9.2 用样本估计总体 巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦“用样本估计总体”，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一概念到实际问题解决的递进，培养数据意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|百分位数、中位数、极差计算|单选题1-3直接考查核心概念，如第60百分位数求解| |技能应用|频率分布直方图、方差计算|填空题12-14结合图表分析，解答题15-16强化图表应用| |综合拓展|分层抽样方差、实际问题建模|解答题17-19涉及跨情境数据处理，如模联成绩分析|

9.2用样本估计总体巩固练习 一、单选题 1．一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】借助百分位数定义与平均数定义计算即可得. 【详解】，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数， 即，即有，解得. 故选：A. 2．已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（   ） A．中位数为5，极差为7 B．中位数为5，极差为8 C．中位数为5.5，极差为7 D．中位数为5.5，极差为8 【答案】C 【分析】利用中位数和极差公式求解即可. 【详解】由题可得中位数是，极差为：. 故选：C. 3．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： . 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 故选：B. 4．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．则估计该中学学生对个性化作业的评分不低于70分的频率为（    ） A．0.65 B．0.68 C．0.72 D．0.55 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质知：，解得， 故评分不低于70分的频率为：. 故选：B. 5．某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 【答案】C 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】设女员工的平均体重为，方差为，男员工的平均体重为，方差为，则， 所以所抽取的所有员工的平均体重为， 所以所抽取的所有员工的体重的方差为： . 故选：C. 6．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即.所以D不正确. 故选：D. 7．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论. 【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个， 且，所以这个零件的直径的第百分位数为． 故选：C. 8．某校高二、一班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】先设男、女生的人数占比，将已知条件转化为方程或方程组，最后求解. 【详解】设该班女生占比为，则男生占比为，其中， 已知男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差， 全班成绩的总平均数:, 因为全班成绩的总方差:, 即：, 化简得：,即, , ,所以该班女生人数为:人. 故选：A. 二、多选题 9．高一、一班天文爱好者小组收集并整理了本市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 【答案】BD 【分析】根据折线图结合极差、中位数的理解逐项分析即可得出. 【详解】由图知11月21日至30日最低气温的最大值均小于，最小值为，则极差小于，故A不正确； 由图可知11月21日至30日的日最高气温共计10天， 从小到大排序的日期为：25日，26日，27日，22日，21日，24日，23日，28日，29日，30日， 所以日最高气温的中位数为21日，24日两天对应气温的平均值，即， 故11月21日至30日的日最高气温的中位数是，故B正确； 由图可知在11月21日至30日中，有24日，25日，26日共3天的日最低气温低于，故C不正确； 由11月21日的日温差为，11月22日的日温差约为， 11月23日的日温差约为，11月24日的日温差为， 11月25日的日温差约为，11月26日的日温差约为， 11月27日的日温差约为，11月28日的日温差约为， 11月29日的日温差约为，11月30日的日温差为， 所以11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大，故D正确. 故选：BD. 10．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 故选：ACD. 11．某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．男员工中被抽到参加测试的人数占总员工数的比是 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 【答案】BCD 【分析】由分层抽样可判断A；利用抽样比可求得抽取的男、女员工人数，进而可得到男员工被抽到的概率，判断C，再结合分层抽样的均值、方差公式可判断B、D. 【详解】设参加专业技术技能测试的60人中，女员工有人，则，解得，故A错误． 设60人中男员工的平均成绩为，方差为，女员工的平均成绩为，方差为，所有参加测试的60人的平均成绩为，方差为，则 所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值，故B正确． 名男员工中被抽到参加测试的人数为,男员工中被抽到参加测试的人数占总员工的比 是，故C正确． ，解得 所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 【答案】0.53 【分析】利用频率的意义求解即可. 【详解】由表可以得出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53种结果， 所以取到号码为奇数的频率是. 故答案为：0.53. 13．两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 【答案】 【详解】易知两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，所以； 两组同学该周课外运动时长的方差分别为， ，所以， 因此. 14．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 四、解答题 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组数的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因为，根据方差越大数据波动越大，方差越小越稳定判断，组更像是由专业人士组成的． 16．某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)分别求出成绩落在与中的学生人数； (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解； （2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可； （3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）设为成绩落在上的频率，为成绩落在的人数， 由题意得， 设为成绩落在上的频率，为成绩落在的人数， . （3）由题意得众数为75分；                                            由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15， 落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1， 则平均数为， 设为78分以上的频率，为78分以上的人数， 则 ， ， 故78分以上的人数为47人. 17．某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数:， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 18．模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加省级模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？ 【详解】（1）, 因为， 所以，所以中位数为； （2）因为， 所以在内应各抽取： .即分别各取：12人、10人、2人。 19．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 【分析】（1）借助频率和为1计算即可得； （2）利用中位数定义计算即可得； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，借助加权平均数计算即可得；②分别计算文科得分与理科得分即可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2用样本估计总体巩固练习 一、单选题 1．一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（   ） A．中位数为5，极差为7 B．中位数为5，极差为8 C．中位数为5.5，极差为7 D．中位数为5.5，极差为8 3．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： . 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 4．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．则估计该中学学生对个性化作业的评分不低于70分的频率为（    ） A．0.65 B．0.68 C．0.72 D．0.55 5．某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 6．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 7．某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 8．某校高二、一班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 二、多选题 9．高一、一班天文爱好者小组收集并整理了本市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 10．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 11．某企业有员工600人，其中男员工400人，女员工200人．该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取60人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为87分，方差为148，女员工的平均成绩为93分，所有参加专业技术技能测试的60人成绩的方差为196，则下列结论正确的有（    ） A．参加专业技术技能测试的60人中有女员工30人 B．所有参加专业技术技能测试的60人成绩的均值为89分 C．男员工中被抽到参加测试的人数占总员工数的比是 D．所有参加专业技术技能测试的60人中女员工成绩的标准差为 三、填空题 12．从存放号码分别为的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 则取到号码为奇数的频率是___________． 13．两组各有4位同学，他们某周的课外运动时长（单位：）记录如下： A组 5 6 7 8 B组 6 8 9 ①设两组同学该周课外运动时长的平均数分别为，则__________；（填“”“”或“”） ②设两组同学该周课外运动时长的方差分别为，则__________.（填“”“”或“<”） 14．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 四、解答题 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 16．某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)分别求出成绩落在与中的学生人数； (3)估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数． 17．某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 18．模联协会进行知识线上问答，共有100名同学参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，试估计这100人的问答成绩的中位数（结果保留整数）； (2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的学生中抽取24人参加省级模联知识问答比赛，那么在内应各抽取多少人？ 19．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $