3.7.1解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组含“x+y=总数量”形式的实际问题，通过复习列方程关键及方程组解法导入，搭建从解法到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于构建“固定设元-方程组结构-解题五步”通用模型，结合句式翻译和易错点分析培养抽象能力与推理意识，例题及分层练习覆盖基础到中考题型，助力学生形成模型观念，教师可高效开展教学。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 3.7.1解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级上册3.7.1 解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题 专项练习 一、本节核心考点 本节是二元一次方程组应用题基础题型，所有题目都隐含两个量的和为定值的关系，方程组固定包含 $$x+y=a$$ 形式的方程，搭配第二个等量方程构成方程组求解。 常见场景：两种物品总数、总人数、总数量、总吨数、总长度等求和类实际问题。 二、通用解题模型（万能模板） 1. 固定设元方式 设两种未知量分别为：$$x$$、$$y$$ 例：甲数量为$$x$$，乙数量为$$y$$ 2. 固定方程组结构 $$\begin{cases} \boldsymbol{x+y=总数量} \\ \boldsymbol{关于倍数/差值/总价的关系方程} \end{cases}$$ 第一个方程必定是 和的关系（本节核心特征）； 第二个方程根据题目倍数、差值、总价、总工作量等条件列写。 3. 标准解题五步 ① 设：设两个未知量； ② 列：先写$$x+y=总数$$，再根据题意列第二个方程； ③ 解：用代入/加减消元法解方程组； ④ 验：检验结果符合实际意义（数量为正整数）； ⑤ 答：完整作答。 三、三大必考题型句式翻译 1. 甲乙一共有50个：$$x+y=50$$ 2. 甲比乙多10个：$$x-y=10$$ 3. 甲是乙的4倍：$$x=4y$$ 4. 甲每个5元，乙每个3元，一共花费200元：$$5x+3y=200$$ 四、高频易错点 1. 混淆和差关系，把 $$x+y$$写成 $$x-y$$； 2. 设元不规范，只设一个未知数（本节必须二元设元）； 3. 忽略实际意义：人数、物品数量必须是正整数； 4. 解题后漏写答句，步骤扣分。 五、基础填空题（建模专项练） 1. 已知两种水果共30千克，设苹果$$x$$千克，梨$$y$$千克，可列方程________。 2. 男女同学共45人，设男生$$x$$人，女生$$y$$人，方程：________。 3. 甲乙两数和为60，甲数是乙数的2倍，方程组为________。 4. 钢笔和圆珠笔共20支，钢笔比圆珠笔多4支，方程组为________。 六、基础例题（满分标准步骤） 例题1：和+倍数问题 甲乙两个仓库共存粮80吨，甲仓粮食是乙仓的3倍，甲乙两仓各存粮多少吨？ 解：设乙仓存粮$$x$$吨，甲仓存粮$$y$$吨。 根据题意列方程组： $$\begin{cases}x+y=80\\y=3x\end{cases}$$ 把$$y=3x$$代入$$x+y=80$$得： $$x+3x=80$$，$$4x=80$$，$$x=20$$ 回代得：$$y=60$$ ∴ $$\begin{cases}x=20\\y=60\end{cases}$$ 答：甲仓存粮60吨，乙仓存粮20吨。 例题2：和+差值问题 班级共有学生52人，男生比女生多2人，男女生各有多少人？ 解：设女生$$x$$人，男生$$y$$人。 $$\begin{cases}x+y=52\\y-x=2\end{cases}$$ 两式相加得：$$2y=54$$，$$y=27$$ 回代得：$$x=25$$ ∴ $$\begin{cases}x=25\\y=27\end{cases}$$ 答：女生25人，男生27人。 七、基础练习题 1. 甲乙两数的和为48，甲数是乙数的2倍，求甲乙两数。 2. 两种文具一共35件，A种文具比B种多5件，两种文具各多少件？ 八、进阶练习题（考试真题题型） 1. 购买钢笔和笔记本共40件，钢笔每支8元，笔记本每本5元，一共花费245元，钢笔和笔记本各买多少？ 2. 大小两种货车共12辆，大车每辆装5吨，小车每辆装3吨，一次可运货52吨，大小货车各多少辆？ 九、参考答案与解析 1. 填空题答案 1. $$x+y=30$$ 2. $$x+y=45$$ 3. $$\begin{cases}x+y=60\\x=2y\end{cases}$$ 4. $$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$ 2. 基础练习题解答 1. 解： 设乙数为$$x$$，甲数为$$y$$ $$\begin{cases}x+y=48\\y=2x\end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases}x=16\\y=32\end{cases}$$ 答：甲数32，乙数16。 2. 解： 设B种文具$$x$$件，A种文具$$y$$件 $$\begin{cases}x+y=35\\y-x=5\end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases}x=15\\y=20\end{cases}$$ 答：A种20件，B种15件。 3. 进阶练习题解答 1. 解： 设钢笔$$x$$支，笔记本$$y$$本 $$\begin{cases}x+y=40\\8x+5y=245\end{cases}$$ 由①得：$$y=40-x$$，代入② $$8x+5(40-x)=245$$ $$3x=45$$，$$x=15$$ $$y=25$$ 答：钢笔15支，笔记本25本。 2. 解： 设大车$$x$$辆，小车$$y$$辆 $$\begin{cases}x+y=12\\5x+3y=52\end{cases}$$ 解得：$$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$$ 答：大车8辆，小车4辆。 十、本节总结 本节核心：先列和式定总数，再列关系解问题。 只要题目出现“一共、总共、合计”，优先写出 $$x+y=定值$$，再结合倍数、差值、总价条件列第二个方程，用消元法即可快速求解，是二元方程组最简单、最基础的应用题题型。 会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理. 体验运用二元一次方程组求多项式中的待定系数，感受方程思想的广泛应用. 经历和体验利用方程组解决实际问题的过程，掌握应用二元一次方程组解决实际问题的步骤. 复习导入 2. 解二元一次方程组目前学习了哪几种方法？ ①代入消元法； ②加减消元法。 1. 列方程最关键的步骤是什么？ 关键在于找到问题的等量关系. 探索新知 小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？ 思 考 中国邮票的张数+外国邮票的张数=335 中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17 本问题涉及的等量关系： 中国邮票的张数+外国邮票的张数=335 中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17 设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系，得 解得 因此，小楠收集了中国邮票247张，外国邮票88张. 1. 现在父亲的年龄是儿子的年龄的 3 倍，7 年前父亲的年龄是儿子的年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是（ ） A. 42 岁，14 岁 B. 48 岁，16 岁 C. 36 岁，12 岁 D. 39 岁，13 岁 A 练一练 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练. 某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km， 共用时 15 min. 求自行车路段和长跑路段的长度. 例1 5km 15 min 自行车路段 长跑路段 平均速度10 m/s 平均速度 m/s 5km 15 min 自行车路段 长跑路段 平均速度10 m/s 平均速度 m/s 自行车路段的长度+长跑路段的长度=5 km 骑自行车的时间+长跑时间=15 min 本问题涉及的等量关系： 注意 单位 解：设自行车路段的长度为 x m， 长跑路段的长度为 y m，则 解得 答：自行车路段的长度为3000m，长跑路段的长度为2000m. 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇，试问两人的速度各是多少？ 练一练 解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意，得 2x – 2y = 4， x + y = 4. 1 2 1 2 解得 x = 5， x = 3. 答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h. 例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%. 求甲、乙两种商品原来的单价. 典例精析 本问题涉及的等量关系为： 甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元， 调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元. x y x - 15%x = (1-15%)x x + 10%x = (1+10%)x 解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元. 根据题意，得 答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元. x＋y＝100， (1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%). 解得 x＝60， y＝40. 3. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％，12％ 的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 甲配料质量+乙配料质量 = 总质量， 甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量 = 总蛋白质质量. 练一练 解：设含蛋白质 20％ 的配料需用 x kg，含蛋白质 12％ 的配料需用 y kg. 根据等量关系得 解这个方程组得 答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质 20％ 的配料需用 37.5 kg，含蛋白质12％的配料需用 62.5 kg. 方法总结 用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同学交流. 实际问题 列出二元一次方程组 解方程组 检查解是否符合实际问题的需要，如果符合， 它就是实际问题的解 分析题意 找出两个 等量关系 1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只. 2 16 课堂练习 随堂练习 2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗) 分析：本问题涉及的等量关系： 甲种合金+乙种合金=100kg， 甲种合金含银量+乙种合金含银量=(100×30%) kg=30kg. 【课本P130 练习 第1题】 随堂练习 解：设甲种合金应取 x kg，乙种合金应取 y kg. 根据题意，得 解得 答:甲种合金应取60kg，乙种合金应取40 kg. 2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗) 【课本P130 练习 第1题】 随堂练习 19 3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值. 甲行走的路程/km 乙行走的路程/km 甲、乙两人行走的路程之和/km 第一种情况 （甲先走2h） 第二种情况 （乙先走2h） (2+2.5)x 2.5y 36 3x (2+3)y 36 【课本P130 练习 第2题】 随堂练习 解：根据题意，得 解得 因此，甲、乙两人的速度分别是6km/h，3.6km/h. 3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值. 【课本P130 练习 第2题】 随堂练习 应用1 行程问题 1. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙 悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔， 历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请 你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪， 千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目 的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用 中考考法 22 了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为 ____里/分钟. 50 返回 中考考法 2.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车 的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们 相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度 为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 __________，动车组的速度是________. 25米/秒 50米/秒 返回 中考考法 24 3.［2025武汉月考］如图，从至 ， 步行走粗线道 需要35分钟，坐车 走细线道 需要22.5 分钟，车沿 行驶的距离是由 25 至步行距离的3倍，车沿行驶的距离是由至 步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至 步行，再沿 坐车所需要的总时间是____分钟. 中考考法 25 【点拨】设步行速度为 米/分，则车 速为米/分，设米， 米，根据题意，得 解得 则从步行至，再沿 坐车所需总时间为 （分钟）. 返回 中考考法 26 4.［2025怀化期末］甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、 平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分， 停留30分钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车 在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡 每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、 下坡分别是多少千米？ 中考考法 27 【解】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下 午6点48分共2.8小时. 设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是 千米， 则下坡路是 千米， 根据题意，得 整理，得解得 中考考法 28 所以 . 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡是16千米， 下坡是28千米. 返回 中考考法 应用 二元一次方程组的应用 和差倍分、行程、工程、配套等... 解题步骤 审题：弄清题意和题目中的________ 数量关系 设元：用____表示题目中的未知数 字母 列方程组：根据__个等量关系列出方程组 2 解方程组：______________ 代入法、加减法 检验作答 $