精品解析：陕西延安市延长县2025～2026学年度第二学期期中教学质量调研试卷

2025-2026学年度第二学期期中教学质量调研试卷 八年级数学（人教版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴ 解得． 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故选：A ． 3. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可． 【详解】解：设中边上的高为h， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， 解得 ∴中边上的高是． 故选：A． 6. 如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 7. 如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 8. 如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于R，延长交于H，连接， 得矩形，用勾股定理解求出，证明，推出，点R与点M重合， 进而可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于R，延长交于H，连接， 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ， ∴点R与点M重合， ∵点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 10. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 11. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，轴， ∴． 12. 如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 13. 赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①），小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”．如图②，在等边中，，，是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，先由题意推出是等边三角形，从而得到，利用解直角三角形求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：过点作于点， 在等边中，，， ，，是三个全等的三角形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形的相关计算、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 14. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】化简为最简二次根式后，再利用二次根式的乘除法则计算，最后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开第一项，利用乘法分配律和二次根式乘法法则计算第二项，最后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形中，．请用尺规作图法在、边上分别确定点E、F，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【详解】解：如图，先连接，再作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、，则四边形是菱形．（理由：先利用全等三角形的性质证出，则可得四边形是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形．） ． 18. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明得到，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 已知，，求的值． 【答案】24 【解析】 【分析】将所求代数式变形为完全平方与的组合，利用平方差公式计算，整体代入简化计算． 【详解】解：∵， ∴； ， 由题意得， ． 20. 如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形，分别是菱形与正方形，且为对角线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ， ． 21. 如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【答案】工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在根据勾股定理求出米，在中根据勾股定理求出米，根据计算即可． 【详解】解：由题意得：（米），（米）， 在中，由勾股定理得： （米） 在中，由勾股定理得： （米） （米） 答：工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 22. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得即可． 【小问1详解】 证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又∵，且， ， ， ， ， ． 23. 如图，某乡村打造矩形农耕生态园，生态园整体是一个长为，宽为的矩形，在园区内部规划两块功能区，左边规划一个边长为的正方形苗木培育区域，右边规划一条长为，宽为的绿植隔离带． （1）现计划在该矩形农耕生态园一周修建篱笆，求修建篱笆的长度； （2）若除去两块功能区外，剩下的部分种植水稻，求种植水稻的面积． 【答案】（1）修建篱笆的长度为 （2）种植水稻的面积为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出篱笆的长度即可； （2）先分别求出生态园整体面积、正方形苗木培育区域的面积、绿植隔离带的面积，进而即可计算种植水稻的面积． 【小问1详解】 解：如下图： 由题意得，四边形为矩形， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵四边形为正方形，且边长为， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，且，， ∴， ∴． 24. 如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为10 【解析】 【分析】（1）根据，平分，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质，得到，．利用勾股定理即可得到的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，交于点，如图， 由题意得，菱形的边长为13，对角线， ， 点、分别是边、的中点， ， 、是菱形的对角线， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 25. 如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？ 【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米. 【解析】 【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案； （2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴，∠CAB=45°， ∵， 在△ACD中，有 ， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD=90°， ∴； （2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图： 由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF， 由（1）知，∠BAD=135°， ∴∠DAE=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE， 在Rt△ADE中，有， 解得：， ∴； ∴被监控到的道路长度为米. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算. 26. 解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． （1）如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； （2）如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3）当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【解析】 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中教学质量调研试卷 八年级数学（人教版） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 24 D. 2 3. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：_____． 10. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 11. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 12. 如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 13. 赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①），小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”．如图②，在等边中，，，是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长为_____． 14. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，．请用尺规作图法在、边上分别确定点E、F，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知，，求的值． 20. 如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 21. 如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 22. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 如图，某乡村打造矩形农耕生态园，生态园整体是一个长为，宽为的矩形，在园区内部规划两块功能区，左边规划一个边长为的正方形苗木培育区域，右边规划一条长为，宽为的绿植隔离带． （1）现计划在该矩形农耕生态园一周修建篱笆，求修建篱笆的长度； （2）若除去两块功能区外，剩下的部分种植水稻，求种植水稻的面积． 24. 如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． （1）求的度数； （2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？ 26. 解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． （1）如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； （2）如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $