专练 方法总结 根据平行关系求参的步骤 重要题型专练 题型二 空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 例题 重要题型专练 题型二 空间向量的坐标运算之根据垂直关系求参 解析 重要题型专练 方法总结 根据垂直关系求参的步骤 05 真题感知 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 课堂小结 作业 巩固作业： 教科书第21页练习第4、5题 教科书第22-23页习题第6、7、8题 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 解析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· （25-26高二上·广东东莞·期中）设 ，向量 ， ， ， 则 （   ） A． B． C． D．1 【解析】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 2.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量 ， ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 3.（25-26高二上·河南·期中）已知 ， ，则 在 上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】在上的投影向量为 故选：B. 4.（25-26高二上·上海·期末）设 ，向量 ， ，且 ，则 （    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【详解】，，，， ，解得：. 故选：D 5.（25-26高二上·上海·期末）设 ，向量 ， ，且 ，则 （    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 6.（25-26高二上·北京·期中）已知向量 ， ，则 为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先求的坐标，再求向量模即可求解. 【解析】由题意有：， 所以. 故选：B. 7.（25-26高二上·重庆·期中）向量 ，若 与 垂直，则 的值为（   ） A． B．1 C．5 D．0 【解析】由向量，得. 若与垂直，则，所以， 解得. 故选：A. 8.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量 ， ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. （25-26高二上·北京西城·期中）设 ，向量 ， ， ， 且 ， ，则 （    ） A． B． C．1 D．2 【解析】由题意得，，， 得，，则. 故选：A 10.（25-26高二上·北京西城·期中）设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （    ） A． B． C．1 D．2 【解析】由题意得，，， 得，，则. 故选：A 分析：要证明，只要证明，即证． 我们只要用坐标表示，，并进行数量积运算即可． 如图1.3-8，在正方体中，E，F分别是，的中点． 求证：． 不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系， 则，，所以． 又，，所以． 所以． 所以，即． （1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系， 则点A的坐标为，点M的坐标为． 于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以． 所以. 所以，与所成角的余弦值是． 1.已知空间三点，，，设，． （1）若，，求； （2）若向量与平行，求． （1）点，，，∴， 由，设，且， ∴，解得， ∴或； （2）向量，， 由向量与平行，则， 解得或. (1)向量化：将空间中的平行关系转化为向量的平行关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0) 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 2.已知空间三点，，，设，． 若与互相垂直，求； ，， 若与互相垂直，则， ∴， 即， 化简得，解得或； (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2=0 建立关于参数的方程（组）． (4)解方程(组)即可得解． 1.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 由，有，则，解得． 故选：D． 2.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 由，有，则，解得． 故选：D． 3.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 4.（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 1．空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 夹角余弦值 模长 2． 空间任意两点与， 两点之间的距离 ． 特别地，点与原点间的距离公式为 ． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直：设， （1）平行：当的每一个坐标分量都不为0时， . （2）垂直： . P21-4.如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长． 因为正方体的棱长为a、点N， M分别在AC，上，，， 所以， 所以. P21-5.如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为，则，，，， ，， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. P22-6求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形． A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）， AB==7， AC==7， BC==7， ∴AB 2+AC 2=BC 2，AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形． P22-7. 已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长． 因为，， 所以， 线段AB的中点坐标为， 线段AB的长为 P23-8 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以, 设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. $