9.2.1 课时1 总体取值规律的估计 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力拓展、素养提升三层次设计，构建“基础计算→情境应用→综合决策”的知识巩固路径，强化频率分布直方图的理解与应用，培养数据观念和数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|频率分布直方图基本计算（求人数、频率、组数）|以身高、用电量等简单情境为主，如第1题身高低于170cm人数估计，夯实概念理解| |能力拓展|结合实际情境的综合应用（竞赛成绩、哈密瓜质量）|融入大运会、农业生产等真实场景，如第9题大运会知识竞赛成绩区间人数计算，提升应用意识| |素养提升|跨情境复杂问题解决（零件尺寸匹配与决策）|通过工厂两区零件尺寸分析及方案选择，如第12题损失费用估计与方案比较，发展数学思维与决策能力|

9.2.1 课时1总体取值规律的估计 【基础巩固】 1．某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A．56 B．52 C．48 D．44 【答案】A 【解析】由图可得，得， 所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为． 故选：A 2．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由题得，所以． 在之间的学生：人， 在之间的学生：人， 在之间的学生：人， 又用分层抽样的方法在之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：， 所以成绩在之间的学生中抽取的人数应为，即. 故选：D． 3．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（ ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【解析】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 4．为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了一批口罩，所得数据如下图所示，为了进一步了解情况，研究人员在被抽取的口罩中按照质量的指标值再次进行分层抽样，共抽取个，若质量的指标值在中的抽取个，则下列说法正确的是（ ） A．质量的指标值在中的抽取个 B．质量的指标值在中的抽取个 C．质量的指标值在中的抽取个 D． 【答案】D 【解析】质量的指标值在内的频率为，所以，， 所以，质量的指标值在中的抽取的数量为个， 质量的指标值在中的抽取的数量为个， 质量的指标值在的抽取的数量为个，ABC错，D对. 故选D. 5．（多选）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】ABC 【解析】A选项，超过小时的概率估计为：，A选项正确. B选项，超过小时的概率估计为：， 所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过小时，B选项正确. C选项，超过小时的概率估计为：，C选项正确. D选项，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：， 所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D选项错误. 故选：ABC. 6．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为__________． 【答案】 【解析】第一组；第二组；第三组；第四组；第五组；第六组；第七组.所以组数为. 7．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 【答案】68 【解析】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ，故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 8．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分： 为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图： (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？ 【答案】见解析 【解析】(1)因为之间的数据一共有个， 再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为， 因此，， 又，； (2)由频率分布直方图可知：落在之间共：（台） 又因为在之间共台，落在之间共台，所以（台）. 故这批空气净化器等级为的空气净化器共有台. 【能力拓展】 9．2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【解析】由频率分布直方图可得，解得， 所以成绩落在区间内的人数为.故选：C. 10．（多选）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A． B．估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 【答案】BCD 【解析】选项A：，解得，A错误； 选项B：估计该哈密瓜的质量不低于的比例为，B正确； 选项C：低于的概率为， 低于的概率为， 故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间，C正确； 选项D：低于的概率为，低于的概率为， 估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间，D正确. 故选：BCD 11．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 【答案】； 【解析】根据频率分布直方图的几何意义，坐标系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1，所以，得， 阅读时间不少于小时的人数为. 故答案为：①，②. 【素养提升】 12．已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 【答案】见解析 【解析】(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为； 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为， 则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为. (2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为 . 二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为 . 故. 因为，所以. 又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元， 所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二. 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1 课时1总体取值规律的估计 【基础巩固】 1．某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A．56 B．52 C．48 D．44 2．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（ ） A．35 B．40 C．42 D．45 4．为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了一批口罩，所得数据如下图所示，为了进一步了解情况，研究人员在被抽取的口罩中按照质量的指标值再次进行分层抽样，共抽取个，若质量的指标值在中的抽取个，则下列说法正确的是（ ） A．质量的指标值在中的抽取个 B．质量的指标值在中的抽取个 C．质量的指标值在中的抽取个 D． 5．（多选）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 6．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为__________． 7．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 8．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分： 为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：，，，，和，并绘制了如图所示频率分布直方图： (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共台）中等级为的空气净化器有多少台？ 【能力拓展】 9．2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ） A．20 B．40 C．60 D．80 10．（多选）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A． B．估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 11．某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组：.抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示.则实数______.这1000名学生阅读古典名著的时间不少于8小时的人数为______. 【素养提升】 12．已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数. (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件. 方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元. 方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元. 请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案. 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $