3.4.1和、差、倍、分问题（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程（组）中的和差倍分问题，核心涵盖四大等量关系、解题四步法及易错点，通过轮船航行、运动场相遇等生活情境导入，衔接方程基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是分层次练习与生活情境结合，如投壶道具配套、臭豆腐料包生产等实例，培养模型意识与运算能力。中考真题和条件开放题提升创新意识，小结结构化呈现方法，助力学生系统掌握，教师教学更高效。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 3.4.1和、差、倍、分问题 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册3.4.1 和、差、倍、分问题 专项练习 一、核心知识点（应用题必考） 1. 四大核心等量关系 和、差、倍、分是七年级方程应用题最基础、必考题型，核心公式： ① 和：大数 + 小数 = 总和 ② 差：大数 − 小数 = 相差数 ③ 倍：一倍量 × 倍数 = 几倍量 ④ 分：总量 × 分率 = 部分量 2. 标准解题四步法（满分格式） ① 设：找准一倍量，一般设较小数、标准量为$$x$$； ② 列：根据和差倍分关系列出一元一次方程； ③ 解：按五步解方程求出未知数； ④ 答：完整作答，不遗漏问题。 3. 高频题型句式翻译（直接背） 1. 甲数是乙数的3倍：设乙数为$$x$$，甲数为$$3x$$ 2. 甲数比乙数多5：$$\text{甲}-\text{乙}=5$$ 3. 甲数比乙数少8：$$\text{乙}-\text{甲}=8$$ 4. 甲乙两数和为40：$$\text{甲}+\text{乙}=40$$ 5. 一个数的2倍比它本身多10：$$2x-x=10$$ 4. 易错点总结 ① 设未知数错误：优先设一倍量，不要设大数； ② “A比B多/少”关系式写反（最容易扣分）； ③ 题目有两个问题，只求出一个未知数，忘记求另一个； ④ 漏写“解、设、答”，格式不规范扣分。 二、基础填空题（列式训练） 1. 若乙数为$$x$$，甲数是乙数的4倍，则甲数为________。 2. 若一个数为$$x$$，它的3倍与5的和可列代数式：________。 3. 甲数为$$x$$，乙数比甲数少6，则乙数为________。 4. 两数之和为50，其中一个数为$$x$$，另一个数为________。 5. 一个数的5倍比它的2倍多9，列方程：________。 三、基础应用题（简单和差倍分） 1. 甲乙两数的和是36，甲数是乙数的2倍，求甲、乙两数各是多少？ 2. 一个数的3倍比这个数大12，求这个数。 3. 甲数比乙数多8，两数之差是8，两数之和是42，求甲乙两数。 4. 一个数的4倍与3的和是31，求这个数。 四、进阶应用题（考试常考） 1. 某班共有学生48人，男生人数是女生人数的3倍，该班男生、女生各多少人？ 2. 一个数的2倍减去6，等于这个数加上9，求这个数。 3. 甲乙两个仓库共存粮90吨，甲仓库粮食比乙仓库多10吨，甲乙仓库各存粮多少吨？ 4. 一个数的5倍比18大7，求这个数。 五、参考答案与详细解析 1. 填空题答案 1. $$4x$$ 2. $$3x+5$$ 3. $$x-6$$ 4. $$50-x$$ 5. $$5x-2x=9$$ 2. 基础应用题解答 1. 解： 设乙数为$$x$$，则甲数为$$2x$$。 根据题意得：$$x+2x=36$$ 合并得：$$3x=36$$，解得$$x=12$$ 甲数：$$2\times12=24$$ 答：甲数为24，乙数为12。 2. 解： 设这个数为$$x$$。 $$3x-x=12$$，$$2x=12$$，$$x=6$$ 答：这个数是6。 3. 解： 设乙数为$$x$$，甲数为$$x+8$$。 $$x+(x+8)=42$$，$$2x=34$$，$$x=17$$ 甲数：$$17+8=25$$ 答：甲数25，乙数17。 4. 解： 设这个数为$$x$$。 $$4x+3=31$$，$$4x=28$$，$$x=7$$ 答：这个数是7。 3. 进阶应用题解答 1. 解： 设女生有$$x$$人，男生有$$3x$$人。 $$x+3x=48$$，$$4x=48$$，$$x=12$$ 男生：$$3\times12=36$$（人） 答：女生12人，男生36人。 2. 解： 设这个数为$$x$$。 $$2x-6=x+9$$ 移项：$$2x-x=9+6$$，解得$$x=15$$ 答：这个数是15。 3. 解： 设乙仓存粮$$x$$吨，甲仓存粮$$x+10$$吨。 $$x+x+10=90$$，$$2x=80$$，$$x=40$$ 甲仓：$$40+10=50$$（吨） 答：甲仓50吨，乙仓40吨。 4. 解： 设这个数为$$x$$。 $$5x-18=7$$，$$5x=25$$，$$x=5$$ 答：这个数是5。 六、本节满分总结 和差倍分问题核心：找标准量（一倍量）设x，抓和、差、倍关系列方程。 做题口诀：小数设x最简便，几倍就乘几，和加差减不乱套。 分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题. 领悟数学来源于生活，服务于生活，会用方程的思想解决实际生活中的问题. 根据等量关系列出正确的一元一次方程. 探索新知 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？ 思 考 小知识 轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度； 轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度. 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ， 则 轮船顺水航行的速度为_______ km/h， 逆水航行的速度为_______ km/h. (x+2) (x-2) 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 在航行过程中，你还能找到什么等量关系？ 设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则 轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h， 逆水航行的速度为(x-2) km/h. 甲 乙 顺水航行 逆水航行 甲 乙 顺水航行 逆水航行 轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程 4h 5h (x+2)km/h (x-2)km/h 4(x+2) 5(x-2) = 解得 x=18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h . 解:设经过 x min，两人首次相遇. 根据题意，得 350x+250x=400 解得 x= 答:经过 min，两人首次相遇. 1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇? 练一练 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 分析：题目中的等量关系： 椅子数＋凳子数＝16， 椅子腿数＋凳子腿数＝60 . 例1 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？ 解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子. 根据题意，得 4x+3(16-x)=60 . 解得 x=12 . 因此，凳子有 16-12=4 (把) . 答：有12张椅子，4把凳子. 1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？ 解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 根据题意，得 4（13 + x）= 40 + x. 解得 x = – 4. 即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 练一练 例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？ 【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担. 解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元. 依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120. 解方程，得 x = 8. 4x = 32，5x = 40，6x = 48. 答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元. 2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少? 解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克. 依据题意，得 x + 2x + 6x = 45. 解方程，得 x = 5. 2x = 10，6x = 30. 答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克. 练一练 比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程. 方法总结 例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母) ? 【分析】本题有两个等量关系值得关注， 一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29； 二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3. 解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母． 根据题意得 解得 x＝14. 29－x＝15. 答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓 和螺母正好配套． 课堂练习 【课本P113 练习 第1题】 1. (1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长； 解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm. 根据题意，得 2x+2(x-5)=60 解得 x=12.5 答：该长方形的长为12.5 cm. 随堂练习 解：(2) 设长方形的宽为x cm，则长为 cm. 根据题意，得 2x+2× =60 解得 x=12 答：该长方形的宽为12 cm. 【课本P113 练习 第1题】 1. (2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽. 随堂练习 2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？ 解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场. 根据题意，得 3x+(14-5-x)=19 解得 x=5 答：该队共胜5场. 【课本P113 练习 第2题】 随堂练习 应用1 顺逆流问题 1.母题教材P111思考 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而 下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任 务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是 ，水流速度为 ，A，C两地间的距离为 .如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙船 从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？ 中考考法 20 【解】设乙船由B地航行到C地用了 . ①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离地到 地 的距离 ，C两地之间的距离，得 ，解得 . 所以甲船距离B地 ②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B 地的距离 ，C两地之间的距离，得 ， 中考考法 21 解得 . 所以甲船距离B地 答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地或 . 中考考法 航行问题的基本等量关系：①顺水速度 静水速度 水流速度；②逆水速度 静水速度-水流速度；③顺水速度- 逆水速度水流速度 .此题C地可能在A，B两地之间，也 可能不在A，B两地之间，所以应分两种情况讨论. . . 返回 中考考法 23 应用2 配套问题 2. 第13周七年级语文学科活动超精彩，操场 上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等 家长为准备道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具， 其中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是132元， 请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下 面所列方程正确的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 24 3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南 游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60 名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个 汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包 或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包 刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 中考考法 25 【解】设安排名工人去加工汤料包，则安排 名工人 去加工配料包， 根据题意，得 ， 解得 . 答：安排20名工人去加工汤料包. 返回 中考考法 26 应用3 工程问题 4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师 傅与徒弟每小时各检修多长的管道. 条件：①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务. 在上述4个条件中选择3个条件，并完成解答.（写一种即可） 中考考法 27 【解】（答案不唯一，写一种即可） 当选择①②③时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择①②④时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 中考考法 28 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择②③④时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ， 由题意，得 ， 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 返回 中考考法 一元一次方程的应用 比例问题 和、差、倍、分问题 步骤 方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x. 1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答 方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量 课堂小结 $