精品解析：福建莆田市秀屿区毓英中学2025-2026年九年级下学期第二次综合素养展示数学试卷

毓英中学2025－2026年九年级下学期第二次综合素养展示 数学试卷 一、选择题 1. 在下列四个数：、、、中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 为的直径，，则的度数为（　　） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 7. 已知一个菱形的两条对角线长是方程的两根，则此菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多．乙钞少半甲相和，二百无零堪可．乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可？”其大意是：“甲乙二人买酒，不知谁买多买少．只知乙买酒的钱的与甲买酒钱之和恰好为200文．若乙得到甲买酒钱的一半，也有200文．试问甲、乙买酒各用了多少钱，才智出众的人算得无误，就称为好解法．”设甲买酒钱x文，乙买酒钱y文，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接 ，若，则的长是（ ） A. 9 B. 4 C. 7 D. 8 10. 如图，将抛物线位于x轴下方的图象沿x轴翻折，直线轴，与图象交于A、B、C、D四点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 因式分解：__________． 12. 不等式的解集是______． 13. 如图，直线与直线：相交于点．则关于x，y的方程组的解是______． 14. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 15. 如图，半径为2的与正五边形的两边 ， 相切于A，C两点，则扇形（小于半圆）的面积是______． 16. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂 阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 如图，，，，求证：． 19. 化简求值：，其中． 20. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 七年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 18 12 豆包 a 腾讯元宝 6 其他软件 4 （1）______； （2）已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”，现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状图的方法求挑出的恰好是“”和“”的概率． 21. 如图，在菱形 中，E是边 的中点，连接 并延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 22. 如图， 是的直径，是弦 延长线上的一点，且的延长线交于点 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知整数，，，，满足，且． （1）求证：为正数； （2）若为奇数，判断是否可以为偶数，说明你的理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接， ．求的最小值． 25. 阅读材料，回答问题 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正 方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶 点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积 最大？ 特例感知 在，，，． 问题1： （1）小明同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求 作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直 接写出所截取正方形的边长为 ； 问题2： （2）小红同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两 条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3： （3）对于任意，，，，，设按 小明方法所截取的正方形边长为，按小红方法所截取的正方形边长为，试 比较，的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 毓英中学2025－2026年九年级下学期第二次综合素养展示 数学试卷 一、选择题 1. 在下列四个数：、、、中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是． 2. 观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图求解即可． 【详解】解：该几何体俯视图是： 4. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A：，故A计算错误； B：，故B计算错误； C：，故C计算正确； D：，故D计算错误． 6. 如图， 为的直径，，则的度数为（　　） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可知，再由，可得结论． 【详解】解：连接 ． ∵ 为的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题． 7. 已知一个菱形的两条对角线长是方程的两根，则此菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积公式及一元二次方程根与系数的关系，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，结合方程两根之积即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、， 、是方程的两个根 ， 菱形的面积等于对角线乘积的一半， ． 故答案为：C． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多．乙钞少半甲相和，二百无零堪可．乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可？”其大意是：“甲乙二人买酒，不知谁买多买少．只知乙买酒的钱的与甲买酒钱之和恰好为200文．若乙得到甲买酒钱的一半，也有200文．试问甲、乙买酒各用了多少钱，才智出众的人算得无误，就称为好解法．”设甲买酒钱x文，乙买酒钱y文，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲买酒钱 文，乙买酒钱文，根据题意有等量关系：甲的钱＋乙的钱的＝200文钱，乙的钱＋甲所有钱的＝200文钱，据此列方程组即可． 【详解】解：设甲买酒钱 文，乙买酒钱文， 根据题意，得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 9. 如图，点O是 的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接 ，若，则 的长是（ ） A. 9 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由题意易得是 的中位线， 是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是 的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴． 10. 如图，将抛物线位于x轴下方的图象沿x轴翻折，直线轴，与图象交于A、B、C、D四点，若，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题意得或，可得是方程的两个根，是方程的两个根，根据根与系数的关系可得，再根据得出关于k的方程求解后即可作答． 【详解】设 由题意得或 整理得或 是方程的两个根，是方程的两个根 即 解得 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，二次函数图象的几何变换及一元二次方程根与系数的关系，能够把交点问题转化为方程根的问题是解题的关键． 二、填空题 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13. 如图，直线与直线：相交于点．则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线：相交于点 ∴将点代入 得，， ∴， 而 与可变形为和， ∴方程组的解是． 14. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为． 15. 如图，半径为2的与正五边形的两边，相切于A，C两点，则扇形（小于半圆）的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据切线的性质得到，，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接、， ∵，相切于A，C两点， ∴，， ∵正五边形的每个内角的度数为， ∵五边形的内角和为， ∴， ∴扇形（小于半圆）的面积是． 16. 如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂 阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______ ． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意得到，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴y关于x的函数解析式为， ∵，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数y的最小值为． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，再计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定即可得解，根据，得，利用全等三角形的判定即可得证． 【详解】略 19. 化简求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 20. 中国的人工智能（）领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 七年级学生最常使用的“”软件统计表 软件 使用人数 18 12 豆包 a 腾讯元宝 6 其他软件 4 （1）______； （2）已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”，现从“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状图的方法求挑出的恰好是“”和“”的概率． 【答案】（1）10 （2）最常使用“”的同学约有432名 （3） 【解析】 【分析】（1）先得出七年级一班的总人数，然后问题可求解； （2）根据题意可直接进行求解； （3）将“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，然后根据列表法可求解概率． 【小问1详解】 解：七年级一班总人数为（人）， ∴； 【小问2详解】 解：（名）， 答：最常使用“”的同学约有432名； 【小问3详解】 解：将“”、“”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“”和“”的结果有2种，即，， ∴挑出的恰好是“”和“”的概率为． 21. 如图，在菱形 中，E是边的中点，连接并延长交 的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵菱形 ， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形 是菱形，， ∴ ， ∴在中， ． 22. 如图， 是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 是的直径， ， ， 又 ， 垂直平分 ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得 垂直平分 ，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 23. 已知整数 ，，，，满足，且． （1）求证：为正数； （2）若为奇数，判断是否可以为偶数，说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）可以为偶数，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）可得，由于，为奇数，然后分为偶数或奇数进行讨论求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， ∴为正数 【小问2详解】 解：可以，理由如下： ， ①∵，为奇数， ∴当为偶数时，则为偶数，那么为偶数， ∴ 与同偶或同奇， ∴为偶数， ∴为偶数； ②∵，为奇数， ∴当为奇数时，则为奇数，那么为奇数， ∴ 与为一奇一偶， ∴为奇数， ∴为奇数； ∴综上可知，为偶数，当且仅当为偶数． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接 ，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段 上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1） （2）①，②5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交 轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交 轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段 上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 25. 阅读材料，回答问题 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正 方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶 点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积 最大？ 特例感知 在 ，，，． 问题1： （1）小明同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求 作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直 接写出所截取正方形的边长为 ； 问题2： （2）小红同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两 条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3： （3）对于任意 ，，，，，设按 小明方法所截取的正方形边长为 ，按小红方法所截取的正方形边长为，试 比较 ，的大小，并说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）用尺规作图作出小明作的正方形，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长； （2）利用相似三角形的性质求出小红作的正方形的边长； （3）利用相似三角形的性质分别把小明、小红作的正方形用含、的代数式表示出来，再用求差法比较两个正方形边长的大小关系． 【详解】（1）解：如下图所示， 作的平分线交边于点， 则有， 过点作，交于点， ， ， 以点为圆心为半径画弧，交于点 ，连接， 则有， 在和中，， ， ， 四边形是正方形， 正方形就是所求的正方形； 在中，，，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：如下图所示，设所截取正方形的边长为 ，过点作 边上的高线，分别交 、于点、I，则，， ，， ， ， ， 解得：， 在正方形中，， ， ， 即 解得：； （3）解：， 理由如下： 如下图所示，按小明方法截取， ， ， 即， 解得：， 如下图所示，按小红方法截取，由， 可得：， ， ， ，即， 解得：， 且，， 即，， ， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积、尺规作图、分式的加减混合运算、求差法比较分式的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $