精品解析：福建省莆田市秀屿区毓英中学2024-2025学年下学期九年级期中考试数学卷

九年级综合素质展示2数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数． 根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； B．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； C．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和轴对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义作答即可 【详解】A、该图形轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； B、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合要求； D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合要求； 故选：C． 3. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 7. 已知是锐角三角形，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，交于、两点．再分别以、为圆心，大于长为半径作弧，交于、两点．连接、，交点为，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得、分别是、的垂直平分线，推出为的外接圆的圆心，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，、分别是、的垂直平分线， 与的交点为的外接圆的圆心， ， ， 故选：D． 8. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确列表和画出树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种， 经过两次传球后又传到A手上的概率为． 故选：A． 9. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 10. 二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分情况讨论． 首先求出对称轴为直线，然后根据题意分和两种情况讨论，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴为直线 ①当时，抛物线开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故A正确，B错误； ②当时，抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故C，D均错误． 故选：A． 二、填空题∶本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 因式分解：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了运用提公因式法与公式法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法．本题先提公因式a，然后得到式子，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解∶  ， ， ， 故答案为． 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案：． 14. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，如图所示，连接，证明，即可得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 16. 正方形的面积为18，点E为对角线上不与点A，C重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．当点E从点A向点C运动的过程中，有以下结论：①；②与互余；③整个过程中，有4个时刻的长是整数；④四边形的最大面积为．其中正确的结论是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得，由可得，所以；②由矩形可得，则，推出，根据，得出，即可得出结论；③根据垂线段最短，得出当点E到达点H时，最小，且最小值为3，得出，从而得出可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个，从而得出答案；④为等腰直角三角形，得出，设，则，根据求出最大值即可． 【详解】解：①连接，交于点O，如图， ∵正方形的面积为18， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴，， 在和中 ∴ ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故②正确； ③连接交于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵垂线段最短， ∴当点E到达点H时，最小，且最小值为3， ∵点E为对角线上不与点A，C重合， ∴， ∵， ∴可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个， ∴整个过程中，有3个时刻的长是整数，故③错误； ④∵正方形中，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为，故④正确； 综上所述，正确的结论为：①②④， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，二次函数最值，图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 三、解答题∶本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程活演算步骤 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、特殊三角函数值、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握各运算的运算法则． 先分别计算立方根、绝对值、特殊三角函数值、负整数指数幂，再按照顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 18. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根． 19. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，通过菱形的性质证明，从而证明得到是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】（1）每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 （2）最多购买A种娃娃66个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； 【小问2详解】 解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 21. 已知实数，，，且满足，． （1）求证：的值为定值； （2）若，同号，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数关系得，， 的值为定值． 【小问2详解】 解：由（1）得， ，同号， ， 解得：， 又， ， ． 22. 已知中，，平分交于点D，其中． （1）将绕点D逆时针旋转至，其中点B的对应点E落在边上，请作出（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到； （2）由，，平分可得，，即可得到，得到，求出的长，最后由（1）作图可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， 由（1）作图可得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，尺规作图，图形的旋转，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程． 23. 某小区入口为A处，共有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋．为激励居民进行垃圾分类和可回收物交投，社区垃圾分类管理部门准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1）， 任务一：计算投放重量 “爱心衣物回收箱”是一个有偿回收系统，回收标准为0.7元/千克．某日，居民小海扫描回收箱上的二维码绑定手机号后，将回收物投入箱中，随后点击屏幕中的“结束投放”，很快屏幕显示1.53元已入账绑所绑定的手机．入账金额需满10元才可以提现，若小海想提现他至少还需投入多少千克的回收物； 任务二：测算运输费用 当回收箱满仓时，会有专人将回收物转运到中转站，再进行大仓分拣，最终实现资源再生．据调查，运输费用随着运输距离的变化情况如表所示： 距离x/千米 ．．． 1 2 3 4 5 6 ．．． 运费y/元 ．．． 10 11.4 13 14.5 16 17.5 ．．． 若小区入口A处与回收点的距离为3.6千米，请根据表中的数据估计满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用； 任务三：确定摆放位置 现需设计“爱心衣物回收箱”具体位置，使得它到4栋楼的距离之和最小．某数学兴趣小组开展了如下探究活动：小组成员借助小区平面图（如图2）测得，，根据比例测算出了某些道路的长度并抽象成图3，其中与交于点，米，米，米．请在图3中标出投放地点的位置，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据） 【答案】任务一：12.1千克；任务二：13.9元；任务三：543米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 任务 1 ，根据题意列出算式计算即可； 任务 2 ，先求出距离大于 3 千米时的函数解析式，再将代入解析式求出值即可； 任务 3 ，连接交于点，连接，根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到 4 栋住宅楼的距离之和最小．就是求出线段的值即可． 【详解】任务1，根据题意，想提现，则他至少还需投入回收物的质量为：（千克）， 答：小海想提现，则他至少还需投入12.1千克的回收物； 任务2：从表格数据看，当运输距离大于3千米时，与成一次函数，设解析式为， 将点代入解析式得： ， 解得：， ， 当时，（元）； 答：满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用为13.9元． 任务3：如图，连接交于点，连接，根据两点之间线段最短，则点位置就是使得它到4栋住宅楼的距离之和最小． ∵，， ， ， ∴垂直平分线段， ， ， ， ， ∵， ∵， ， ， 过点D作， 四边形是矩形 ， ， （米）． 答：点G到四栋楼距离之和最小值约为543米． 24. 综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 【答案】（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，则，据此可得答案； （2）作于点，分点在点左侧和点在点右侧，两种情况，解直角三角形求出的长，设出的长，表示出的长，根据，，建立方程讨论求解即可； （3）延长交于点，连接、，证明，推出，即可得到，解直角三角形得到；设，则，，进而得．求出．则，据此可得答案． 【详解】解：（1），是中边上的“亮点”，理由如下： 是的高线， ， ， ∵， ∴， ， ， 点是中边上的亮点 在中，是中线， ， 点是中边上的亮点． （2）过点作于， ①如图，当点在点左侧时， 在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍） ∴； ②如图，当点在点右侧时，由①可知，， 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍） 即． 综上所述，的长为4或9． （3）延长交于点，连接、， ，， ， ， ． 点是中边上的亮点， ， ． ∵， ∴ ， 设，则，． ． 在中，． 又， ．解得． ． 25. 已知二次函数的图象与轴交于点，，交轴于点． （1）若时． ①求二次函数的解析式； ②如图1，若点，，点在抛物线上，将绕点逆时针旋转至，当最小时，求点的横坐标； （2）如图2，经过点的直线与二次函数的图象交于点，直线交线段于点，若，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将，，代入解析式即可得到答案； ②根据旋转可得，当最小时最小，则当与抛物线相切时，最小，观察图象可得点在轴上方，进而设直线的解析式为，根据直线与抛物线只有一个交点，得出的值，进而联立抛物线与直线解析式，求得交点的横坐标，即可求解． （2）先求得，设交轴于点，过点作轴于点，根据解析式得出，直线的解析式为，由已知得出，进而得出直线的解析式为，求得点的坐标，然后待定系数法求二次函数的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵的图像与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴； ②解：如图所示， 依题意，， ∴当最小时最小，则当与抛物线相切时，最小，观察图象可得点在轴上方， ∵，设直线的解析式为 联立，则 即 ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴ 解得：或 或 解得：或 ∵， ∴的横坐标为； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点， 当时， ∴， 如图所示，设交轴于点，过点作轴于点， ∵经过点直线与二次函数的图象交于点， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即，设，直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得： ∴ 将，，代入 ∴ 解得： ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的总和运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合素质展示2数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1. 下列为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得金、银和铜共枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是锐角三角形，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，交于、两点．再分别以、为圆心，大于长为半径作弧，交于、两点．连接、，交点为，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题∶本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 因式分解：的结果是______． 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 14. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，若，则_______． 15. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 16. 正方形的面积为18，点E为对角线上不与点A，C重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．当点E从点A向点C运动的过程中，有以下结论：①；②与互余；③整个过程中，有4个时刻的长是整数；④四边形的最大面积为．其中正确的结论是_______． 三、解答题∶本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程活演算步骤 17 计算： 18 解方程：； 19. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 21. 已知实数，，，且满足，． （1）求证：的值为定值； （2）若，同号，求的取值范围． 22. 已知中，，平分交于点D，其中． （1）将绕点D逆时针旋转至，其中点B对应点E落在边上，请作出（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 23. 某小区入口为A处，共有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋．为激励居民进行垃圾分类和可回收物交投，社区垃圾分类管理部门准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1）， 任务一：计算投放重量 “爱心衣物回收箱”是一个有偿回收系统，回收标准为0.7元/千克．某日，居民小海扫描回收箱上的二维码绑定手机号后，将回收物投入箱中，随后点击屏幕中的“结束投放”，很快屏幕显示1.53元已入账绑所绑定的手机．入账金额需满10元才可以提现，若小海想提现他至少还需投入多少千克的回收物； 任务二：测算运输费用 当回收箱满仓时，会有专人将回收物转运到中转站，再进行大仓分拣，最终实现资源再生．据调查，运输费用随着运输距离的变化情况如表所示： 距离x/千米 ．．． 1 2 3 4 5 6 ．．． 运费y/元 ．．． 10 11.4 13 14.5 16 17.5 ．．． 若小区入口A处与回收点的距离为3.6千米，请根据表中的数据估计满仓时回收物从该小区运输到中转站的费用； 任务三：确定摆放位置 现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋楼的距离之和最小．某数学兴趣小组开展了如下探究活动：小组成员借助小区平面图（如图2）测得，，根据比例测算出了某些道路的长度并抽象成图3，其中与交于点，米，米，米．请在图3中标出投放地点的位置，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据） 24. 综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上“亮点”且．若，求的值． 25. 已知二次函数的图象与轴交于点，，交轴于点． （1）若时． ①求二次函数的解析式； ②如图1，若点，，点在抛物线上，将绕点逆时针旋转至，当最小时，求点的横坐标； （2）如图2，经过点的直线与二次函数的图象交于点，直线交线段于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $