精品解析：2026年浙江台州市椒江区初中毕业生学业适应性考试（二模）数学试卷

2026年椒江区初中毕业生学业适应性考试 数学 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( ) A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先根据主视图和左视图可得这个几何体是锥体，再根据俯视图即可得出这个几何体是四棱锥． 【详解】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体是锥体； 根据俯视图可得：这个几何体是四棱锥； 故选：B． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，根据三视图判断出几何体的形状是解答此类问题的关键． 3. 据最新统计，台州市常住人口数约为人，其中数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴转变时，，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 4. 如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（　　） A. 6πm2 B. 3πm2 C. 2πm2 D. πm2 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解:∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm， ∴花圃的面积为＝3π， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式． 5. 如图，已知，点在上，，以为圆心，长为半径画弧交于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点D作于点F，解直角三角形，求出，再根据三线合一进行求解即可． 【详解】解：连接，过点D作于点F， ∴， 在中，，， ∴； 依题意可得：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴； ∴． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，推导出，得到，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴． 8. “九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 9. 体育老师将7名男生某次引体向上测试的成绩（成绩均为整数，满分10分）整理成下表： 最小值 众数 中位数 3分 8分 6分 已知7名男生中有1名男生得了5分，下列判断中正确的是（） A. 至少可以确定6名男生的测试成绩 B. 得6分的男生只有1人 C. 不可能有男生得10分 D. 7名男生测试成绩的平均分可能是6分 【答案】D 【解析】 【分析】将7个成绩从小到大排序，根据中位数定义得中位数是第4个数，再结合最小值、众数、已知1个5分的条件，逐一分析选项即可． 【详解】解：将7名男生的成绩从小到大排列为， ∵共7个数，中位数为6， ∴， ∵最小值为3， ∴， 已知有1个5分，故5一定出现在或， 众数为8，故8的出现次数多于其他数． A．存在多个符合条件的不同成绩组合，例如3，4，5，6，8，8，8和3，5，6，6，8，8，8都满足条件，无法确定至少6人的成绩，A错误． B．上述组合3，5，6，6，8，8，8中，得6分的男生有2人，B错误． C．组合3，4，5，6，8，8，10满足所有给定条件，存在男生得10分，C错误． D．组合3，4，5，6，8，8，8满足所有条件，总分为，平均分为分，故平均分可能是6分，D正确． 10. 已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 12. 若使代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 从位男生和位女生中任选人参加志愿者活动，则所选人中恰好为位男生和位女生的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题用列举法列出所有等可能的选法，再找出符合条件的选法数量，根据概率公式计算即可． 【详解】解：记位男生为男、男，位女生为女，从中任选人， ∴所有等可能的结果为：①男、男，②男、女，③男、女，共种情况， 其中恰好为位男生和位女生的结果有种情况， ∴所选人中恰好为位男生和位女生的概率． 14. 如图，将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到，则四边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平移的性质，等边三角形的性质计算即可． 【详解】将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到， ，，， 四边形的周长 故答案为： 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 15. 若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象中心对称性，可得两交点关于原点对称，得到两交点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 直线过原点，且正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴ 两交点，关于原点对称， ∴， ∵ 点在双曲线上， ∴， 将代入得： ． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 【点睛】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方程，将几何关系转化为代数问题求解． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，再加减即可． 【详解】解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【详解】解：， 两边同时乘，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 19. 如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 20. 某校为了解学生最喜爱的体育项目（每人必选且只选一项），随机抽取部分学生进行问卷调查，调查项目包含篮球、排球、乒乓球、羽毛球及其他体育项目．现将调查结果整理并绘制成如下统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）估计该校男生与女生的人数之比． （2）估计该校550名男生中最喜欢羽毛球项目的人数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据样本，分别计算出男女生人数，计算比例即可； （2）先计算出样本中男生最喜欢羽毛球的人数占男生总人数的比例，然后得到该校550名男生中最喜欢羽毛球项目的人数． 【小问1详解】 男生人数：， 女生人数：， 所以该校男生与女生的人数之比为． 【小问2详解】 样本中男生最喜欢羽毛球的人数占男生总人数的比例为， 所以该校550名男生中最喜欢羽毛球项目的人数为． 21. 【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： （1）奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）小红的计算结果不正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（2）设奇数为（为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明结论； （3）根据的奇偶性，分析判别式被除的余数，将2026除以得到余数，对比即可判断结果是否正确． 【小问1详解】 解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见（2）； 【小问2详解】 证明：整数为奇数时，设（其中为整数）， ， 是整数， 是整数， 能被整除， 被除所得余数为； 【小问3详解】 解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数）， ∴， 当为偶数时，由题干可得，能被整除， ∵是的整数倍， ∴能被整除，即被除余数为； 当为奇数时，由（2）可知，被除余数为， ∵是的整数倍， ∴被除余数为， ∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或， ，即2026被除余数为，不满足上述结论， 小红的计算结果不正确． 22. 图为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘，上．点在边上，为中点，从点发出的一束光线经边上的平面镜反射后，得到反射光线，光线再经上的平面镜反射，最终反射光线交于点．根据光的反射定律，可推得，． （1）求证：． （2）已知，若反射光线恰好经过点（如图2），求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义得出，，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，即可得出，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，可证明，得出，根据，可证明，根据相似三角形的性质求出的长即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． （1）求的值． （2）与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． （3）已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）把代入，解方程求出的值即可； （2）先求出的对称轴为直线，根据二次函数的对称性得出，根据求出，求出顶点坐标为，把，分别代入，求出的值，即可得出的函数值的取值范围； （3）把，分别代入，，可得，整理后，根据判别式得出，解不等式，结合，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵的图象过点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴的对称轴为直线， ∵与轴平行的直线与的图象交于，两点， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴的顶点坐标为， 把代入得，， 把代入得，， ∵， ∴当时，的函数值的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵点，分别在，图象上， ∴，， ∴， 整理得，， ∵关于的一元二次方程需有实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 24. 如图，点是上的一个定点，点，是上的动点，且，为锐角，过点作的垂线分别交，于点，，点在边上，，交于点． （1）求证：． （2）连结，如图，求证：． （3）已知半径为，求的值． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识点，熟练运用相关几何定理与性质是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，结合三角形内角和定理证明角度的倍数关系； （2）通过连接圆心与圆上的点，结合垂直平分线的判定与性质、平行线的判定，利用等角对等边证明线段相等； （3）利用（1）（2）的结论，结合等腰三角形的性质推导线段间的数量关系，再通过相似三角形的性质将所求乘积转化为与圆半径相关的式子，进而求出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，，，， ，， 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年椒江区初中毕业生学业适应性考试 数学 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( ) A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 3. 据最新统计，台州市常住人口数约为人，其中数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（　　） A. 6πm2 B. 3πm2 C. 2πm2 D. πm2 5. 如图，已知，点在上，，以为圆心，长为半径画弧交于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. “九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 9. 体育老师将7名男生某次引体向上测试的成绩（成绩均为整数，满分10分）整理成下表： 最小值 众数 中位数 3分 8分 6分 已知7名男生中有1名男生得了5分，下列判断中正确的是（） A. 至少可以确定6名男生的测试成绩 B. 得6分的男生只有1人 C. 不可能有男生得10分 D. 7名男生测试成绩的平均分可能是6分 10. 已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 若使代数式有意义，则的取值范围是________． 13. 从位男生和位女生中任选人参加志愿者活动，则所选人中恰好为位男生和位女生的概率是__________． 14. 如图，将边长为6个单位的等边沿边BC向右平移3个单位得到，则四边形的周长为______． 15. 若直线与双曲线的交点为，，则的值为__________． 16. 如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 20. 某校为了解学生最喜爱的体育项目（每人必选且只选一项），随机抽取部分学生进行问卷调查，调查项目包含篮球、排球、乒乓球、羽毛球及其他体育项目．现将调查结果整理并绘制成如下统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）估计该校男生与女生的人数之比． （2）估计该校550名男生中最喜欢羽毛球项目的人数． 21. 【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： （1）奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 22. 图为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘，上．点在边上，为中点，从点发出的一束光线经边上的平面镜反射后，得到反射光线，光线再经上的平面镜反射，最终反射光线交于点．根据光的反射定律，可推得，． （1）求证：． （2）已知，若反射光线恰好经过点（如图2），求的长． 23. 如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． （1）求的值． （2）与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． （3）已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 24. 如图，点是上的一个定点，点，是上的动点，且，为锐角，过点作的垂线分别交，于点，，点在边上，，交于点． （1）求证：． （2）连结，如图，求证：． （3）已知半径为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $