专题02 等腰三角形与等边三角形的判定与性质【期末复习重难点专题培优十大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦等腰与等边三角形判定性质，以“题型分类讲练+真题分层演练”构建系统性训练，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型讲练|10类题型（含精讲+精练）|三线合一应用、等腰三角形存在性判定、反证法步骤、格点作图技巧|从性质判定（基础）到动态找点/作图（应用），再到反证法证明（逻辑），递进覆盖核心知识| |真题实战演练|50题（基础13题+拓展15题）|分层突破策略|结合坐标系、动态几何等情境，强化模型意识与空间观念，贴合中考命题趋势|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 等腰三角形与等边三角形的判定与性质『期末复习重难点专题培优』 【十个重点题型+期末真题实战演练 共50题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 三线合一 1 题型二 等腰三角形的性质和判定 2 题型三 格点图中画等腰三角形 4 题型四 找出图中的等腰三角形 5 题型五 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 6 题型六 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 7 题型七 反证法证明中的假设 8 题型八 用反证法证明命题 9 题型九 等边三角形的判定和性质 10 题型十 含30度角的直角三角形 11 优选真题 实战演练 13 【基础夯实 能力提升】 13 【拓展拔尖 冲刺满分】 15 题型一 三线合一 【精讲】（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【精练2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 题型二 等腰三角形的性质和判定 【精讲】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)直接写出的长为______； (2)点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 【精练1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【精练2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）图1是某种可调节支撑架侧面结构示意图，为水平固定杆，固定在上，为活动杆，上面有滑槽，已知． (1)求点C到的距离； (2)如图2，当时，将沿点C滑动，点B恰好落在所在直线上（记为点），问此时沿点C下滑了多少厘米？（参考数据：，结果保留整数） 题型三 格点图中画等腰三角形 【精讲】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中画出三边长分别为 的三角形，并求出该三角形最长边上的高； (2)在图②中画出一个以A为顶点且面积为的等腰直角三角形，并说明理由． 【精练1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，要在格点上确定一点，使是以为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【精练2】（25-26八年级下·安徽池州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． (1)在图甲中画一个面积为6的直角三角形： (2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 题型四 找出图中的等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【精练1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【精练2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 题型五 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【精讲】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，是的平分线． (1)求和的度数． (2)写出图中与相等的线段，并说明理由． (3)直线上是否存在其他的点，使为等腰三角形？如果存在，在图中画出所有满足条件的点，并直接写出对应的的度数；如果不存在，请说明理由． 【精练1】如图，点A的坐标为，若点P在y轴上，且为等腰三角形，则点P位置的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【精练2】（25-26八年级上·安徽·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 题型六 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【精练1】如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 【精练2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 题型七 反证法证明中的假设 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）八年1班的同学们在学习《问题解决策略：反思》这节课时，探索了等腰三角形的相关性质． (1)爱思考的小聪同学课后继续探究：如图1，等腰中，，点D，E分别为，的中点．点O在内，连接，，，，若，则．请帮助小聪判断该结论是否正确，并说明理由； (2)小明在小聪的基础上作进一步反思：如图2，若，点D，E分别是，上的点（不与B，C重合），连接，．内是否存在一点O，使，？请帮助小明作出判断，并说明理由． 题型八 用反证法证明命题 【精讲】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级上·福建泉州·月考）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【精练2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 题型九 等边三角形的判定和性质 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，下列结论中错误的是（　　） A．是等边三角形 B．是直角三角形 C． D． 【精练1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 【精练2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，求的长； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 题型十 含30度角的直角三角形 【精讲】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，将一个含角的直角三角板的两顶点放在矩形纸条的两边上．若， ，则矩形纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 【精练1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（） A． B． C． D．5 【精练2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设（    ） A．一个三角形中只有一个角是钝角 B．一个三角形中有两个角是钝角 C．一个三角形中三个角都是钝角 D．一个三角形中没有钝角 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 6．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 8．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 9．如图，在中，，点D、E分别在边上，，求证：． 10．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把折扇都完全展开且无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，垂足为，，是边的中点．若，则的面积为______． 5．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正八边形中，以为边在正八边形内部作等边，则的度数为______． 7．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，于点． (1)求的长； (2)如图2，若点是线段延长线上的一点，作于点，交于点，连接，且． ①求证：是等腰三角形： ②求的长． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)探究一：如图1在中，，求的值． (2)探究二：如图2，在和中，，且，求的长． (3)探究三：如图3，在中，，且，求的长． 1 / 3 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（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【答案】6 【思路引导】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【规范解答】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图1，正六边形的边长为2，保持，不动，将点，，共线，，，共线，得到如图2所示的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正六边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 连接，作，连接，根据题意可得，，，，则，，则，根据直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，，则，根据面积公式求解即可． 【规范解答】解：连接，作，连接，如图， 在正六边形中，，， 由题意可得，， 则，， ∴， 由含角直角三角形的性质可得，， 由勾股定理可得，，， ∴，， ∴，D选项符合题意． 题型二 等腰三角形的性质和判定 【精讲】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)直接写出的长为______； (2)点为轴上的一点，使为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)5 (2)点坐标为或或或 【思路引导】（1）过点作轴，交轴于点，由题可知，，利用勾股定理即可求解； （2）分类讨论①当时，如图，作轴，可得，从而得到点坐标为；②当时，根据，得到点坐标为，点坐标为；③当时，作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接，设，作轴，在中可得，解方程，得到，，从而得到点坐标为． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵， ∴，， 根据勾股定理，得； （2）解：为等腰三角形， ①当时，如图，作轴， ， 点坐标为， ②当时，如图 ， 点坐标为，点坐标为； ③当时，如图， 作的垂直平分线交于点，交轴于点，连接， ， 设，作轴， 在中， ， 解得，， 点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【精练1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【思路引导】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【规范解答】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 【精练2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）图1是某种可调节支撑架侧面结构示意图，为水平固定杆，固定在上，为活动杆，上面有滑槽，已知． (1)求点C到的距离； (2)如图2，当时，将沿点C滑动，点B恰好落在所在直线上（记为点），问此时沿点C下滑了多少厘米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】(1) (2)沿点C下滑了厘米． 【思路引导】（1）过点作于点，证明，利用勾股定理列方程并解方程即可； （2）过点作于点，证明，得到，利用勾股定理列方程并解方程得到，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， 即 （2）解：过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， 解得 ∴ 即沿点C下滑了厘米． 题型三 格点图中画等腰三角形 【精讲】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中画出三边长分别为 的三角形，并求出该三角形最长边上的高； (2)在图②中画出一个以A为顶点且面积为的等腰直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)图形见解析，高为 (2)图形和理由见解析 【思路引导】（1）每个小正方形的边长都是，根据勾股定理可知对角线的长度为，当正方形的边长为，对角线为，由此即可求解； （2）根据要求以及等腰直角三角形的判定画出图形可得结论． 【规范解答】（1）解：如图①中， 即为所求图形(答案不唯一)， ，即是直角三角形； 过点作于， ∴高即为所求边的高， ， ； （2）解：如图②中, 即为所求图形.(答案不唯一) ， ， ∴，且， 是等腰直角三角形； 又 ， 满足条件． 【精练1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，要在格点上确定一点，使是以为腰的等腰三角形，则网格中满足条件的点的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【思路引导】根据等腰三角形的定义，勾股定理，计算求解即可； 【规范解答】解：根据题意，得符合要求的点有如下：6个； 【精练2】（25-26八年级下·安徽池州·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． (1)在图甲中画一个面积为6的直角三角形： (2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，腰长为或． 【思路引导】本题考查了作图，直角三角形性质，等腰三角形的性质以及勾股定理． （1）根据勾股定理求得，此时只需要作一个直角边为的直角三角形即可; （2）根据等腰三角形定义作出图形即可． 【规范解答】（1）如图甲所示，即为所求： （2）如图乙所示，即为所求（或画成或均可，注：本题画一种即可）腰长为：（或）： 题型四 找出图中的等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【精练1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【规范解答】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 【精练2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【规范解答】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 题型五 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【精讲】（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，是的平分线． (1)求和的度数． (2)写出图中与相等的线段，并说明理由． (3)直线上是否存在其他的点，使为等腰三角形？如果存在，在图中画出所有满足条件的点，并直接写出对应的的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)与相等的线段是、，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算； （2）结合（1）中的角的度数，结合是的平分线，根据等角对等边确定即可； （3）分是腰和是底两种情况，进行画图，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ，即， ， ；   （2）解：与相等的线段是、，理由如下： 是的平分线， ， ，， ，， ， 与相等的线段是、； （3）解：直线上存在其他的点，使为等腰三角形， 当是腰时，以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 当是底时，则作的垂直平分线和的交点即是点的一个位置， 此时． 【精练1】如图，点A的坐标为，若点P在y轴上，且为等腰三角形，则点P位置的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【思路引导】由A点坐标可得，，分别讨论为腰和底边，求出点P在y轴正半轴和负半轴时，是等腰三角形的P点坐标即可． 【规范解答】解：（1）当点在轴正半轴上， ①以为腰时， ， ，， 点的坐标是或； ②以为底边时， ， 当点的坐标为：时，； （2）当点在轴负半轴上， 以为腰时， ， ， ， 点的坐标是； 综上所述：点P的位置有个． 【精练2】（25-26八年级上·安徽·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． (1)直线的解析式为 ，点的坐标为 ； (2)若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； (3)若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)，，， 【思路引导】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式、一次函数应用、勾股定理及轴对称的性质， （1）待定系数法求出表达式，再根据一次函数性质求出点的坐标； （2）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在直线左侧或当点P在直线右侧时，分别求出即可； （3）设N的坐标为，先求出，，再分类讨论求出即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为，则由题意得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线垂直轴于点，直线与直线交于点． 当时，， 点的坐标为； （2）解：连接，如下图， 点在直线上， 设点P的坐标为， 当点P在直线左侧且时， ， ， 解得：， 当时，， ； 当点在直线右侧且时， ， ， ， 解得：， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点是直线上一个动点， 设N的坐标为， ， ，， 当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时， 当时，， ， 解得：或， （不合题意舍去）或； 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为，，，． 题型六 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 【精练1】如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 【答案】，，或 【思路引导】设，根据勾股定理求出的长，再分为腰和为底边两种情况进行讨论． 【规范解答】解：设， 点、的坐标分别为，， 当为等腰三角形的腰时， 若，则； 若，即，解得或， 或； 当为底时，，解得， 综上所述，点的坐标为：，，或 【精练2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 题型七 反证法证明中的假设 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“已知在中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系 【答案】C 【思路引导】本题考查反证法的应用，结合等腰三角形性质推导假设对应的结论，再判断该结论和哪个定理矛盾即可． 【规范解答】解：∵ ∴ 假设 ，则 ∴ 又∵ ∴ 该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C． 【精练1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题是假命题的有（   ） ①若，则；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③用反证法证明命题“在中，，求证：”时，应先假设；④角平分线上的点到角两边的距离相等；⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】根据平方性质、平行线判定、反证法、角平分线性质和等腰三角形性质相关知识点进行判断即可． 【规范解答】解：①：可得或，故①是假命题； ② 只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，命题未给出同一平面的前提，故②是假命题； ③用反证法证明时，应假设结论的反面成立，结论的反面是，命题的假设为，是结论本身，故③是假命题； ④ 角平分线上的点到角两边的距离相等，是角平分线的性质定理，故④是真命题； ⑤ 等腰三角形只有底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线重合，不是所有高线、中线、角平分线都重合，故⑤是假命题． 综上，假命题共个． 【精练2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）八年1班的同学们在学习《问题解决策略：反思》这节课时，探索了等腰三角形的相关性质． (1)爱思考的小聪同学课后继续探究：如图1，等腰中，，点D，E分别为，的中点．点O在内，连接，，，，若，则．请帮助小聪判断该结论是否正确，并说明理由； (2)小明在小聪的基础上作进一步反思：如图2，若，点D，E分别是，上的点（不与B，C重合），连接，．内是否存在一点O，使，？请帮助小明作出判断，并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 【思路引导】（1）由可证，从而； （2）假设存在点O，使得，，由得出与产生矛盾，得出该假设不成立，得证． 【规范解答】（1）解：正确，理由如下： ∵D、E分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：不存在，理由如下： 假设存在点O，使得，，则点O在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， ∵， ∴与重合， 如图，直线l分别垂直平分，于F，G，则，，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴，这与产生矛盾，所以该假设不成立， 故不存在点O，使，． 题型八 用反证法证明命题 【精讲】（25-26八年级下·福建宁德·期中）用反证法证明命题“在中，若，则．”时，应先假设，则所得结论与下列选项相矛盾的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据反证法先假设原结论不成立，经过推导推出矛盾，即可证明原结论成立． 【规范解答】解：∵假设，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得， ∴该结论与原命题已知条件相矛盾， 因此矛盾对应的选项为． 【精练1】（25-26八年级上·福建泉州·月考）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”． 阅读材料： “无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． (1)先假设__________， 那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则是2的倍数． 再设，其中是整数，就有：， 也就是：， 所以也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的与互素相矛盾，因此不可能是一个有理数. (2)请以（1）中“是一个无理数”为条件，利用反证法证明是一个无理数． 【答案】(1)是一个有理数 (2)见解析 【思路引导】本题考查了无理数，熟练掌握反证法是解此题的关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）仿照（1）中所给例子证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得：先假设是一个有理数； （2）证明：假设是一个有理数， 则存在互素的整数、，使得， ∴ 两边平方得： ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是整数， ∴是有理数，但已知是无理数，矛盾， 故假设错误， 故是无理数． 【精练2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 【答案】(1)， (2)，，，， (3)不能做到，理由见解析 【思路引导】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）利用反证法证明即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据面积为求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【规范解答】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）证明：假设． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）不能做到，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴不能做到． 题型九 等边三角形的判定和性质 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，下列结论中错误的是（　　） A．是等边三角形 B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【思路引导】由，进一步证明，从而得到是等边三角形； 由，得到哥线段长度，于是有，由勾股定理逆定理，证得是直角三角形； 通过是等边三角形，是直角三角形，即可证得； 是等边三角形，，由勾股定理求出底边上的高，面积即可求解． 【规范解答】解：A、因为，所以，，因为是等边三角形，所以，，而，，所以是等边三角形，结论正确； B、因为，是等边三角形，所以，，在中，，，因为，所以是直角三角形，结论正确； C、因为是等边三角形，是直角三角形，，，，结论正确； D、因为是等边三角形，，作于，则， ，，结论错误． 【精练1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 【答案】50 【思路引导】先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为50． 【精练2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，求的长； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）结合已知条件证，然后证，即可求证． 【规范解答】（1）解： 是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）证明： ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形． 题型十 含30度角的直角三角形 【精讲】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，将一个含角的直角三角板的两顶点放在矩形纸条的两边上．若， ，则矩形纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作于点，利用直角三角形的性质求出，进而利用等腰直角三角形的性质求解即可. 【规范解答】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，等腰中，，，将沿其底边平移得到，与相交于点，，则平移前后两三角形重叠部分的周长为（） A． B． C． D．5 【答案】C 【思路引导】过点D作于点N．由等腰得到，从而，，证明得到，再由等腰三角形的“三线合一”得到，即可求解． 【规范解答】解：过点D作于点N． ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由平移可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【精练2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据，可得都是等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据折叠的性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，利用含30度角的直角三角形的性求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； （3）解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【思路引导】证明，结合，，可得． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设（    ） A．一个三角形中只有一个角是钝角 B．一个三角形中有两个角是钝角 C．一个三角形中三个角都是钝角 D．一个三角形中没有钝角 【答案】B 【规范解答】解：应先假设“一个三角形中有两个角是钝角”． 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【规范解答】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小明的绳长为． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【思路引导】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 5．（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【思路引导】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：，， ． 6．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 【答案】/45度 【思路引导】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解． 【规范解答】解：如图，取格点E，连接， 根据题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 由网格得， ∴． 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 8．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 9．如图，在中，，点D、E分别在边上，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】先由等腰三角形得到，再由证明全等即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵ ， ∴． 10．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【思路引导】根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理，逐项判断命题真假即可解答． 【规范解答】解：A 选项，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该命题是真命题，符合题意； B 选项，只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题是假命题，不符合题意； C 选项，只有等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，选项未说明三线的位置，该命题是假命题，不符合题意； D 选项，两个锐角分别相等的两个直角三角形只有角对应相等，没有边对应相等的条件，不满足三角形全等的判定要求，该命题是假命题，不符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）把两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过点作于，利用等腰直角三角形的性质求出及的长，再根据两个三角尺同样大小得出，在 中利用勾股定理求出，最后根据 计算即可． 【规范解答】解：如图，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 两个三角尺同样大小， ， 在 中，， ． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的每把折扇都完全展开且无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据图形得出折扇都完全展开时，展开的度数为，． 【规范解答】解∶如图， 由图2可知，折扇都完全展开时，展开的度数为， 又∵， ∴， ∴， ∵正五边形的每一个内角， ∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：． 4．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）在中，，，垂足为，，是边的中点．若，则的面积为______． 【答案】 【思路引导】由题意易得，则有，然后可得，同理可得，进而根据三角形面积公式可进行求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【思路引导】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，根据折叠的性质得到，，，设，分别表示出和，再根据是等腰三角形，分3种情况讨论，列出关于的方程，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将向下折叠，使与重合， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，的度数为或或． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正八边形中，以为边在正八边形内部作等边，则的度数为______． 【答案】 【思路引导】根据多边形的内角和公式可得的度数，根据等边三角形的性质可得，据此即可得出的度数． 【规范解答】解：∵正八边形， ∴， ∵等边， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【思路引导】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 8．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【思路引导】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，于点． (1)求的长； (2)如图2，若点是线段延长线上的一点，作于点，交于点，连接，且． ①求证：是等腰三角形： ②求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】（1）先求解，，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，结合，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解设，则，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． （2）（2）①， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． ②， 设的高为， ， ， ， 在中，， 设，则， 即， 解得， ． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)探究一：如图1在中，，求的值． (2)探究二：如图2，在和中，，且，求的长． (3)探究三：如图3，在中，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）过点A作垂足为点D，根据含30度角的直角三角形的性质设，勾股定理求得，即可求解； （2）连接，证明得出，进而根据勾股定理求得，即可求解． （3）作，且，连接，，由（1）得：，证明，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点A作垂足为点D， ∴设， . （2）解：如图2，连接， ， ， ， （3）解：如图3，作，且，连接，， 由（1）得：， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $