精品解析：吉林省长春市朝阳区长春力旺实验初级中学2025-2026学年下学期七年级期中数学

长春力旺实验中学2025-2026学年度下学期七年级期中数学教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程的变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 已知某三角形的三边长分别为2，5，m，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 4. 多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 5. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图的伸缩门，其原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线 7. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何?”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知方程，若用来表示，可得___________． 10. 已知，，当的值为_____时，． 11. 若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______． 12. 定义符号“※”的运算规则为，则方程的解为_____． 13. 一个标价为100元的水杯打八折出售，商家仍可获得的利润（与成本比较），此水杯的成本价为_____元． 14. 如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③； ④．其中正确的是______． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程（组）： （1）解方程：． （2）解方程组：． 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式：． （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 17. 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 18. 如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数． 19. 整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 20. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在如图网格中按要求画图． （1）如图①，在上找格点，连接，使得； （2）如图②，在的内部找格点，连接、、，使得； （3）如图③，在内部找格点，连接、，使得． 21. 阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． （1）【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） （2）【运用】若，证明 （3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 22. 火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． （1）据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ （2）若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 23. 概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三等分线”，是“邻三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，，是的“三等分线”，则_____； （2）如图②，在中，，，若的邻三等分线与的邻三等分线交于点P，则_____； （3）如图③，在中，、分别是邻三等分线和邻三等分线，且，求的度数． （4）【延伸推广】在中，是的外角，的邻三等分线与的三等分线交于点P．若，，直接写出的度数．（用含x，y的代数式表示） 24. 如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） （2）当点P运动到中点时，求线段的长； （3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； （4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学2025-2026学年度下学期七年级期中数学教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断即可，一元一次不等式的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式． 【详解】解：∵一元一次不等式满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，不等号两边均为整式. A、 含有2个未知数，不符合定义，错误； B、 中 是分式，不等号两边不都是整式，不符合定义，错误； C、 中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； D、 只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，正确． 2. 下列方程的变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案． 【详解】A.D不对，因为移项时没有变号； B:系数化1时，方程两端要同时除以未知数的系数； 运用排除法可得C正确. 故选:C. 【点睛】此题主要考查解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等，移项，系数化为1的依据是等式的性质． 3. 已知某三角形的三边长分别为2，5，m，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出m的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵三角形三边长为2，5，m，根据三角形三边关系可得： ， ∴ 观察选项，只有6满足，故B正确． 4. 多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】密铺的核心条件是围绕一点拼接的多边形内角和恰好等于，即正多边形的单个内角度数能整除时，才可单独密铺，计算各选项内角度数即可判断． 【详解】解：A. 正三角形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； B. 正四边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； C. 正六边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； D. 正八边形每个内角为 ， ，不是整数，不能整除， 不能单独密铺，符合题意． 5. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于、的二元一次方程组，求出、的值后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴． 6. 如图的伸缩门，其原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案． 【详解】解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形，利用四边形的性质是解题关键． 7. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何?”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子的重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可列方程组． 故选：A． 8. 若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可求解． 【详解】解：由不等式组得：， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数是、0、1、2， ∴， 解得：． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知方程，若用来表示，可得___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 已知，，当的值为_____时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列得一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），结合题意可列出方程180°（n-2）=360°×2，再解即可． 【详解】解：多边形内角和=180°（n-2）， 外角和=360°， 所以，由题意可得180°×(n-2)=2×360°， 解得：n=6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360度． 12. 定义符号“※”的运算规则为，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算规则得到的表达式，代入原方程得到一元一次方程，解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 13. 一个标价为100元的水杯打八折出售，商家仍可获得的利润（与成本比较），此水杯的成本价为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】设此水杯的成本价为x元，根据标价为100元的水杯打八折出售，仍可获得的利润，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设此水杯的成本价为x元， 由题意得： 整理得， 解得：， 即此水杯的成本价为元． 14. 如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论： ①；②；③； ④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查角度的证明，角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法． 根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义证明结论②，证明，再结合①的结论可得结论③，证明，再由，可以证明结论④． 【详解】解：如图，设交于点， ①， ， ， ， ，①正确； ②平分， ，， ， ， ，②正确； ③，， ， ， ， ， ， 由①得：， ，③正确； ④，， ， ，， ， ，④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程（组）： （1）解方程：． （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式：． （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）；见解析 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集在数轴上表示，如图所示： 17. 某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】应分配12人生产螺栓，则16人生产螺帽 【解析】 【分析】设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套，根据数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，由题意，得： ， 解得：x=12， ∴生产螺帽的有：28-12=16(人)． 答：应分配12人生产螺栓，则16人生产螺帽． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，配套问题的运用，解答时根据配套问题的数量关系建立方程是关键． 18. 如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 根据已知条件得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，于是得到答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19. 整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】先安排4人工作 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设先安排人工作， 由题意得，， ​， ， 解得． 答：先安排 4 人工作． 20. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在如图网格中按要求画图． （1）如图①，在上找格点，连接，使得； （2）如图②，在的内部找格点，连接、、，使得； （3）如图③，在内部找格点，连接、，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）画出的边上的中线，即可解答； （）取格点，连接、、，可知和的底相同，的高是的倍，所以，故点即为所求； （3）取格点，连接、，求出，得到，故点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，点M即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点M即为所求； 理由如下： 由图可知，， 点M到的距离为2，到的距离为1， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，点M即为所求； 理由如下： 由图可知，， 点M到的距离为3， ∴， ∴， ∴． 21. 阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． （1）【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） （2）【运用】若，证明 （3）【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； 【小问3详解】 解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22. 火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． （1）据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ （2）若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】（1）共有3种方案 （2）安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少 【解析】 【分析】（1）设安排A种货箱x节，则安排B种货箱节，根据题意列出不等式组，解不等式组即可； （2）分别求出三种方案的运费，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：设安排A型货箱x节，则安排B型货箱节，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴，29，30， ∴共3种方案：安排A型货箱28节，B型货箱22节；安排A型货箱29节，B型货箱21节；安排A型货箱30节，B型货箱20节； 【小问2详解】 解：当安排A型货箱28节，B型货箱22节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱29节，B型货箱21节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱30节，B型货箱20节时，需要的运费为： （万元）； ∵， ∴安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少． 23. 概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三等分线”，是“邻三等分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，，是的“三等分线”，则_____； （2）如图②，在中，，，若的邻三等分线与的邻三等分线交于点P，则_____； （3）如图③，在中，、分别是邻三等分线和邻三等分线，且，求的度数． （4）【延伸推广】在中，是的外角，的邻三等分线与的三等分线交于点P．若，，直接写出的度数．（用含x，y的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三分线定义求出结果即可； （2）根据“三分线”定义求出，，在根据三角形内角和定理求出； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）分两种情况：当是 “邻三等分线”时，当是 “邻三等分线”时，分别根据三角形外角的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，是的“三分线”， ， ； 【小问2详解】 解：∵在中，，，的邻三等分线与的邻三等分线交于点P， ∴， ， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ， ∵、分别是邻三等分线和邻三等分线， ，， ， ， ； 【小问4详解】 解：∵，，为的外角， ∴， ∵是 “邻三等分线”， ∴， 当是 “邻三等分线”时，如图所示： ∴， ∴， ∴； 当是 “邻三等分线”时， ∴， ∴； 综上：的度数是或． 24. 如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） （2）当点P运动到中点时，求线段的长； （3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； （4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【答案】（1） （2）7 （3）2， （4）和 【解析】 【分析】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式，是解题的关键： （1）用的长减去点的路程，列出代数式即可； （2）求出点运动的时间，进而求出点的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可； （4）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； 【小问3详解】 点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； 【小问4详解】 当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $