专题01 三角形内角和定理【期末复习重难点专题培优十九大题型】-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

**基本信息** 以“三角形内角和定理”为核心，通过10类重点题型、9类难点题型及58道真题，构建从基础证明到综合应用的递进式训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|10题型（含证明、平行线/角平分线综合等）|定理证明思路、角度计算模型、多边形公式应用|从三角形内角和核心定理，延伸至外角性质、多边形内角和/外角和公式，形成“概念-性质-应用”链条| |难点题型|9题型（含折叠、截角、平面镶嵌等）|图形变换技巧、分类讨论思想、实际问题建模|通过复杂图形（折叠/截角）和综合应用（镶嵌），深化对定理本质及多边形性质的迁移理解| |真题演练|58题（分基础夯实与拓展拔尖）|真题解题规范、易错点辨析|贴合期末考情，基础题巩固计算能力，拔尖题提升综合推理与创新意识|

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 三角形内角和定理『期末复习重难点专题培优』 【十个重点题型+九个难点题型+期末真题实战演练 共58题】 重点题型 分类讲练 2 题型一 三角形内角和定理的证明 2 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型四 三角形内角和定理的应用 5 题型五 三角形的外角的定义及性质 6 题型六 多边形的周长 6 题型七 多边形对角线的条数问题 7 题型八 对角线分成的三角形个数问题 7 题型九 多边形内角和问题 7 题型十 正多边形的内角问题 8 难点攻克 思维拓展 8 题型一 三角形折叠中的角度问题 8 题型二 多边形截角后的边数问题 9 题型三 多（少）算一个角问题 9 题型四 多边形截角后的内角和问题 10 题型五 复杂图形的内角和 10 题型六 正多边形的外角问题 11 题型七 多边形外角和的实际应用 12 题型八 多边形内角和与外角和综合 13 题型九 平面镶嵌 13 优选真题 实战演练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【拓展拔尖 冲刺满分】 16 题型一 三角形内角和定理的证明 【精讲】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，，点P是上一点，交延长线于点D，连接，交于点H，已知，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【精练】（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练】．（24-25八年级上·全国·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲】已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【精练】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 题型四 三角形内角和定理的应用 【精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A．◇代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．代表 【精练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 题型五 三角形的外角的定义及性质 【精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【精练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型六 多边形的周长 【精讲】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【精练】已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 题型七 多边形对角线的条数问题 【精讲】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 【精练】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 题型八 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【精练】（24-25七年级下·全国·单元复习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型九 多边形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为__________． 【精练】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 题型十 正多边形的内角问题 【精讲】（25-26九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，五边形是正五边形，，是边，上的点，且．若，则_______． 【精练】（25-26八年级上·重庆·期末）用一条宽度相等且足够长的纸条打一个结，轻轻拉紧，然后压平，就可以得到如图所示的正五边形．则的度数为_____． 题型一 三角形折叠中的角度问题 【精讲】如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 【精练】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型二 多边形截角后的边数问题 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【精练】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 题型三 多（少）算一个角问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【精练】（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 题型四 多边形截角后的内角和问题 【精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【精练】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 题型五 复杂图形的内角和 【精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【精练】如图，的度数为___________． 题型六 正多边形的外角问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【精练】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 题型七 多边形外角和的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【精练】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 题型八 多边形内角和与外角和综合 【精讲】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型九 平面镶嵌 【精讲】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【精练】（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【基础夯实 能力提升】 1．八边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 5．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 6．在中，，，则度数是________． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）求出图中的值． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 4．如图，已知，，，则等于_____． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，射线，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于于点．已知，则的度数为________． 7．如图，在中，点、分别是、延长线上的点，平分，，，求的度数． 8．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 9．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题01 三角形内角和定理『期末复习重难点专题培优』 【十个重点题型+九个难点题型+期末真题实战演练 共58题】 重点题型 分类讲练 2 题型一 三角形内角和定理的证明 2 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型四 三角形内角和定理的应用 13 题型五 三角形的外角的定义及性质 16 题型六 多边形的周长 17 题型七 多边形对角线的条数问题 18 题型八 对角线分成的三角形个数问题 19 题型九 多边形内角和问题 20 题型十 正多边形的内角问题 22 难点攻克 思维拓展 23 题型一 三角形折叠中的角度问题 23 题型二 多边形截角后的边数问题 25 题型三 多（少）算一个角问题 25 题型四 多边形截角后的内角和问题 27 题型五 复杂图形的内角和 29 题型六 正多边形的外角问题 31 题型七 多边形外角和的实际应用 32 题型八 多边形内角和与外角和综合 35 题型九 平面镶嵌 37 优选真题 实战演练 39 【基础夯实 能力提升】 39 【拓展拔尖 冲刺满分】 44 题型一 三角形内角和定理的证明 【精讲】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，，点P是上一点，交延长线于点D，连接，交于点H，已知，则下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理判定①；利用证明两个三角形全等，判定②；根据结合全等判定③；根据③中结论求出即可判定④． 【规范解答】解：， ， ， ，①故正确； ， ， ，即， ， ，故②正确； ，即， ， ， ，故③正确； ， ， ， ，故④错误， 正确的结论有①②③， 故选：B． 【精练】（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【规范解答】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，可证明得到，则可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可推出，则由三角形外角的性质可得，进而可求出，由周角的定义可得，据此可判断②；证明，得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，故③错误． 【规范解答】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 【精练】．（24-25八年级上·全国·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意理清各角之间的关系是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质求解； （2），根据角平分线的定义和三角形知识可得，进而可得结论； （3）①当点在左侧时，②当点在右侧时，根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：如图，过P作，则， 又， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2： 平分， ， 平分， ，， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ． （3）解：①当点在左侧时，如图3： ， ，， 平分，平分， ，， ， 由外角的性质得，， ， ． ②当点在右侧时，如图4： ， ， 由外角的性质得， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上可知，或． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲】已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【思路引导】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【规范解答】（1）解：如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 【精练】（25-26八年级上·四川达州·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）过点作，根据平行公理的推论，可得，再根据平行线的性质，可得，，即可求出； （2）过点作，设，，根据平行公理的推论，易得，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，再根据互补和三角形内角和，可得，从而得到； （3）过点、分别作，，设，，根据平行公理的推论可得，根据题意分两种情况讨论，再根据角平分线的定义和平行线的性质，可用含、的式子表示和，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， 则的度数为； （2）， 理由如下，如图2，过点作， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ，， ， ，， ， 与互补， ，即，则， ，即，则， ， ； （3）或 情况1，如图3，过点、分别作，， 设，， 是的角平分线，是的角平分线， ，，，， ，，， ， ，，，， ，与， ； 情况2，如图， 由情况1，可得， ，，，， ，， ； 综上，或． 【考点剖析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，角的运算等知识点，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 题型四 三角形内角和定理的应用 【精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A．◇代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．代表 【答案】B 【思路引导】根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出各符号分别表示的对象并判断，即可解题． 【规范解答】解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的对应角相等）． ，， ． ． 故可得◇代表对应角，※代表，@代表，代表． 【精练】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 【答案】[实践探究]见详解；[类比探究]见详解；[拓展应用] 【思路引导】[实践探究]由三角形外角的性质可得； [类比探究]证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； [拓展应用]由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【规范解答】解：[实践探究]理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴； [类比探究]∵； 如图所示， 折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； [拓展应用]由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型五 三角形的外角的定义及性质 【精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【精练】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】如图：由三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【规范解答】解：如图：由题意可得：，， ∴， ∵将直尺与含角的三角尺摆放在一起， ∴． 题型六 多边形的周长 【精讲】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 【精练】已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【规范解答】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解： ， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 题型七 多边形对角线的条数问题 【精讲】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 【答案】/900度 【思路引导】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【规范解答】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 【精练】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】A 【思路引导】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理和对角线的数量，掌握多边形的外角和定理和对角线数量的公式是解题的关键． 先根据正多边形外角和为360°，求出边数n，再利用对角线公式计算． 【规范解答】正多边形每个外角为60°，外角和为360°，故边数 ． 正n边形的对角线总数为 ．代入 ，得： 因此，该正六边形共有9条对角线， 故选：A． 题型八 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，现从某n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该多边形的边数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查多边形的性质，三角形内角和定理．掌握从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，可以把n边形分为个三角形是解题关键．根据三角形内角和定理可得出分割得到的三角形有6个，进而根据多边形的性质得出该多边形为6边形． 【规范解答】解：由题意可知分割得到的三角形有个， ∵从n边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，可以构成个个三角形， ∴该多边形的边数是． 故选：B． 【精练】（24-25七年级下·全国·单元复习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【思路引导】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【规范解答】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：D． 题型九 多边形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为__________． 【答案】/110度 【思路引导】此题考查了轴对称－最短路径问题，三角形内角和定理，等边对等角，凡是涉及最短距离的问题，一般都要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 分别作点C关于的对称点E，F，连接，分别交于点M，N，此时的周长最小，由四边形内角和求出，进而求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【规范解答】解：如图，分别作点C关于的对称点E，F，连接， ∴， ∴的周长， 当点共线时，的周长取得最小值，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【精练】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【规范解答】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 题型十 正多边形的内角问题 【精讲】（25-26九年级下·浙江温州·阶段检测）如图，五边形是正五边形，，是边，上的点，且．若，则_______． 【答案】 【思路引导】过点作交于点，根据平行线的性质先求出的度数，由多边形内角和定理可求出的度数，最后利用平行线的性质求得即可． 【规范解答】解：如图，过点作交于点， ， ， 在正五边形中，， ， ，， ， ． 【精练】（25-26八年级上·重庆·期末）用一条宽度相等且足够长的纸条打一个结，轻轻拉紧，然后压平，就可以得到如图所示的正五边形．则的度数为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了正多边形的内角和问题，根据多边形的内角和公式求出内角和，再除以边数得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，多边形为正五边形， ∴， 故答案为：． 题型一 三角形折叠中的角度问题 【精讲】如图：将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则______度． 【答案】55 【思路引导】首先，由折叠的性质得，，再由平角的定义得，进而得出，最后，由三角形的内角和定理得出结论即可． 【规范解答】解：∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【精练】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，点D在边上，将沿折叠，使点B落在边上的点B′处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，结合将沿折叠，使点B落在边上的点处，故得． 【规范解答】解：在中，， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在边上的点处， ∴． 故选：B． 题型二 多边形截角后的边数问题 【精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【思路引导】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【规范解答】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 【精练】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【思路引导】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【规范解答】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 题型三 多（少）算一个角问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【思路引导】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 【精练】（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【思路引导】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 题型四 多边形截角后的内角和问题 【精讲】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【思路引导】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【精练】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【思路引导】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 题型五 复杂图形的内角和 【精讲】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【精练】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六 正多边形的外角问题 【精讲】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】(1)M和N的边数分别是4和6； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【规范解答】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）嘉嘉解法：． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 【精练】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【思路引导】（1）根据周角为进行解答即可； （2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【规范解答】（1）解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于； （2）解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为， 如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形， ∴中间正多边形的每个外角为：， ∴． 题型七 多边形外角和的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数． 【规范解答】解：由多边形的外角和等于， 可得， ∵，， ∴， ∴， 即． 【精练】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【规范解答】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知： ． 题型八 多边形内角和与外角和综合 【精讲】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】9 【思路引导】利用内角与相邻的外角互补求解这个多边形一个外角的度数，再根据多边形的外角和进一步求解即可． 【规范解答】解：由题意得，这个多边形一个外角的度数为：， 这个多边形的边数为：． 【精练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【思路引导】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【规范解答】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【考点剖析】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型九 平面镶嵌 【精讲】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【答案】或 【思路引导】先计算出正三角形和正六边形的内角，再根据题意列出方程，求解即可． 【规范解答】解：正三角形每个内角为，正六边形每个内角为， 根据题意可列方程：， 化简，得， ∵、都是正整数， ∴或， ∴或． 【精练】（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【答案】 6 /24度 【思路引导】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【规范解答】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 【基础夯实 能力提升】 1．八边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：∵任意多边形的外角和都为，与边数无关 ∴八边形的外角和为． 2．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由全等三角形的性质得到的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 3．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵，且， ∴． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【思路引导】根据任意多边形的外角和都等于即可求解． 【规范解答】解：五边形的外角和为． 5．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 【思路引导】根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为，结合已知条件求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 ． 解得． 根据多边形内角和公式，得： ． 6．在中，，，则度数是________． 【答案】 【思路引导】根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【规范解答】解：在中，， ． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【思路引导】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【规范解答】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）求出图中的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算同底数幂相乘以及幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）根据三角形内角和为进行列式，代数计算，即可作答． 【规范解答】解：（1） ； （2）观察图形，得出， ∴， ∴， 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【思路引导】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 中，， ． 10．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，见解析 【思路引导】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【规范解答】（1）解：如图，记，，． ， 又 平分， ， （2） 理由如下：设，， 平分 ， 又 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【规范解答】解：对选项A： ∵ ，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项B： ∵， 设 ，， ， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 能判定为直角三角形，符合要求； 对选项C： ∵ ，三角形内角和为， 设 ， ，， ∴ ，解得， ∴ 最大角， ∴不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项D： ∵，三角形内角和为， ∴，是等边三角形， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求． 4．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【思路引导】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【思路引导】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行讨论． 【规范解答】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 6．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，射线，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于于点．已知，则的度数为________． 【答案】/48度 【思路引导】通过尺规作图的性质确定对应角相等，再利用三角形外角的性质建立角度关系，进而求解的度数． 【规范解答】解：根据尺规作图步骤， 、、， ， ． 设，则． 在中，是外角． ． 将、代入， 得． 已知， 则， 解得， 即． 7．如图，在中，点、分别是、延长线上的点，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】先根据角平分线得到，利用邻补角性质得到，再利用三角形外角性质解题即可． 【规范解答】解： 平分，， ， ， 又， ． 8．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【规范解答】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 9．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （）首先根据，同位角相等，两直线平行得，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （）由题意，易得，利用三角形外角得，即有，结合已知条件，即可得到结果． 【小问1】 证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2】 解：∵由（）知， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，与的数量关系是：_______． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q．若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，直接判断与的数量关系与位置关系． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）同理可证，从而可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）同理可证，然后根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： （2）同（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3），． 理由如下：同（1）可得，， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $